2.5 - Coeficiente de Assimetria

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O coeficiente de assimetria permite distinguir as distribuições assimétricas. Um valor negativo indica que a cauda do lado esquerdo da função densidade de probabilidade é maior que a do lado direito. Um valor positivo para a assimetria indica que a cauda do lado direito é maior que a do lado esquerdo. Um valor nulo indica que os valores são distribuídos de maneira relativamente iguais em ambos os lados da média, mas não implica necessariamente, uma distribuição simétrica.

 

A fórmula da assimetria é dada por

$ \displaystyle b_1=\frac{1}{n}\sum\left[\frac{X_i-\overline{X}}{s}\right]^3 $

Exemplo 2.5.1:

Dando continuídade ao Exemplo 2.3.3, suponha que uma amostra dos comprimentos de 11 rolos de fio de aço cujos valores foram 72, 70, 77, 60, 67, 69, 68, 66, 65, 71, 69.

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Os dados ordenados de forma crescente são: 60, 65, 66, 67, 68, 68, 69, 70, 71, 72, 77. Então temos que:

Mínimo = 60.

Máximo = 77.

Para calcular a Tri-média retiramos o maior e o menor valor do conjunto de dados e calculamos a média dos 9 restantes, então:

Tri-média = $ \displaystyle \frac{65+66+\ldots+72}{9}=68,56 $ 

Posição do Q1 = $ \displaystyle\frac{11+1}{4}=3 \Rightarrow Q_1=66 $ 

Posição do Q3 = $ \displaystyle 3\times\left(\frac{11+1}{4}\right)=9 \Rightarrow Q_3=71 $

Assimetria = $ \displaystyle \frac{1}{11}\left(\frac{(60-68,55)^3+\ldots+(77-68,55)^3}{4,32^3}\right)=-0,028 $

 

Exemplo 2.5.2: 

Dando continuidade ao Exemplo 2.4.3, temos um lote da produção de 50 abraçadeiras industriais para verificar se os requisitos do cliente estavam sendo atendidos. Para isto, foi medido o diâmetro das 50 abraçadeiras e os valores encontram-se disponíveis na tabela abaixo

Diâmetros das abraçadeiras industriais
13,35 12,88 13,42 13,03 13,35 13,68 13,69 13,27 13,8 13,21
13,47 13,33 13,05 13,4 13,25 13,34 13,62 13,41 13,15 13,2
13,42 13,68 13,22 13,6 13,46 13,79 13,29 13,26 13,55 13,15
13,39 13,37 13,5 13,38 13,16 13,44 13,42 13,39 13,34 13,63
13,38 13,43 13,35 13,24 13,56 13,79 13,43 13,02 13,71 13,45

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Para o calculo do coeficiente de assimetria desse exemplo precisamos inicialmente o valor da média amostra e do desvio padrão amostral

$$\overline{X} = \sum_{i=1}^{50} \dfrac{X_i}{50} = \dfrac{13,35 + 12,88 + \dots + 13,71 + 13,45}{50} = 13,394$$

$$s = \sqrt{ \sum_{i=1}^{50}\dfrac{\left(X_i - \overline{X}\right)^2}{n-1} } = \sqrt{\dfrac{(13,35-13,394)^2+(12,88-13,394)^2 +\cdots + (13,71-13,394)^2 + (13,45-13,394)^2}{49}} = 0,206921$$

Desta forma, podemos calcular o coeficiente de assimetria

$$b_1=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{50}\left[\dfrac{X_i-\overline{X}}{s}\right]^3 = \dfrac{1}{50}\left[\left(\dfrac{13,35-13,394}{0,206921}\right)^3+\dots+\left(\dfrac{13,45-13,394}{0,206921}\right)^3\right]=-0,02506$$

Temos então que que o coeficiente de assimetria é negativo e portanto esperamos que a cauda do lado esquerdo da densidade de probabilidade é maior do que o do lado direito. Isto significa que o processo tem tendência para produzir abraçadeiras com dimensional baixo. Analisando Histograma gerado pelo Action Stat podemos visualizar este resultado:

:

 

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