2.6 - Curtose

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Curtose é  uma medida de dispersão que caracteriza o "achatamento" da curva da função de distribuição. É definida por:

$ \displaystyle b_2=\frac{1}{n}\sum\left[\frac{x_i-\overline{x}}{s}\right]^4-3 $

Se $ \displaystyle b_2=0 $, então a função de distribuição tem o mesmo achatamento da distribuição normal, chamamos essas funções de mesócurticas.

Se $ \displaystyle b_2 \textgreater 0 $, dizemos que a função de distribuição é leptocúrtica e possui a curva da função de distribuição mais afunilada com um pico mais alto do que a distribuição normal. Neste caso dizemos que essa distribuição possui caudas pesadas.

Se $ \displaystyle b_2 \textless 0 $, então a funçao de distribuição é mais achatada do que a distribuição normal . Dizemos que esta curva da função de distribuição é platicúrtica.

Exemplo 2.6.1:

Dando continuídade ao Exemplo 2.3.3, suponha que uma amostra dos comprimentos de 11 rolos de fio de aço cujos valores foram 72, 70, 77, 60, 67, 69, 68, 66, 65, 71, 69.

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

Os dados ordenados de forma crescente são: 60, 65, 66, 67, 68, 68, 69, 70, 71, 72, 77. Então temos que:

Mínimo = 60.

Máximo = 77.

Para calcular a Tri-média retiramos o maior e o menor valor do conjunto de dados e calculamos a média dos 9 restantes, então:

Tri-média = $ \displaystyle \frac{65+66+\ldots+72}{9}=68,56 $ 

Posição do Q1 = $ \displaystyle\frac{11+1}{4}=3 \Rightarrow Q_1=66 $ 

Posição do Q3 = $ \displaystyle 3\times\left(\frac{11+1}{4}\right)=9 \Rightarrow Q_3=71 $

Assimetria = $ \displaystyle \frac{1}{11}\left(\frac{(60-68,55)^3+\ldots+(77-68,55)^3}{4,32^3}\right)=-0,028 $

Curtose = $ \displaystyle \frac{1}{11}\left(\frac{(60-68,55)^4+\ldots+(77-68,55)^4}{4,32^4}\right)-3=-0,18 $. Dizemos então que a curva da distribuição é platicúrtica.

Utilizando o Action, obtemos os seguintes resultados para os valores de mínimo, máximo, posição dos quartis, assimetria e curtose.

Informação Valor
Mínimo 60
1º Quartil 66
3º Quartil 71
Máximo 77
Assimetria -0,028
Curtose -0,18

 

Exemplo 2.6.2:

Neste exemplo, suponha uma amostra composta por -3; 1; 1,5; 1,9; 2; 2,1; 2,12; 2,4; 2,49; 2,6; 2,7; 2,71; 5. Então temos

Mínimo = -3.

Máximo = 5.

Para calcular a Tri-média retiramos o maior e o menor valor do conjunto de dados e calculamos a média dos restantes, então:

Tri-média = $ \displaystyle \frac{1+1,5+\ldots+2,71}{12}=2,138 $ 

Posição do Q1 = $ 1,5 + (3,5-3)(0,4) = 1,7 $ 

Posição do Q3 = $ 2,6 + (10,5 - 10)(0,1) = 2,65 $

Assimetria = $ \displaystyle \frac{1}{13}\left(\frac{(-3-1,963)^3+\ldots+(5-1,963)^3}{1,756^3}\right)=-1,333 $

Curtose = $ \displaystyle \frac{1}{13}\left(\frac{(-3-1,963)^4+\ldots+(5-1,963)^4}{1,756^4}\right)-3=2,605 $. Neste caso dizemos que essa distribuição é leptocúrtica e possui caudas pesadas.

Utilizando o Action, obtemos os seguintes resultados para os valores de mínimo, máximo, posição dos quartis, assimetria e curtose.

Informação Valor
Mínimo -3
1º Quartil 1,7
3º Quartil 2,65
Máximo 5
Assimetria -1,333
Curtose 2,605

 

 

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