6 - Modelo de Black e Scholes

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Uma maneira de se proteger de riscos futuros no mercado financeiro são os derivativos. Dentre os derivativos, o mercado de opção é um dos mais importante.  Relacionado com uma opção temos as seguintes questões:

  1. Qual o preço justo de uma opção?
  2. Qual a estratégia de hedging?

O primeiro problema, é de interesse de ambas as partes do contrato. O comprador quer pagar o mínimo possível e o vendedor quer receber o máximo possível. Já o segundo problema é de total interesse do vendedor da opção: com o dinheiro na mão, qual estratégia permite que na expiração da opção, ele tenha dinheiro suficiente para pagar o comprador?

Nesta seção, vamos trabalhar estes problemas no mercado de Black e Scholes. Neste modelo de mercado temos dois tipos de ativos base. Os ativos livres de risco (money market account) e os ativos com risco (ações). Neste sentido, considere $ B_t $ como sendo o valor do money market account no tempo $ t $. A dinâmica do preço do money market account segue a equação diferencial ordinária da forma 

\[dB_t = rB_t dt \quad \text{e} \quad B_0 = 1\]

 que possui solução única dada por 

\[B_t = e^{rt}.\]

Podemos notar que o modelo para o preço do money market account é determinístico, ou seja, o preço é conhecido para todo o instante de tempo. Assim, não existe risco relacionado ao money market account. 

Na sequência, vamos modelar o preço da ação. Considere $ \bar{S}_t $ como sendo o valor da ação no tempo $ t $. A dinâmica do preço da ação segue a equação diferencial estocástica 

$$d\bar{S}_t = \mu \bar{S}_t dt + \sigma \bar{S}_t dW_t$$

tal que o preço inicial é $ S_0 $$ W_t $ é o processo de Wiener (movimento browniano). Também assumimos que $ \mu $ e $ \sigma $ são constantes conhecidas. Podemos notar que o termo $ \sigma \bar{S}_t dW_t $ funciona como um ruído no modelo, ou seja, ele associa uma incerteza ao preço da ação no tempo t, o que implica que o preço final do ativo de risco (ação) é desconhecido. Já o termo $ \mu \bar{S}_t dt $ representa um crescimento linear do preço do ativo de risco. Neste caso, $ \mu $ é conhecido com taxa média de retorno e $ \sigma $ é a volatilidade do ativo. 

Para garantirmos a existência e a unicidade da solução da equação diferencial estocástica para o preço, basta observarmos que as funções $ f(t,x)=\mu x $ e $ g(t,x)=\sigma x $ satisfazem as condições de Lipschitz e de crescimento polinomial. Para mais detalhes sobre existência e unicidade de soluções para equações diferenciais estocásticas, veja Equação diferencial estocástica

O próximo resultado nos fornece uma solução analítica para a equação diferencial estocástica do ativo de risco.

Proposição 6.1:

O único processo que satisfaz a equação diferencial estocástica do preço da ação é dada por

\[\bar{S}_t = S_0\exp\left\{\left(\mu -\frac{\sigma^2}{2} \right)t + \sigma W_t\right\}.\]

A verificação deste resultado pode ser encontrada no Exemplo 10.5.1 e segue, diretamente, da aplicação da Fórmula de Itô.  A fim de simular o processo de preços, podemos utilizar o algoritmo composto pelos passos abaixo.

  1. Simulamos o movimento Browniano $ W_t $, conforme o algoritmo apresentado na Seção Movimento Browniano
  2. Calculamos
    \[\bar{S}_t = S_0\exp\left\{\left(\mu-\frac{\sigma^2}{2}\right)t+\sigma W_t\right\}.\]

Na figura a seguir, utilizando os valores $ S_0 = 100 $, $ \mu = 0,1 $ e $ \sigma = 0,4 $ e o intervalo de tempo $ [0,1] $ particionado em intervalos iguais de tamanho $ h = \frac{1}{500} $, simulamos algumas trajetórias para o processo de preços.

Definição 6.1:

Dizemos que $ C_T $ é a função $ \emph{payoff} $ associada a um derivativo com maturidade $ T $ e ativo subjacente (ou, base) $ \bar{S}_t $, se

$$C_T=g(\bar{S}_t, \ \forall \ t\in[0,T]),$$

 para alguma função $ g $.

Dizemos que uma função $ \emph{payoff} $ é independente da trajetória se $ C_T=g(\bar{S}_T) $, ou seja, se o $ \emph{payoff} $ depende apenas do instante final do ativo subjacente. A seguir, apresentamos exemplos de funções $ \emph{payoff} $

Exemplo 6.1:

A função $ \emph{payoff} $ de uma $ \emph{call option europeia} $ é dada por

$$C_T=(\bar{S}_T-K)^{+}$$

Podemos notar que o payoff de uma call option europeia é independente da trajetória, pois a função $ C_T $ só depende do preço do ativo no instante $ T $.

Exemplo 6.2:

A função $ \emph{payoff} $ de uma opção do tipo barreira é dada por

$$C_T=(\bar{S}_T-K)^{+} 1\!\!1_{\{\max_{0\leq t\leq T} \bar{S}_t\textless B\}}$$

A função $ \emph{payoff} $ de uma opção do tipo barreira é dependente da trajetória do processo de preço do ativo com risco, pois se para algum tempo $ t\in [0,T] $ o preço $ \bar{S}(t) $ ultrapassar o valor de barreira $ B $ então $ C_T = 0 $.   

A seguir, apresentamos os conceitos de estratégia de negociação e estratégia auto-financiável, necessários para o cálculo do preço da opção.

Definição 6.2:

Uma estratégia de negociação é um par $ \phi(t)=(\alpha_t,\beta_t) $ de processos estocásticos progressivamente mensuráveis sobre o espaço de probabilidade $ (\Omega ,\mathcal{F},\mathbb{P}) $, no qual 

  • $ \alpha_t $: representa a quantidade de ativos com risco (ações) no tempo $ t $;
  • $ \beta_t $: quantidade de ativos sem risco ($ \emph{money market account} $) no tempo $ t $.

A partir da estratégia de negociação $ \phi $, vamos definir o capital do investidor associado à estratégia $ \phi $.

Definição 6.3:

Seja $ \phi_t=(\alpha_t,\beta_t) $ uma estratégia de negociação. Definimos o processo $ V_t(\phi) $ como

\[V_t(\phi)=\alpha_t\bar{S}_t+\beta_tB_t, \quad 0 \leq t \leq T\]

que representa o valor do portfolio composto do ativo de risco e do money market account no tempo $ t $.

Definição 6.4:

Uma estratégia de negociação $ \phi_t=(\alpha_t,\beta_t) $ sobre o intervalo $ [0, T] $ é auto-financiável, se o processo $ \emph{portfolio} $ satisfaz a seguinte igualdade:

$$V_t(\phi)=V_0(\phi)+\int_0^t\alpha_ud\bar{S}_u+\int_0^t\beta_udB_u$$

Para entender a definição acima, vamos derivar o processo de $ \emph{portfolio} $ de forma heurística na variável $ t $

$$\frac{dV_t(\phi)}{dt}=\alpha_t\frac{d\bar{S}_t}{dt}+\frac{d\alpha_t}{dt}\bar{S}_t+\frac{dB_t}{dt}\beta_t+\frac{d\beta_t}{dt}B_t.$$

A estratégia $ \phi $ é auto-financiável, se a condição abaixo for satisfeita

$$\frac{d\alpha_t}{dt}\bar{S}_t=-\frac{d\beta_t}{dt}B_t.$$

O que a definição está dizendo é que não existe investimento e nem retirada de dinheiro do processo de portfólio, ou seja, se aumentarmos a quantidade investida na ação, diminuímos a quantidade investida no money market account.

Na sequência, vamos verificar que existe uma probabilidade $ \mathbb{Q} $ que torna o preço do ativo descontado um martingale. Seja $ S_t=B^{-1}_t\bar{S}_t $ o processo que representa o preço da ação descontado no tempo $ t $. Assim, obtemos que

$$\frac{\bar{S}_t}{B_t} = S_0 \exp\left[\left( (\mu-r)-\frac{\sigma}{2}\right)t+\sigma W_t \right].$$

Assim, a equação diferencial estocástica para o preço da ação descontada é dada por: 

$$dS_t=(\mu-r)S_tdt+\sigma S_tdW_t.$$

 Agora, defina o processo estocástico $ W^{*}_t $ como 

$$W^{*}_t=W_t+\frac{(\mu-r)}{\sigma}.$$

Então, temos que 

$$dW^{*}_t=dW_t+\frac{\mu-r}{\sigma}dt.$$

O Teorema de Girsanov garante que existe uma única probabilidade $ \mathbb{Q} $ dada por

\[\mathbb{Q}(A)=\int_A\exp\left\{-\frac{\mu-r}{\sigma}dW_t - \frac{(\mu - r)^2}{2\sigma^2}dt \right\} d\mathbb{P}\]

 tal que o processo estocástico $ W^{*}_t $ seja um martingale sobre $ \mathbb{Q} $.

Assim,  

\[dS_t =S_t\left(\mu-r\right)dt+S_t\sigma \left(dW^{*}_t-\frac{\mu-r}{\sigma}dt\right) = S_t\left(\mu-r\right)dt+S_t\sigma dW^{*}_t-S_t\sigma\left(\frac{\mu-r}{\sigma}\right)dt = S_t\sigma dW^{*}_t\]

e, portanto, $ S_t $ é um martingale sob a probabilidade $ \mathbb{Q} $.

Lema 6.1:

Considere $ \phi=(\alpha,\beta) $ uma estratégia auto-financiável. Defina o processo portfólio descontado como

\[V^{*}_t(\phi)=B^{-1}_tV_t(\phi).\]

 Então, o processo portfólio descontado é um martingale sob a probabilidade $ \mathbb{Q} $, na forma

\[V^{*}_t(\phi)=V^{*}_0(\phi)+\int_0^t\alpha_udS_u=V^{*}_0(\phi)+\int_0^t\alpha_u\sigma S_udW^{*}_u.\]

Demonstração:

 Utilizando a fórmula de integração por partes, temos que

\[dV_t^{*}(\phi)=V_t(\phi)dB^{-1}_t+B^{-1}_tdV_t(\phi)\]

\[=\left(\alpha_t\bar{S}_t+\beta_tB_t\right)dB^{-1}_t+B^{-1}_t\left(d\bar{S}_t\alpha_t+\beta_tdB_t\right)\]

\[=\alpha_t\left(\bar{S}_tdB^{-1}_t+B^{-1}_td\bar{S}_t\right)+\beta_t\left(B_tdB^{-1}_t+B^{-1}_tdB_t\right).\]

 Como $ \beta_t\left(B_tdB^{-1}_t+B^{-1}_tdB_t\right) = \beta_td\left(B^{-1}_tB_t\right)=0 $, temos que

\[dV_t^{*}(\phi)=\alpha_t\left(\bar{S}_tdB^{-1}_t+B^{-1}_td\bar{S}_t\right)\]

\[=\alpha_tdS_t,\]

 o que implica que

\[V^{*}_t(\phi)=V^{*}_0(\phi)+\int_0^t\alpha_udS_u\]

\[=V^{*}_0(\phi)+\int_0^t\alpha_u\sigma S_udW^{*}_u\]

$ \square $

Podemos notar que $ V^{*}_t(\phi) $ é um martingale, pelo fato de que a integral estocástica $ \int_0^t\alpha_u\sigma S_udW^{*}_u $ é um martingale sobre a probabilidade $ \mathbb{Q} $.  Com isso, obtemos que, tanto o processo de preço descontado $ S $, quanto o capital descontado $ V^{\*} $ são martingales sob $ \mathbb{Q} $. Neste sentido, dizemos que a probabilidade $ \mathbb{Q} $ é de risco neutro. Além disso, observe que uma estratégia auto-financiável $ \phi $ é, unicamente, determinada por dois elementos $ (V^{*}_0(\phi), \alpha) $, que representam o capital inicial e a quantidade de ativos com risco em posse do investidor.  Assim, sob a probabilidade de risco-neutra $ \mathbb{Q} $, queremos estabelecer uma estratégia auto-financiável $ \phi^{*} $, representada por $ (V^{*}_0(\phi^{\ast}), \alpha^{\ast}) $, de forma que $ V_T(\phi^{*})= C_TB^{-1}_T $. Neste sentido, introduzimos a seguinte definição.  

Definição 6.5:

Considere $ V^{\ast}_T(\phi) $ o valor do portfolio descontado no tempo $ T $. Dizemos que o portfólio é replicável se $ V^{\ast}_T(\phi})= C_TB^{-1}_T $ com probabilidade um. Se existe uma estratégia auto-financiável $ (V^{\ast}_0(\phi),\alpha) $ de forma que o portfólio seja replicável, dizemos que o payoff $ C_T $ é atingível. Se este é o caso, então do Lema 6.1, temos que

\[C_TB^{-1}_T = V^{\ast}_T(\phi)=V^{\ast}_0(\phi)+\int_0^T\alpha_udS_u.\]

Agora, iremos apresentar um resultado fundamental do cálculo estocástico, e que será de extrema importância para precificação de opções. Este resultado é conhecido como Teorema de Representação de Martingales.

Teorema 6.1:(Teorema de Representação de Martigales)

Seja $ W = \{W_t\}_{t\geq 0} $ um movimento Browniano definido sobre um espaço de probabilidade filtrado $ (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{F},\mathbb{Q}) $. Seja $ X $ uma variável aleatória quadrado integrável e mensurável com respeito a $ \mathcal{F} $. Então existe um processo previsível $ \theta=\{\theta_t\}_{t\geq 0} $ adaptado a filtragem $ \mathbb{F} $ tal que 

\[X_T=\mathbb{E}[X]+\int_0^T\theta_tdW_t.\]

Teorema 6.2:

Seja $ C_T $ a função payoff de uma opção. Suponha que $ C_T $ seja atingível. Então, o preço justo da opção é dado por 

\[C_0=\mathbb{E}_{\mayhbb{Q}}[C_TB^{-1}_T]\]

 e sua estratégia de hedging é dada por 

\[\alpha_t=\frac{\theta_t}{S_t\sigma}\]

em que $ \theta $ é o integrando do Teorema de representação de Martingales

Demonstração:

Do Lema 6.1, temos que

\[V^{\ast}_T(\phi) = V^{\ast}_0(\phi) + \int_0^T\alpha_udS_u = V^{\ast}_0(\phi) + \int_0^T\alpha_u\sigma S_udW^{\ast}_u.\]

Como, por hipótese, o payoff é atingível, temos que $ V^{\ast}_T(\phi) = C_TB^{-1}_T $ de onde segue que o preço justo da opção é $ V^{\ast}_0(\phi) $ e a estratégia de hedging é dada por $ \alpha $. Porém, como $ C_TB^{-1}_t $ é, por hipótese $ \mathbb{Q} $-quadrado integrável e $ \mathbb{F} $-mensurável, segue do Teorema de Representação de Martingales, que existe um único processo previsível $ \theta $ tal que

\[V_T^{*}(\phi) = C_TB^{-1}_T =\mathbb{E}_{\mathbb{Q}}[C_TB^{-1}_T]+\int_0^T\theta_udW^{*}_u.\]

Portanto, da unicidade da representação, temos que $ V^{\ast}_0(\phi) = \mathbb{E}_{\mathbb{Q}}[C_TB^{-1}_T] $, ou seja, o valor inicial do portfolio (preço justo da opção) é dado pelo valor esperado do payoff descontado. Além disso, temos que $ \theta_t = \alpha_t\sigma S_t $ de onde concluímos que a estratégia de hedging é dada por

\[\alpha_t = \frac{\theta_t}{\sigma S_t}\]

concluindo a demonstração.

$ \square $

Corolário 6.1:

Se a função $ C_T \in C^2 $. Então a estratégia de hedging é dada por

\[\alpha_t = \frac{\partial C_t}{\partial S_t} = \frac{\partial V^{\ast}_t(\phi)}{\partial S_t}.\]

Demonstração:

O objetivo agora, é determinar o processo previsível $ \theta $. Suponha que $ V^{\ast}_t(\phi) $ seja uma função contínua de $ t $ e $ S_t $ e, além disso, que possua derivadas parciais até segunda ordem contínuas. Relembramos que o processo do preço descontado do ativo $ S $ é dado segundo a equação diferencial estocástica

\[dS_t = S_t\sigma dW^{\ast}_t,\]

sendo, portanto, um processo de Itô. Aplicando a fórmula de Itô para a função $ V^{\ast}_t(\phi) $, temos que

\[V^{\ast}_t(\phi) = V^{\ast}_0(\phi) + \int_0^t\sigma S_u\frac{\partial V^{\ast}_u(\phi)}{\partial S_u}dW^{\ast}_u + \int_0^t\left[\frac{\partial V^{\ast}_u(\phi)}{\partial u} + \frac{1}{2}\frac{\partial^2V^{\ast}_u(\phi)}{\partial S^2_u}\sigma^2S^2_u\right]du.\]

Mas, do Lema 6.1, temos que $ V^{\ast}_t(\phi) = V^{\ast}_0(\phi) + \int_0^t\alpha_u\sigma S_udW^{\ast}_u $, portanto, temos que 

\[\theta_t = \sigma S_t\frac{\partial V^{\ast}_u(\phi)}{\partial S_u}\]

 e a estratégia de hedging é dada por

\[\alpha_t=\frac{\partial V^{\ast}_t(\phi)}{dS_t},\]

como queríamos demonstrar.

$ \square $

O método comentado acima, consiste em encontrar uma probabilidade $ \mathbb{Q} $ de forma que o processo estocástico $ W^{*}(t)=W(t)+\frac{(\mu-r)}{\sigma}t $ seja um movimento browniano sobre $ \mathbb{Q} $, e então calcular o valor esperado do $ \emph{payoff} $ descontado sobre $ \mathbb{Q} $. Este método é comumente chamado de método da $ \textit{Medida Martingale Equivalente} $.

Exemplo 6.3:

Considere uma opção de compra europeia (europeian call option), cuja função payoff é dada por

\[C_T = (\bar{S}_T - K)^{+} = \left\{\begin{array}{l}\bar{S}_T-K \ \text{se} \ \bar{S}_T \geq K\\ 0, \ \text{caso contrário}\end{array}\right.\]

Neste caso, o preço da opção é dado por

\[\mathbb{E}_{\mathbb{Q}}\left[C_TB_T^{-1}\right] = S_0\Phi(d_1) - Ke^{-rT}\Phi(d_2)\]

em que

\[d_1 = \frac{\ln\left(\frac{S_0}{K}\right)+\left(r+\frac{\sigma^2}{2}\right)T}{\sigma\sqrt{T}}\]

e

\[d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T}.\]

Além disso, a estratégia de hedging, no instante inicial, é dada por

\[\alpha_0= \Phi(d_1).\]

De fato, temos que

\[\mathbb{E}_{\mathbb{Q}}[(\bar{S}_T - K)^{+}B^{-1}_T]=\mathbb{E}_{\mathbb{Q}}[(\bar{S}_T - K)B^{-1}_T1\!\!1_{\{S_T \geq K\}}]=\mathbb{E}_{\mathbb{Q}}[\bar{S}_T B^{-1}_T 1\!\!1_{\{\bar{S}_T \geq K\}}] - \mathbb{E}_{\mathbb{Q}}[KB^{-1}_T1\!\!1_{\{\bar{S}_T \geq K\}}]= \mathbb{J}_1 - KB^{-1}_T\mathbb{J}_2\]

em que =\mathbb{E}_{\mathbb{Q}}[\bar{S}_TB^{-1}_T1\!\!1_{\{\bar{S}_T\geq K\}}] $ e $ \mathbb{J}_2=\mathbb{E}_{\mathbb{Q}}[1\!\!1_{\{\bar{S}_T\geq K\}}] $. Portanto, basta calcular $ \mathbb{J}_1 $ e $ \mathbb{J}_2 $.

Inicialmente, vamos calcular $ \mathbb{J}_2 $.

\[\mathbb{J}_2=\mathbb{E}_{\mathbb{Q}}[1\!\!1_{\{\bar{S}_T\geq K\}}]=\mathbb{Q}[\bar{S}_T\geq K] = \mathbb{Q}\left[S_0\exp\left\{\sigma W^{\ast}_T+\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)T\right\}\geq K\right]\]

de onde concluímos que

\[\mathbb{J}_2 =\mathbb{Q}\left[ -\sigma W^{\ast}_T\leq\ln \left(\frac{S_0}{K}\right)+\left(r - \frac{\sigma^2}{2}\right)T\right]=\mathbb{Q}\left[ - \frac{W^{\ast}_T}{\sqrt{T}}\leq\frac{\ln \left(\frac{S_0}{K}\right)+\left(r - \frac{\sigma^2}{2}\right)T}{\sigma\sqrt{T}}\right].\]

Como $ -\frac{W^{*}_T}{\sqrt{T}} \sim N(0,1) $, temos que

\[\mathbb{J}_2=\Phi\left(\frac{\ln\left(\frac{S_0}{K}\right)+\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)T}{\sigma\sqrt{T}}\right)\]

em que $ \Phi $ é a distribuição acumulada da normal. A fim de calcular $ \mathbb{J}_1 $, é necessário fazer uma nova mudança de probabilidade. Para isto, considere

\[\mathbb{Q}^{\ast}(A) = \int_A\exp\left\{\sigma W^{*}_T - \frac{\sigma^2}{2} \right\} d\mathbb{Q}\]

Como anteriormente, temos que $ \hat{W}_t=W^{*}_t-\sigma t $ é um $ \mathbb{Q}^{\ast} $-movimento browniano e, então,

\[\mathbb{J}_1=\mathbb{E}_{\mathbb{Q}}[\bar{S}_T B^{-1}_T1\!\!1_{\{\bar{S}_T\geq K\}}]=\int_{\Omega}S_0\exp\left\{\sigma W^{*}_T-\frac{\sigma^2}{2}T\right\}1\!\!1_{\{\bar{S}_T\geq K\}} d\mathbb{Q}= \int_{\Omega}S_01\!\!1_{\{\bar{S}_T\geq K\}}d\mathbb{Q}^{*}=\mathbb{E}_{\mathbb{Q}^{*}}[S_01\!\!1_{\{\bar{S}_T\geq K\}}]\]

\[\qquad=S_0\mathbb{Q}^{*} [\bar{S}_T\geq K]=S_0\mathbb{Q}^{*}[S_T\geq KB^{-1}_T]=S_0\mathbb{Q}^{*}\left[S_0 \exp\left\{\sigma\hat{W}_T+\frac{\sigma^2}{2}T\right\}\geq KB^{-1}_T\right]=S_0\mathbb{Q}^{*}\left[-\sigma\hat{W}_T\leq\ln{S_0/K} + \left(r+\frac{\sigma^2}{2}\right)T\right]\]

de onde concluímos que

\[\mathbb{J}_1=S_0\Phi\left(\frac{\ln{S_0/K}+(r+\frac{\sigma^2}{2})T}{\sigma\sqrt{T}}\right)\]

Portanto o preço de uma $ \emph{call option europeia} $ é dado por

\[C_0 = S_0\Phi(d_1) - KB^{-1}_T\Phi(d_2),\]

com

\[d_1=\frac{\ln{S_0/K}+(r+\frac{\sigma^2}{2})T}{\sigma\sqrt{T}} \ \ \text{e} \ \ d_2=d_1-\sigma\sqrt{T}.\]

Para o cálculo da estratégia de hedging no instante inicial, temos que

\[\alpha_0 = \frac{\partial}{\partial S_t}\mathbb{E}_{\mathbb{Q}}\left[(\bar{S}_T-K)^{+}B_T^{-1}\right] = \frac{\partial}{\partial S_t}\left(S_t\Phi(d_1) - Ke^{-rT}\Phi(d_2)\right) = \Phi(d_1) + S_t\Phi^{\prime}(d_1) - Ke^{-rT}\Phi^{\prime}(d_2)\]

de onde segue que

\[\alpha_0 = \Phi(d_1) + S_t\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{d_1^2}{2}}\frac{\partial d_1}{\partial S_0} - Ke^{-rT}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{d_2^2}{2}}\frac{\partial d_1}{\partial S_0} = \Phi(d_1) + \left(S_t\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{d_1^2}{2}}-Ke^{-rT}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{d_2^2}{2}}\right)\frac{\partial d_1}{\partial S_0}.\]

Porém, temos que

\[Ke^{-rT}e^{-\frac{d_2^2}{2}} = Ke^{-rT}e^{-\frac{\left(d_1+\sigma\sqrt{T}\right)^2}{2}}=Ke^{-rT}e^{-\frac{d_1^2}{2}}e^{\sigma\sqrt{T}d_1-\frac{\sigma^2T}{2}} = Ke^{-rT}e^{-\frac{d_1^2}{2}}e^{\ln S_t/K + \left(r+\frac{\sigma^2}{2}\right)T-\frac{\sigma^2T}{2}}\]

e, portanto,

\[Ke^{-rT}e^{-\frac{d_2^2}{2}} = Ke^{-rT}e^{-\frac{d_1^2}{2}}\frac{S_t}{K}e^{rT} = S_te^{-\frac{d_1^2}{2}}\]

e, desta forma, concluímos que $ \alpha_0 = \Phi(d_1) $.

Ressaltamos que, de forma análoga, a partir de um simples argumento de translação, podemos calcular o preço da opção $ \mathbb{E}_{\mathbb{Q}}[C_TB_T^{-1}|\mathcal{F}_t] $ e a estratégia de hedging $ \alpha_t $ em qualquer instante $ 0\leq t \ \textless \ T $, respectivamente, por

\[\mathbb{E}_{\mathbb{Q}}\left[C_TB_T^{-1}|\mathcal{F}_t\right] = S_t\Phi(d_1^{\ast})-Ke^{-r(T-t)\Phi(d_2^{\ast}) \quad \ \text{e} \ \quad \alpha_t = \Phi(d_1^{ast})\]

em que

\[d_1^{ast} = \frac{\ln\left(\ln\frac{S_t}{K}\right)+\left(r+\frac{\sigma^2}{2}\right)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}} \quad \ \text{e} \ \quad d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T-t}.\]

Equação Diferencial Parcial de Black e Scholes

Vamos assumir que o preço da opção satisfaz

$$C_t=v(S_t,t)$$

para alguma função \mathbb{R}_{+}\times[0,T]\rightarrow\mathbb{R} $.

Definição 6.5:

Dizemos que uma estratégia $ \Gamma_t=(\alpha_t ,\beta_t) $ sobre o intervalo $ [0,T] $ é auto financiável, se o processo de $ \emph{portfolio} \ V_t(\Gamma) $, definido como

$$V_t(\Gamma)=\alpha_t S_t+\beta_tB_t,\ \ \forall t\in [0,T],$$

satisfaz a seguinte condição

$$V_t(\Gamma )=V_0(\Gamma)+\int_0^t\alpha_u dS_u+\int_0^t\beta_udB_u,\ \ \forall t\in [0,T].$$

 

Vamos assumir também que a estratégia de replicação $ \Gamma_t $ tem a seguinte forma.

$$\Gamma_t=(\alpha_t, \beta_t)=(g(S_t,t),h(S_t,t))$$

para $ t\in[0,T] $ e \mathbb{R}_{+}\times [0,T]\rightarrow\mathbb{R} $ funções.

O processo do $ \emph{portfolio} $ é dado por

$$V_t(\Gamma) = g(S_t,t)S_t+h(S_t,t)B_t$$

Então

$$dV_t(\Gamma)=g(S_t,t)dS_t+h(S_t,t)dB_t$$

Utilizando a EDE do preço da ação e a EDO do $ \emph{money market account} $, temos que 

$$dV_t(\Gamma)=g(S_t,t)(\mu S_t dt+\sigma S_t dW_t)+h(S_t,t)rB_t dt$$

$$=g(S_t,t)(\mu S_tdt+\sigma S_tdW_t)+h(S_t,t)rB_tdt+rg(S_t,t)S_tdt-rg(S_t,t)S_tdt$$

$$= (\mu-r)g(S_t,t)S_tdt+\sigma S_tg(S_t,t)dW_t+rv(S_t,t)dt$$

 

Isolando $ h(S_t,t) $ de $ v(S_t,t)=g(S_t,t)S_t+h(S_t,t)B_t $ temos que

$$\beta_t=h(S_t,t)=B_t^{-1}(v(S_t,t)-g(S_t,t)S_t)$$

Vamos assumir que a função $ v $ é uma função diferenciável até a segunda ordem e que suas derivadas são contínuas. Assim, podemos aplicar a fórmula de Itô.

$$dv(S_t,t)=(v_t(S_t,t)+\muS_tv_s(S_t,t)+\frac{\sigma^2}{2}S_t^2 v_{ss}(S_t,t))dt+\sigma S_tv_s(S_t,t)dW_t$$

Defina o processo $ Y_t $ como

$$Y_t = v(S_t,t)-V_t(\Gamma)$$

Combinando os diferenciais, temos

$$dY_t=dv(S_t,t)=(v_t(S_t,t)+\muS_tv_s(S_t,t)+\frac{\sigma^2}{2}S_t^2 v_{ss}(S_t,t))dt+\sigma S_tv_s(S_t,t)dW_t$$

$$-((\mu-r)g(S_t,t)S_tdt+\sigma S_tg(S_t,t)dW_t+rv(S_t,t)dt)$$

como os processos são idênticos, $ Y_t = 0 $ para todo $ t\in[0,T] $. Da unicidade da decomposição de Doob-Meyer, temos que

$$\int_0^t\sigma S_u(g(S_u,u)-v_s(S_u,u))dW_u = 0$$

Da isometria de Itô, a equação anterior é equivalente a:

$$\int_0^t\sigma S_u^2(g(S_u,u)-v_s(S_u,u))^2du=0,$$

como o integrando é positivo, temos que

$$g(S_t,t) = v_s(S_t,t),\ \ \forall (S_t,t)\in\mathbb{R}_{+}\times[0,T]$$

Assim, obtemos a estratégia de $ \emph{hedging} $.

Da mesma forma que as partes martingales são iguais devido a unicidade da decomposição de Doob-Meyer, os processos previsíveis são iguais. Então

$$v_t(S_t,t)+\muS_tv_s(S_t,t)+\frac{\sigma^2}{2}S_t^2v_{ss}(S_t,t)-(r-\mu)S_tg(S_t,t)+rv(S_t,t)$$

$$v_t(S_t,t)+\muS_tv_s(S_t,t)+\frac{\sigma^2}{2}S_t^2v_{ss}(S_t,t)+(r-\mu)S_tv_s(S_t,t)+rv(S_t,t)$$

$$v_t(S_t,t)+\frac{\sigma^2}{2}S_t^2v_{ss}(S_t,t)+rS_tv_s(S_t,t)-rv(S_t,t)$$

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