5 - Modelo de n períodos

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Também conhecido como modelo de Cox-Ross-Rubistein, este modelo é uma extensão direta do modelo de um período. Neste modelo, discretizamos o intervalo $ [0,T] $ em $ n $ instantes $ 0=t_1\textless t_2\textless\dots\textless t_n=T $ e então calculamos o preço e o $ \emph{hedging} $ do derivativo em cada tempo $ t_i $ para $ i\in\{2,\dots,n\} $. A seguir, apresentamos a composição do mercado de Cox-Ross-Rubistein.

No modelo de Cox-Ross-Rubistein, trabalhamos com dois ativos bases, são eles: um ativo de risco (Ação)  e um ativo livre de risco (Bond). 

  • Ativo livre de risco (Bond)

O valor no tempo t de um Bond, é dado por

$$B_t = (1+r)^t\ \ \ \forall t\in\underline{T}$$

com $ r $ constante positiva. Observe que $ B_t $ é determinístico.

  • Ativo de risco (Ação)

Para cada tempo $ t\in \{t_2, t_3,\dots,t_n\} $, o preço da ação é um variável aleatória da forma

$$\frac{S_t}{S_{t-1}}\in \{u,d\}$$

  

ou seja, em cada instante o preço sobre uma taxa $ u $ ou cai uma taxa $ d $ 

com probabilidades  

$$\mathbb{P}\{S_t=uS_{t-1}|S_{t-1},\dots,S_0\}=p\ \ e \ \ \mathbb{P}\{S_t=dS_{t-1}|S_{t-1},\dots,S_0\}=1-p.$$

Da maneira como definimos a dinâmica do preço da ação, o processo de evolução do preço da ação é uma árvore binomial. O nome árvore binomial tem relação com os ramos que em cada tempo o preço da ação pode assumir. A imagem abaixo, esclarece o porque deste processo ser chamado de árvore binomial.

Para prosseguir será necessário definirmos o que é uma estratégia.

Definição 5.1:

 Uma estratégia $ \phi $ é um processo composto por dois processos previsíveis $ \alpha_t $ e $ \beta_t $ respectivamente especificados

  • $ \alpha_t $ : número de ações possuídas no tempo $ [t,t+1) $
  • $ \beta_t $: montante investido em um bond no período $ [t,t+1) $

Para o cálculo do preço da opção, vamos utilizar um método regressor, que ajusta a dinâmica do $ \emph{portfolio} $ no início de cada período. Assim, seremos capazes de replicar o $ \amph{payoff} $ no tempo $ T $.

Definição 5.2:

O processo do valor do $ \emph{portfolio} $ no tempo $ t $ é definido como

$$V_t(\phi)=\alpha_{t-1}S_t+\beta_{t-1}(1+r)$$

Dado uma maturidade fixa $ T $, vamos iniciar a análise considerando o último período, $ [T-1,T] $. Vamos assumir que o $ \emph{portfolio} $ replicante do $ \emph{payoff} $ é estabelecido em $ T-1 $ e permanece fixo até o tempo $ T $. Ou seja, vamos estabelecer uma estratégia $ \phi=(\alpha,\beta) $ no início do período $ [T-1,T] $ de forma que o valor do $ \emph{portfolio} $ $ V_T(\phi) $ no tempo $ T $

$$V_T(\phi)=\alpha_TS_T+\beta_T(1+r)$$

replique o $ \emph{payoff} $ $ C_T $, isto é, $ V_T(\phi)=C_T $.

Nesta linhagem de raciocínio, temos que 

$$\alpha_{T-1}S_T+\beta_{T-1}(1+r)=(S_T-K)^{+}$$

Da suposição que $ S_t=uS_{t-1} $ ou $ S_t=dS_{t-1} $, temos o sistema de equações abaixo

$$\left\{ \begin{array}{l} \alpha_{T-1}uS_{T-1}+\beta_{T-1}(1+r)=(uS_T-K)^{+}; \\\alpha_{T-1}dS_{T-1}+\beta_{T-1}(1+r)=(dS_T-K)^{+}.\\ \end{array}\right.$$

 

 

 

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