4 - Modelo de um período

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Nesta seção, vamos apresentar o modelo de $ 1 $ período. Este, é o modelo mais simples para precificação de opções. Contudo, é fundamental pelo fato de que muito dos conceitos apresentados aqui, serão utilizados em modelos mais complexos como, por exemplo, no modelo de Black e Scholes. 

No mercado de 1 período, vamos trabalhar com dois ativos bases. Considere o conjunto de tempos $ T=\{0,1\} $, ou seja temos apenas um tempo inicial e um tempo final.

 

Ativo livre de risco (Bond)

Seja $ B_t $ o valor do ativo livre de risco no tempo $ t $. Definimos $ B_t $ como

$$B_t=(1+r)^t\ \ \ \ t\in T$$

A taxa $ r $ representa o quanto o ativo livre de risco cresce em uma unidade de tempo.

 

Ativo de risco (Ação)

Seja $ \bar{S}_t $ o valor do ativo de risco no tempo $ t $. Supomos que o preço do ativo de risco no tempo $ t=1 $ assume apenas dois valores

$$\bar{S}_1/S_0\in \{u, d\}$$

com respectivas probabilidades

$$\mathbb{P}(\bar{S}_1/S_0=u)=p\ \ \ \mathbb{P}(\bar{S}_1/S_0=d)=1-p,$$

 

no qual $ S_0 $ é o preço inicial da ação. 

  

No modelo de um período, o ativo de risco é uma variável aleatória sobre um espaço de probabilidade $ (\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P}) $ que pode assumir apenas dois valores no tempo $ t=1 $, ou seja, em uma unidade de tempo ou o preço do ativo sobe uma taxa $ u $ ou cai uma taxa $ d $.

 

Para este modelo de mercado fazer sentido, vamos fazer a seguinte suposição,

$$d\textless (1+r)\textless u.$$

A justificativa para tal suposição é: se por exemplo $ (1+r)\textless d $, não faria sentido investir no Bond sendo que por menor que seja o rendimento da ação, ainda assim é maior do que o rendimento do Bond.

 

O objetivo desta seção é calcular o preço e o $ \emph{hedging} $ de uma opção, em particular o preço e o $ \emph{hedging} $ de uma $ \emph{european call option} $. Para podermos precificar e fazer o $ \emph{hedging} $ de um derivativo, precisamos saber quanto o mesmo rende no tempo de maturidade. Chamamos de função $ \emph{payoff} $ o rendimento do derivativo no tempo de maturidade. A seguir definimos formalmente a função $ \emph{payoff} $.

 

Definição 4.1:

A função $ \emph{payoff} \ C $ de um derivativo, é uma variável aleatória $ \mathcal{F} $-mensurável. 

 

Como já apresentado na seção de derivativos, a função $ \emph{payoff} $ para uma $ \emph{european call option} $ no tempo de maturidade $ t=1 $ é dada por

$$C=(\bar{S}_1-K)^{+}$$

 

Questão:

A função $ \emph{payoff} $ da $ \emph{european call option} $ é uma variável aleatória que pode assumir apenas dois valores. Por que para o cálculo do valor inicial da opção, simplesmente não calculamos a média da variável aleatória $ C_1 $ e descontamos a valor presente? 

A justificativa para não utilizarmos tal método é que a média do preço da opção depende diretamente da probabilidade de alta e de baixa do preço do ativo. Assim, para diferentes probabilidades temos diferentes preços para a opção. Queremos uma abordagem que evite este tipo de problema e para alcançarmos tal objetivo, os conceitos procedentes são fundamentais. 

 

No mercado de um período, podemos trabalhar com dois ativos. Assim, o conceito de estratégia se faz necessário. 

Definição 4.2:

Uma estratégia é um par $ \phi_t=(\alpha_t, \beta_t) $ tal que 

  • $ \alpha_t $ : representa a quantidade investida na ação no tempo $ t $;
  • $ \beta_t $: representa a quantidade investida no bond no tempo $ t $.

Ao investir nestes dois ativos, estamos montando um $ \emph{portfolio} $. Uma questão de interesse é saber qual o valor do portfólio no tempo $ t\in T $, o que motiva a definição abaixo. 

 

Definição 4.3:

Seja $ \phi $ uma estratégia no mercado de um período. O valor do portfólio $ V_0(\phi) $ no tempo $ t=0 $ é definido por

=\alpha_t\bar{S}_t+\beta_tB_t, \ \ \ t\in T$$

   

Dado o valor do $ \emph{portfólio} $ e a estratégia $ \alpha $, podemos obter a estratégia $ \beta $ por

$$\beta_t=\frac{V_t-\alpha_tS_t}{B_t}$$

 

Definição 4.4:

Uma estratégia $ \phi_t = (\alpha_t, \beta_t) $ é auto-financiável, se 

$$\Delta\bar{V}_t(\phi)=\alpha_{t-1}\Delta \bar{S}_t +\beta_{t-1}\Delta B_t$$

 

Seja $ \phi $ uma estratégia, então  

$$\Delta \bar{V}_t(\phi)=\alpha_t\bar{S}_t+\beta_tB_t-\alpha_{t-1}\bar{S}_{t-1}-\beta_{t-1}B_{t-1}$$

$$=\alpha_{t}\bar{S}_t+\beta_{t}B_t-\alpha_{t-1}\bar{S}_{t-1}-\beta_{t-1}B_{t-1}-\alpha_{t-1}\bar{S}_t+\alpha_{t-1}\bar{S}_t\beta_{t-1}B_t-\beta_{t-1}B_t$$

$$=\alpha_{t-1}\Delta\bar{S}_t+\beta_{t-1}\Delta B_t+\bar{S}_t\Delta\alpha_t+B_t\Delta\beta_t$$

A estratégia $ \phi $ é auto-financiável, se 

$$\bar{S}_t\Delta\alpha_t+B_t\Delta\beta_t=0.$$

Ou seja, uma estratégia $ \phi $ é auto-financiável se não existe investimento e nem retirada de dinheiro do $ \emph{portfolio} $.

 

Definimos o valor do portfólio descontado como

=\frac{\bar{V}_t(\phi)}{B_t}$$

Proposição 4.1:

Seja $ \phi $ uma estratégia auto-financiável.  Então 

$$V_1(\phi)=V_0(\phi)+\alpha_{t-1}\Delta S_t$$

prova:

$$\Delta V_t(\phi)=V_t(\phi)-V_{t-1}(\phi)=\alpha_tS_t+\beta_t-\alpha_{t-1}S_{t-1}-\beta_{t-1}$$

$$=\alpha_t S_t+\beta_t-\alpha_{t-1}S_{t-1}-\beta_{t-1} -\alpha_{t-1}S_t+\alpha_{t-1}S_t$$

$$=\alpha_{t-1}\Delta S_t + S_t\Delta \alpha_t +\beta_t-\beta_{t-1}$$

Como a estratégia é auto-financiável, vale que

$$S_{t}\Delta \alpha_t + \beta_t-\beta_{t-1}=0,$$

então

$$V_1(\phi)= V_0(\phi) + \alpha_0 (S_1-S_0)$$

$ \square $

Note que o preço do $ \emph{portfolio} $ descontado, depende somente da estratégia $ \alpha $ agora.  

 

Para calcularmos o $ \emph{hedging} $, vamos supor que existe uma estratégia auto-financiável $ \phi $ tal que o valor do $ \emph{payoff} $ $ C $ descontado

$$B_t^{-1}C=V_1(\phi)$$

.

Assim, temos o seguinte sistema de equações

$$B_1^{-1}C_1^u=V_0(\phi)+\alpha_0(S_1^u-S_0)$$

$$B_1^{-1}C_1^d=V_0(\phi)+\alpha_0(S_1^d-S_0)$$

Resolvendo o sistema de equações na variável $ \alpha $, temos que

$$\alpha_0=\frac{C_1^u-C_1^d}{\bar{S}_1^u-\bar{S}_1^d}.$$

$$V_0(\phi)=B^{-1}_1\left(C^u\frac{1+r-d}{u-d}+C^d\frac{u-1-r}{u-d}\right).$$

Se denotarmos

$$\frac{1+r-d}{u-d}=\hat{p} \ \ \ e \ \ \ \frac{u-1-r}{u-d}= 1-\hat{p},$$

temos 

$$V_0(\phi)=B^{-1}_1\left( C^u\hat{p}+C^d(1-\hat{p})\right).$$

Se considerarmos uma probabilidade $ \hat{\mathbb{P}} $ de tal forma que

$$\hat{\mathbb{P}}\{S_1/S_0 = u\} = \hat{p} \ \ e \ \ \hat{\mathbb{P}}\{S_1/S_0 = d\}=1-\hat{p}.$$

Então,

$$V_0(\phi)=\mathbb{E}_{\hat{\mathbb{P}}}[B_1^{-1}C].$$

Chamamos a probabilidade $ \hat{\mathbb{P}} $ de probabilidade de risco neutro.

 

Preço e $ \emph{hedging} $ da $ \emph{European Call Option} $

Exemplo 4.1:

 Assumimos que o preço atual de um ativo e de $ R\$280 $, e depois de três meses o preco do ativo pode subir para $ R\$320 $ ou declinar para $ R\$260 $. Qual o preco justo e o $ \emph{hedging} $ para uma $ \emph{European Call Option} $ com tempo de maturidade de 3 meses, strike price $ K = R\$280 $ e uma taxa de juros 5% para os três meses?

Suponha que o investidor trabalhe com uma probabilidade de 80% para queda do valor do ativo e 20% para subida do valor do ativo.Com esta probabilidade em mãos, o preco final do ativo $ S_T $ pode ser visto como uma variavel aleatoria que assume dois valores $ S_d = 260; S_u = 320 $ e tem funcão de probabilidade

\[\mathbb{P} \{S_T = S_d = 260 \} = 0.8 ~~~~ \mathbb{P} \{ S_T = S_u = 320 \} = 0.2 \]

Com isso, temos a seguinte função payoff

\[ C_T = (S_T - K )^{+} = \left\{ \begin{array}{l} C^u = 40 ,~ S_T = S_u = 320 \\ C^d = 0 ,~ S_T = S_d = 260 \end{array} \right \]

 

Desta forma, o valor esperado da função payoff descontado a taxa de juros é dado por

\[ \mathbb{E} [(1+ r)^{-1} C_T] = 0,2 \ast 40 \ast (1,05)^{-1} = 7,62 \]

Obviamente que o valor esperado acima depende da probabilidade associada ao payoff. Como comentado acima, esta estratégia de precificação não é conveniente para o mercado. Abaixo, calculamos a estrategia e o preço inicial com os resultados obtidos ao decorrer deste capítulo.

Primeiro vamos obter a taxa de crescimento e a taxa de queda do ativo

$$u=\frac{320}{280}=1,1428 \ \ \ e \ \ \ d=\frac{260}{280}=0,9285.$$

O valor da estratégia $ \alpha_0 $ é 

$$\alpha_0=\frac{40-0}{320-260}=\frac{2}{3}$$

ou seja, precisamos comprar dois terços da ação.

Com a taxa de crescimento e a taxa de queda, podemos calcular a probabilidade de risco neutra

$$\hat{p}=\frac{1,05-0,92}{1,1428-0,9285}=0,5666 \ \ e \ \ 1-\hat{p}=\frac{1,1428-1,05}{1,1428-0,9285}=0,4334.$$

 

O preço inicial da $ \emph{european call option} $ é

$$V_0(\phi)= (1,05)^{-1}(40\times 0,5666)=21,59$$

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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