1.5 - Incerteza do Tipo B

Você está aqui

Para uma estimativa de uma grandeza de entrada $ \mathbf{x_i} $, que não tenha sido obtida de observações repetidas, a variância estimada $ \mathbf{u^{2}(x_i)} $ ou a incerteza padrão $ \mathbf{u(x_i)} $ é avaliada pelo julgamento específico baseado em todas as informações disponíveis na variabilidade de $ \mathbf{x_i} $. No conjunto destas informações, incluímos:

a) Informações prévias de medição;

b) Experiência ou conhecimento geral do comportamento e propriedades dos instrumentos e materiais relevantes;

c) Especificações do fabricante;

d) Informações de certificados de calibração e outras especificações;

e) Incerteza transmitida pelas informações de referências obtidas de manuais.

Por conveniência, $ \mathbf{u^{2}(x_i)} $ e $ \mathbf{u(x_i)} $ avaliados desta maneira são chamados de Variância Tipo B e Incerteza Padrão Tipo B, respectivamente.

O propósito de usar várias informações disponíveis para a avaliação da incerteza padrão do Tipo B é para buscar um discernimento baseado na experiência e nos conhecimentos gerais, e é uma habilidade que pode ser obtida com a prática. É reconhecido que uma avaliação da incerteza pelo Tipo B pode ser tanto confiável quanto a do Tipo A, especialmente na situação em que a avaliação do Tipo A é baseada na comparação de pequenos números de observações estatisticamente independentes (ISO GUM, 2008).

A seguir, são apresentados 4 suposições disponíveis para as grandezas de entradas de influência $ \mathbf{x_i} $, para a avaliação da incerteza padrão Tipo B.

$ \bullet $ Caso 1

Se a estimativa $ \mathbf{x_i} $ é retirada da especificação do fabricante, certificados de calibração, manuais ou outras fontes, sua incerteza padrão $ \mathbf{u(x_i)} $ é simplesmente o valor citado dividido pelo multiplicador.

 

Exemplo 1.5.1

Voltando ao exemplo 1.3.2 o certificado de calibração afirma que a massa padrão com valor nominal de 10kg de classe M1 tem como incerteza $ 30~ mg $ para o nível de confiança com k = 2.

A incerteza da massa padrão, é então

\[\mathbf{u(W_S)= \frac{30~mg}{2} =15~mg}.\]

A incerteza de $ \mathbf{x_i} $ não necessariamente é relatada como um múltiplo de um desvio padrão, como abordado acima. Em vez disso, podemos encontrar uma declaração que a incerteza declarada possui 90%, 95%  ou 99% de nível de confiança.

Salvo indicação contrária, poderá assumir que uma distribuição normal (ou t-Student) será utilizada para o cálculo da incerteza declarada, e a incerteza padrão $ \mathbf{u(x_i)} $ pode ser encontrada dividindo-se a incerteza declarada por um fator k, apropriado da distribuição normal.

 

Exemplo 1.5.2

 

Um certificado de calibração afirma que a resistência de um resistor padrão $ R_S $ de valor nominal $ 10\Omega $ é $ 10,000742 \Omega $ a 23ºC e com incerteza de $ 129 \mu\Omega $, definindo um intervalo com nível de significância de 99%.

A incerteza padrão é dada por

\[u(R_S)= \frac{129}{2,58} = 50~\mu \Omega.\]

Neste caso, utilizamos a tabela da distribuição Normal para determinar o valor de k.

 

Exemplo 1.5.3

Voltando ao exemplo 1.3.4.

A incerteza padrão obtemos $ u(x_i) $ de cada bloco é obtido dividindo a incerteza expandida pelo fator k. Assim

$$u(x_1) = 0,077 / 2 =0,0385$$

$$u(x_2) = 0,084 / 2 =0,042$$

 

Exemplo 1.5.4

Voltando ao exemplo 1.3.3

A incerteza expandida do paquímetro, definida no certificado de calibração do mesmo, é de  0,02 com fator de abrangência k=2. Desta forma, a incerteza herdada do equipamento é de

$$u(d)=\frac{0,02}{2}=0,01~mm$$

 

$ \bullet $ Caso 2

 

Em alguns casos, pode ser possível estimar somente os limites (limite superior $ \mathbf{a_+} $ e  inferior $ \mathbf{a_-} $) para $ \mathbf{x_i} $, por exemplo, quando a grandeza de influência é a variação da temperatura. Neste caso, consideramos que a probabilidade de que o valor de $ \mathbf{x_i} $ se encontre dentro do intervalo $ \mathbf{a_-} $ até $ \mathbf{a_+} $, para todo propósito prático, é igual a 1 e a probabilidade que  $ \mathbf{x_i} $ esteja fora deste intervalo é essencialmente zero. Se não há conhecimento
específico sobre a possibilidade do valor $ \mathbf{x_i} $ estar dentro do intervalo, pode-se somente admitir que, é igualmente provável encontrá-lo por toda parte, dentro do intervalo (uma distribuição uniforme ou retangular).

Logo $ \mathbf{x_i} $ é o ponto médio do intervalo, onde:

$ \mathbf{x_i = \frac{(a_-+ a_+)}{2}} $, cuja variância associada é dada por

$$\mathbf{u^2(x_i) = \frac{(a_+-a_-)^2}{12}}.$$

Se a diferença entre os limites $ \mathbf{(a_+ - a_-)} $, é representada por $ \mathbf{2a} $, ou seja, os limites são simétricos, então a equação para variância será

$$\mathbf{u^2(x_i) = \frac{a^2}{3}}.$$

 

 

$$u=\frac{base}{2\sqrt{3}}=\frac{2a}{2\sqrt{3}}=\frac{a}{\sqrt{3}}.$$

Exemplo 1.5.5

Um manual estabelece que o valor do coeficiente linear de expansão térmica de um bloco padrão de aço é determinado por $ \alpha_S = 11,5 \times 10^{-6}~^{\circ} C^{-1} $ e que o "erro'' neste valor não deve exceder $ 2 \times 10^{-6}~^{\circ} C^{-1} $. Baseado nesta informação limitada, é razoável assumir que o
coeficiente de expansão térmica pertença ao intervalo: $ 9,5 \times10^{-6}~^{\circ} C^{-1} $ até $ 13,5 \times 10^{-6}~^{\circ} C^{-1} $, com probabilidade 1. A incerteza padrão do coeficiente de expansão térmica é dado por

\[u(\alpha_S)=\frac{(2\times 10^{-6})}{\sqrt{3}}=1,2 \times 10^{-6}~^{\circ} C^{-1}.\]

$ \bullet $ Caso 3

Os limites superiores e inferiores $ \mathbf{a_-~{e}~~a_+} $ para uma grandeza de entrada $ \mathbf{x_i} $ podem não ser simétricos, ou seja, se o limite inferior é escrito como $ \mathbf{a_- = x_i - b_-} $ e o limite superior como $ \mathbf{a_+ = x_i + b_+} $, então $ \mathbf{b_- \neq~ b_+} $. Neste caso, $ \mathbf{x_i} $ não é o centro do intervalo $ \mathbf{(a_-,a_+)} $ e a distribuição de probabilidade de $ \mathbf{x_i} $ não pode ser uniforme. Entretanto, pode não existir informação suficiente  para escolher uma distribuição apropriada e diferentes modelos conduzirão para diferentes expressões para a variância.

Na ausência de tais informações, uma simples aproximação é

\[u^2(x_i)=\frac{(b_+ + b_-)^2}{12}=\frac{(a_+ + a_-)^2}{12}\]

que corresponde a variância da distribuição retangular com comprimento $ \mathbf{b_- + b_+} $.

 

Exemplo 1.5.6

Caso o exemplo anterior referente ao coeficiente de expansão térmica especifique $ aS = 11,5 \times 10^{-6}^{\circ} C^{-1} $ tal que o menor valor possível seja $ 10,0 \times 10^{-6}^{\circ} C^{-1} $ e que o maior valor possível seja de $ 14,0 \times 10^{-6}^{\circ} C^{-1} $. Neste caso, $ b_{-}=1,5 \times 10^{-6}^{\circ} C^{-1} $  e $ b_{+}=2,5\times 10^{-6}^{\circ} C^{-1} $.

Logo, a incerteza padrão é determinada por

\[u(\alpha_S)=\frac{(4\times 10^{-6})}{\sqrt{12}}=1,15 \times 10^{-6}^{\circ} C^{-1}.\]

 

Exemplo 1.5.7

 Voltando ao Exemplo 1.3.2 da calibração da massa padrão, vamos estimar as incertezas padrão do Tipo B.

Símbolo Fonte de Incerteza Limites Distribuição Incerteza
$ W_S $ Massa Padrão $ \pm $ 30 mg Normal $ \frac{30}{2} = $ 15 mg
$ D_S $ Deriva (drift) massa padrão $ \pm $ 15 mg Retangular $ \frac{15}{\sqrt{3}}= $8,66 mg
$ \delta_C $ Linearidade do comparador $ \pm $ 10 mg Retangular $ \frac{10}{\sqrt{3}}= $5,77 mg
Ab Efeito do ar $ \pm $ 10 mg Retangular $ \frac{10}{\sqrt{3}}= $5,77 mg

 

Exemplo 1.5.8

Voltando ao exemplo 1.3.3

A resolução do paquímetro segue uma distribuição retangular com base dada pela própria resolução que é de 0,01 mm. Assim, a incerteza devido a resolução é 

$$u(\mbox{Res}_d)=\frac{\mbox{Res}_d}{2\sqrt{3}}=\frac{0,01}{2\sqrt{3}}=0,002887~mm$$

 

$ \bullet $Caso 4

Nos casos acima não temos informação sobre os valor da grandeza $ X_i $, apenas que ela se encontra dentro dos limites especicados. Por isso, assumimos que os valores da grandeza são equiprováveis dentro destes limites, e que tem probabilidade zero de estar fora destes limites. Muitas vezes é mais realista assumirmos que valores perto dos limites especificados são menos prováveis do que valores próximos ao centro. Neste caso, é razoável trocarmos a distribuição triangular. Assumindo uma distribuição triangular para a grandeza $ X_i $, obtemos como média $ \mathbf{x_i = (a_+ + a_-) / 2} $ com incerteza associada $ \mathbf{u^2(x_i) = a^2 / 6} $.
 

 

Assim,

$$u=\frac{base}{2\sqrt{6}}=\frac{2a}{2\sqrt{6}}=\frac{a}{\sqrt{6}}.$$

Incerteza de Medição

Sobre o Portal Action

O Portal Action é mantido pela Estatcamp - Consultoria Estatística e Qualidade, com o objetivo de disponibilizar uma ferramenta estatística em conjunto com uma fonte de informação útil aos profissionais interessados.

Facebook

CONTATO

  •  Maestro Joao Seppe, 900, São Carlos - SP | CEP 13561-180
  • Telefone: (16) 3376-2047
  • E-Mail: [email protected]