1.6 - Incerteza Padrão combinada

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Quando a incerteza do resultado do mensurado $ \mathbf{y} $ é obtida pela combinação das incertezas padrão das estimativas de entrada $ \mathbf{x_1, x_2,\dots, x_N} $, esta incerteza combinada da estimativa $ \mathbf{y} $ é representada por $ \mathbf{u_c(y)} $ e denominada de incerteza padrão combinada.

As estimativas de entrada $ x_1, x_2,\dots, x_N $, podem ser classificadas como grandezas:

$ \bullet $ Estatisticamente independentes ou não correlacionadas;

$ \bullet $ Estatisticamente dependentes ou correlacionadas.

 

Grandezas de entrada não correlacionadas

 

Para as grandezas estatisticamente independentes, consideramos  as séries de medições  que foram realizadas com diferentes sistemas de medição. Neste caso, a incerteza padrão combinada $ \mathbf{u_c(y)} $ é a raiz quadrada positiva da variância combinada.

A expressão para se determinar esta incerteza padrão combinada no caso não correlacionado é apresentada por

\[u^2_c(y)=\sum_{i=1}^N\left(\frac{\partial y}{\partial x_i}\right)^2u^2(x_i),~~~~~(1.6.1)\]

em que $ u(x_i) $ é a incerteza padrão associada com a grandeza de entrada X$ _i $. As derivadas parciais ($ \partial f/\partial x_i $)  calculadas no ponto $ x_i $  são denominadas coeficientes de sensibilidade, pois descrevem como a estimativa de y varia com pequenas mudanças nos valores das estimativas das grandezas de entrada $ \mathbf{x_1,x_2,\dots, x_N} $.

 

 

Exemplo 1.6.1

Voltando ao Exemplo 1.3.2. Na calibração da massa padrão, obtemos a seguinte incerteza combinada

\[u_c(W_X)=\sqrt{u^2(W_s) + u^2(D_s) + u^2(\delta C) + u^2(Ab) + u^2(\Delta W)} =\]

\[=\sqrt{(15)^2 + (8,66)^2 + (5,77)^2 + (5,77)^2 + (2,08)^2} = 19,26~mg.\]

 

 

Exemplo 1.6.1

Voltando ao Exemplo 1.3.3, obtemos:

Admitimos que $ \frac{1}{4} $ e $ \pi $ são constantes isentas de incerteza ou com incertezas desprezíveis, somente a variável $ d $ é considerada para cálculo da incerteza. Primeiramente calcularemos o coeficiente de sensibilidade da seguinte forma

$$\frac{\partial y}{\partial d}=\frac{\pi~d}{2}$$

Assim, a incerteza combinada da área é calculada da seguinte forma

$$u_c(y)~=\sqrt{\left(\frac{\pi d}{2}\right)^2~(u^2(d)+u^2(\mbox{Res}_d))+u^2(\varepsilon)}=$$

$$=\sqrt{\left(\frac{3,1415\times 10,28}{2}\right)^2~(0,01^2+0,002887^2)+0,102128^2}=0,196669~mm^2$$

um segundo modo de expressarmos a incerteza é como incerteza combinada relativa e calculamos da seguinte forma

$$\frac{ u^2_{c}(y)}{y^2}~=~\frac{\left(\frac{\pi~d}{2}\right)^2(u^2(d)+u^2(\mbox{Res}_d))}{\left(\frac{\pi~d^2}{4}\right)^2}+\frac{u^2(\varepsilon)}{\left(\frac{\pi~d^2}{4}\right)^2}=$$

$$=\frac{4~(u^2(d)+u^2(Res_d))}{d^2}+\frac{16~u^2(\varepsilon)}{(\pi~d^2)^2}$$

Assim a incerteza relativa é expressa como

$$u_{cr}(y)=\frac{2~\sqrt{u^2(d)+u^2(Res_d)+\frac{4~u^2(\varepsilon)}{(\pi~d^2)^2}}}{d}$$

Substituindo os valores do exemplo, obtemos a incerteza combinada relativa

$$u_{cr}(y)=\frac{2~\sqrt{0,01^2+0,002887^2+\frac{4~0,102128^2}{(\pi~10,28^2)^2}}}{10,28}=0,00237$$

À partir da incerteza combinada relativa, obtemos a incerteza combinada da Área na forma:

$$u_c(y)=u_{cr}(y)\times \mbox{Área}=0,00237\times 82,99963=0,196709~mm^2.$$

 

Grandezas de entrada correlacionadas

 

Para as grandezas estatisticamente dependentes, consideramos  as séries de medições  que foram realizadas com os mesmos sistemas de medição, ou seja, consideremos o seguinte modelo matemático

$$y=x_i+x_j,~~~~~i=j=1,\dots,N$$

Neste caso, a covariância estimada deve ser considerada como uma contribuição adicional para a incerteza. A expressão para se determinar esta incerteza padrão combinada no caso correlacionado é apresentada por

$$u^2_c(y)=\displaystyle\sum^N_{i=1}\sum^N_{j=1}\frac{\partial y}{\partial x_i}\frac{\partial y}{\partial x_j}u(x_i,x_j)=$$

$$=\underbrace{\sum^N_{i=1}\left[\frac{\partial y}{\partial x_i}\right]^2 u^2(x_i)}_{(I)}+\underbrace{2\sum^{N-1}_{i=1}\sum^N_{j=i+1}\frac{\partial y}{\partial x_i}\frac{\partial y}{\partial x_j}u(x_i,x_j)}_{(II)}~~~~(1.6.2)$$

em que, $ u(x_i,x_j)=u(x_j,x_i) $ é a incerteza correlacionada, associada as grandezas de entrada $ X_i $ e $ X_j $.

Assim, dividindo e multiplicando a equação (1.6.1) por $ u(x_i)u(x_j), $ em (II)obtemos

$$(II)=2\sum^{N-1}_{i=1}\sum^N_{j=i+1}\frac{\partial y}{\partial x_i}\frac{\partial y}{\partial x_j} \underbrace{\frac{u(x_i,x_j)}{u(x_i)u(x_j))}}_{\rho(x_i,x_j)}u(x_i)u(x_j)=$$

$$=2\sum^{N-1}_{i=1}\sum^N_{j=i+1}\frac{\partial y}{\partial x_i}\frac{\partial y}{\partial x_j} \rho(x_i,x_j)u(x_i)u(x_j)~~~~(1.6.3)$$

em que $ \rho(x_i,x_j) $ é o grau de correlação entre $ x_i $ e $ x_j $ com $ \rho(x_i,x_j)=\rho(x_j,x_i) $ e tomando $ -1\leq \rho(x_i,x_j)\leq 1. $ Logo, substituindo a equação (1.6.3) na equação (1.6.2), obtemos

$$u^2_c(y)=\sum^N_{i=1}\left[\frac{\partial y}{\partial x_i}\right]^2 u^2(x_i)+2\sum^{N-1}_{i=1}\sum^N_{j=i+1}\frac{\partial y}{\partial x_i}\frac{\partial y}{\partial x_j}\rho(x_i,x_j)u(x_i)u(x_j)~~~~(1.6.4)$$

Se as variáveis $ x_i $ e $ x_j $ são independentes, temos que $ \rho(x_i,x_j)=0, $ e a equação (1.6.4) se reduz a equação (1.6.1). Tomaremos o caso extremo em que $ \rho(x_i,x_j)=1, $ obtemos equação aproximada da incerteza de medição no caso correlacionado da seguinte forma

$$u^2_c(y)\approx\sum^N_{i=1}\left[\frac{\partial y}{\partial x_i}\right]^2 u^2(x_i)+2\sum^{N-1}_{i=1}\sum^N_{j=i+1}\frac{\partial y}{\partial x_i}\frac{\partial y}{\partial x_j}u(x_i)u(x_j)~~~~(1.6.5)$$

 

Exemplo 1.6.2

Voltando ao exemplo 1.3.4. Então, obtemos a expressão (1.6.5) da seguinte forma

$$u^2(y)=\frac{\partial y}{\partial x_1}u^2(x_1)+\frac{\partial y}{\partial x_2}u^2(x_2)+2\frac{\partial y}{\partial x_1}\frac{\partial y}{\partial x_2}u(x_1)u(x_2)~~~(*)$$

Da expressão do exemplo 1.3.4, obtemos os coeficientes de sensibilidade:

$$\frac{\partial y}{\partial x_1}=1,~~~~\mbox{e}~~~~\frac{\partial y}{\partial x_2}=1$$

Assim, obtemos a expressão (*) da seguinte forma

$$u^2(y)=1~u^2(x_1)+1~u^2(x_2)+2~u(x_1)u(x_2)=$$

$$=(u(x_1)+u(x_2))^2$$

Daí, obtemos a seguinte equação

$$u(y)=u(x_1)+u(x_2)$$

Substituindo os valores, temos

$$u(y)=0,0385+0,042=0,0805~mm$$

 

Incerteza de Medição

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