1.7 - Incerteza Expandida

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Embora a incerteza combinada $ u_c(y) $ possa ser universalmente usada para expressar a incerteza de um resultado de medição (devido a necessidade de algumas indústrias e aplicações comerciais, bem como requisitos em áreas de saúde e segurança) é frequentemente necessário apresentar uma medida de incerteza que defina um intervalo sobre o resultado de medição. Neste caso, a incerteza compreende uma fração da distribuição dos valores, que podem ser razoavelmente atribuídos para um mensurando, denominada de Incerteza Expandida U. Este requisito foi reconhecido pelo Working Group e Recomendações do CIPM, INC (1981).

A incerteza expandida U é obtida pela multiplicação da incerteza padrão combinada  $ u_c(y) $ por um fator k.

$$U = k \times u_c(y)$$

O valor do fator k é escolhido com base no nível de confiança requerido para o intervalo. Em geral, k é usado entre 2 e 3. Portanto, para aplicações especiais, k poderá ser determinado conforme o nível de confiança requerido, de acordo com a distribuição normal ou  t-Student.

A Namas (NIS 3003 , 1995) recomenda que o fator k seja igual a 2 para calcular a incerteza expandida. Este valor corresponde a aproximadamente 95% de confiança. Entretanto, se as contribuições para a incerteza relativa a repetitividade for grande comparadas com as outras distribuições e o número de repetições for pequeno, existe uma possibilidade de que a distribuição de probabilidade normal não seja adequada. Neste caso, o fator k=2 nos garante um nível de confiança menor que 95%. Aqui, devemos utilizar a distribuição t-Student para encontrar o valor do fator k que garante 95%.

Regra: Se a incerteza do Tipo A for menor que metade da incerteza combinada, vamos utilizar o fator $ k = 2. $ Caso contrário, devemos utilizar a distribuição t-Student para obtermos o valor de k que nos garante um intervalo com 95% confiança. A norma ISO GUM [ver. 2008] recomenda a utilização da equação de Welch-Satterwaite para calcular o grau de liberdade, baseado nos graus de liberdade de cada fonte de incerteza. A fórmula para tal cálculo é dada por

\[\upsilon_{eff}=\displaystyle\frac{u_c^4(y)}{\displaystyle\sum_{i=1}^N u_i^4(y)/\nu_i}= \frac{u_c^4(y)}{u_A^4(y)/\nu_A}=\left(\frac{u_c(y)}{u_A(y)}\right)^4 \nu_A,\]

em que $ u_i(y)=|\frac{\partial f}{\partial x_i}|u(x_i) $, $ \nu_i $ representa os graus de liberdade do fator de incerteza i e $ \nu_A $ representa os graus de liberdade do Tipo A. Para contribuições da incerteza Tipo A, consideramos como graus de liberdade o número de leitura menos 1 vez o número de pontos de calibração. Para os graus de liberdade referente a contribuições da incerteza Tipo B, vamos considerar $ \upsilon_i $ igual a infinito.

 

Exemplo 1.4.1

Suponha que um sistema de medição com incerteza do Tipo A, baseada em 4 observações, tenha valor $ u_i(y) $ de 3,5 unidades. Existem outras 5 fontes de incerteza do Tipo B que apresentam incerteza estimada muito pequena, de tal forma que a incerteza combinada $ u_c(y) $ seja igual a 5,7 unidades.

Como a incerteza do Tipo A é maior que metade da incerteza combinada, vamos utilizar a distribuição t-Student para determinar o fator $ \mathbf{k} $. Através da equação de Welch-Satterwaite, temos

\[\upsilon_{eff}=\frac{(5,7)^4}{((3,5)^4/(4-1))+ 0 + 0 + 0 + 0 + 0}=21,1.\]

Tomando valor de $ \upsilon_{eff} $  igual a 20, obtemos que k = 2,13.

 

Exemplo 1.4.2

Voltando ao Exemplo 1.3.2 da calibração da massa padrão, observe que a incerteza do Tipo A é menor que metade da incerteza combinada.

Vamos calcular os graus de liberdade efetivo

\[\upsilon_{eff}=\displaystyle\left(\frac{19,26}{2,08}\right)^4 (5-1)=29405,72\]

Assim, o fator de abrangência k será de 1,96.

Assim,  a incerteza expandida é dada por

$$ U= 1,96 \times 19,26 mg = 37,7496~ mg .$$

 

Exemplo 1.4.3

Voltando ao Exemplo 1.3.3.

Vamos calcular os graus de liberdade efetivo

\[\upsilon_{eff}=\displaystyle\left(\frac{0,196669}{0,102128}\right)^4 (5-1)=55,00735\]

Assim, o fator de abrangência k será de 2,004045.

Logo,  a incerteza expandida é dada por

$$ U= 2,004045 \times 0,196669 =0,394133~mm^2 .$$

 

Exemplo 1.4.4

Voltando ao Exemplo 1.3.4.

Não temos incerteza do tipo A, então o fator de abrangência k é 1,96;

Assim,  a incerteza expandida é dada por

$$ U= 1,96 \times 0,0805 = 0,15778~mm .$$

Incerteza de Medição

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