1.9 - Teste de Valor Extremo (Grubbs)

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Este teste é desenvolvido para verificar a presença de valores extremos em observações amostrais. Valores extremos podem ser considerados como manifestações da variabilidade aleatória inerente aos dados, ou apenas um erro no cálculo durante o recolhimento dos dados e até mesmo uma anotação precipitada pelo operador.

Existem inúmeros critérios para testar valores extremos. Em todos eles, desenvolvemos o cálculo numérico amostral (estatística) e comparamos com um valor crítico baseado na teoria de amostras aleatórias, para decidirmos se existe ou não uma observação considerada valor extremo.

No teste de Grubbs, usamos a seguinte estatística

$$Z~=~\frac{| x_i ~-~\overline{x} |}{s}$$

em que

  • $ x_i $: é uma observação da amostra $ x_1, x_2, \cdots, x_n $;
  • $ \overline{x} $: é a média amostral;
  • $ s $: é o desvio padrão amostral.

Esta estatística testa as seguintes hipóteses

 x_i~~\mbox{não é uma observação considerada valor extremo}.\\\end{array} \right.$$

Rejeitamos a hipótese $ H_0 $, com nível de significância $ \alpha $, se $ Z \textgreater Z_c $. No qual $ Z_c $ é um valor crítico baseado na distribuição de Z e encontra-se na tabela (ver F. E. Grubbs (1969)) de valores de $ \alpha $ unicaudais. Na Tabela 1.9.1 , encontramos alguns valores críticos para $ \alpha $ = 10%, 5%, 2,5%, 1% e 0,5%.

n 0,1 0,05 0,025 0,01 0,005
3 1,148 1,153 1,154 1,155 1,155
4 1,425 1,462 1,481 1,492 1,496
5 1,602 1,671 1,715 1,749 1,764
6 1,729 1,822 1,887 1,944 1,973
7 1,828 1,938 2,02 2,097 2,139
8 1,909 2,032 2,127 2,221 2,274
9 1,977 2,11 2,215 2,323 2,387
10 2,036 2,176 2,29 2,41 2,482
11 2,088 2,234 2,355 2,484 2,564
12 2,134 2,285 2,412 2,549 2,636
13 2,176 2,331 2,462 2,607 2,699
14 2,213 2,372 2,507 2,658 2,755
15 2,248 2,409 2,548 2,705 2,806
16 2,279 2,443 2,586 2,747 2,852
17 2,309 2,475 2,62 2,785 2,894
18 2,336 2,504 2,652 2,821 2,932
19 2,361 2,531 2,681 2,853 2,968
20 2,385 2,557 2,708 2,884 3,001
21 2,408 2,58 2,734 2,912 3,031
22 2,429 2,603 2,758 2,939 3,06
23 2,449 2,624 2,78 2,963 3,087
24 2,468 2,644 2,802 2,987 3,112
25 2,486 2,663 2,822 3,009 3,135
26 2,503 2,681 2,841 3,029 3,158
27 2,52 2,698 2,859 3,049 3,179
28 2,536 2,714 2,876 3,068 3,199
29 2,551 2,73 2,893 3,086 3,218
30 2,565 2,745 2,908 3,103 3,236
31 2,579 2,76 2,924 3,119 3,253
32 2,592 2,773 2,938 3,135 3,27
33 2,605 2,787 2,952 3,15 3,286
34 2,618 2,799 2,965 3,164 3,301
35 2,63 2,812 2,978 3,178 3,316
36 2,641 2,824 2,991 3,191 3,33
37 2,652 2,835 3,003 3,204 3,343
38 2,663 2,846 3,014 3,216 3,356
39 2,674 2,857 3,025 3,228 3,369
40 2,684 2,868 3,036 3,239 3,381
50 2,772 2,957 3,128 3,337 3,482
60 2,841 3,027 3,2 3,411 3,56
70 2,898 3,084 3,258 3,471 3,622
80 2,946 3,132 3,306 3,521 3,673
90 2,987 3,173 3,348 3,563 3,716
100 3,024 3,21 3,384 3,6 3,754
110 3,056 3,242 3,416 3,633 3,787
120 3,086 3,271 3,445 3,662 3,817
130 3,112 3,297 3,471 3,688 3,843
140 3,136 3,321 3,495 3,712 3,867

Tabela 1.9.1: Tabela do teste de Grubbs.

 

Exemplo 1.9.1:

Considere as seguintes medições:

 

Medidas
11,89896
11,9596
11,89856
11,91408
12,04252
12,1531
11,94553
11,8682
11,85949
12,13373
12,6

Vamos calcular a média e o desvio padrão:

$$\overline{x}=\frac{11,89+11,95+\dots+12,6}{11}=12,02489$$

$$s=\sqrt{\frac{(11,89-12,024)^2+(11,95-12,024)^2+\dots+(12,6-12,024)^2}{11-1}}=0,215851$$

Com isso, vamos calcular para o ponto 11 o teste de Grubbs, usando a seguinte estatística

$$Z~=~\frac{| x_i ~-~\overline{x} |}{s}=\frac{|x_{11}-\overline{x}|}{s}=\frac{|12,6-12,02489|}{0,215851}=2,664396$$

Como $ Z\textgreater 2,3547, $ então, essa medida é um valor extremo (outlier).

Resultados desse exemplo obtidos com o software Action:

 

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar:

 Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

Exercício 1.9.1:

Considere as seguintes medições na tabela 1.9.2 e calcule a média, desvio padrão e o teste de Grubbs:

 

Medidas
9,988031
10,02081
9,997529
10,06985
9,995944
10,1367
9,936079
9,880081
9,99015
10,04604
11

Tabela 1.9.2: Medições.

 

Incerteza de Medição

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