3.2 - Cálculo de Incerteza de um Micrômetro Externo

Considere o processo de calibração de um micrômetro externo digital de resolução de 0,001mm.  Esta calibração é realizada por comparação utilizando-se um jogo de blocos padrão. O resultados são apresentados na Tabela 3.2.1.

Valor de Referência	Leituras			Média	Tendência
25	25,001	25	25	25,0003	0,000333
27,5	27,501	27,501	27,5	27,5007	0,000667
30,1	30,101	30,1	30,1	30,1003	0,000333
32,7	32,7	32,7	32,7	32,7	0
35,3	35,3	35,3	35,3	35,3	0
37,9	37,899	37,9	37,9	37,8997	-0,00033
40	39,999	39,999	40	39,9993	-0,00067
42,6	42,6	42,599	42,599	42,5993	-0,00067
45,2	45,198	45,199	45,199	45,1987	-0,00133
47,8	47,798	47,799	47,799	47,7987	-0,00133
50	49,999	49,998	49,998	49,9983	-0,00167

Tabela 3.2.1: Dados da medição.

Método de Medição

A leitura de um bloco padrão corresponde a diferença entre seus comprimentos

$$ d = l - l_S $$

onde,

• l: representa a leitura obtida pelo micrômetro;
• l_S: representa o comprimento do bloco padrão para uma temperatura de 20ºC.

A correção devido a variação de temperatura é dada por

$$d = l (1+ \alpha~\theta )-l_S (1+\alpha_S~\theta_S)$$

onde,

• $\alpha$ e $\alpha_S$: correspondem aos coeficientes de expansão térmica do micrômetro (escala) e do bloco padrão utilizado na medição, respectivamente;
• $\theta$  e $\theta_S$: correspondem a diferença de temperatura do micrômetro e o bloco padrão, em relação a $20ºC$, respectivamente.

 

Modelo Matemático

A leitura, do comprimento do bloco, obtida no micrômetro é dada por

$$l=\frac{d~+~l_S(1 + \alpha_S~\theta_S)}{1+ \alpha~\theta}~~~(3.2.1)$$

Mutiplicando e dividindo por ($1 - \alpha~\theta $), obtemos

$$l=\frac{[d~+~l_S(1+\alpha_S~\theta_S)]}{1+\alpha~\theta}~\frac{(1-\alpha~\theta)}{(1-\alpha~\theta)}$$

$$=\frac{d~(1-\alpha~\theta)~+~l_S(1 + \alpha_S~\theta_S)(1-\alpha~\theta)}{1~-~(\alpha~\theta)^2}$$

Simplificando a equação acima em relação aos termos desprezíveis, podemos aproximar o valor do bloco padrão, por

$$l~=~d~+~l_S~+ l_S(\alpha_S~\theta_S~-~\alpha~\theta)$$

Ao denotarmos a diferença entre as temperaturas do micrômetro e do bloco padrão, por

$$\delta\theta~=~\theta~-~\theta_S$$

e a diferença entre os coeficientes de expansão térmica do micrômetro e do bloco padrão, por

$$\delta\alpha~=~\alpha~-~\alpha_S$$

obtemos que

$$l~=~d~+~l_S~-~l_S(\delta\alpha~\theta~+~\delta\theta\alpha_S~)$$

Os desvios obtidos  apresentam as seguintes fontes de incerteza

$$d=\Delta_l~+~Res~+~Ep$$

em que,

Δ_l : representa a diferença observada no comprimento do bloco padrão  (repetitividade); medida do micrômetro - medida do bloco padrão;

Res : representa a resolução do micrômetro;

Ep : representa o paralelismo do micrômetro.

Assim, a equação matemática do comprimento do bloco é:

$$l~=~\Delta_l~+~Res~+~Ep~+ l_S~- l_S(\delta\alpha~\theta~+~\delta\theta~\alpha_S~)$$

 

Fontes de incerteza

• Resolução (Res): A resolução do micrômetro é de 0,001mm. Esta variável é considerada com média zero e limites de variação definido pela resolução do equipamento;
• Incerteza herdada do bloco padrão (l_S): Esta variável tem média dada pelo valor do padrão com desvio padrão definido pela incerteza combinada, ambos declarados no certificado de calibração;
• Paralelismo  (E_p): O paralelismo entre as faces é considerada uma variável com média zero e limites de variação de $\pm~0,0003mm$ (resultado obtido via um paralelo óptico);
• Correções de temperatura: Antes da calibração, tomamos cuidado para assegurar que o jogo de bloco padrão e o micrômetro estejam à mesma temperatura ambiente da sala de medição;

 

1. Diferença de temperatura entre o micrômetro e o  bloco padrão ($\delta\theta$): diferença máxima de $\pm0,2{}^\circ C$, com média zero;
2. Coeficiente de expansão térmico do bloco padrão ($\alpha_S$): média de $11,5 \times 10^{-6}~{}^\circ C^{-1}$ com limite de   $\pm~2 \times10^{-6}~{}^\circ C^{-1}$ ;
3. Diferença entre os coeficientes de expansão térmica ($\delta\alpha$): média zero com limites  $\pm~2 \times 10^{-6}{}^\circ C^{-1}$;
4. Diferença entre a temperatura do micrômetro e a temperatura  de referência $t_r=20~{}^\circ C~~(\theta)$ : limites de $\pm~0,5~{}^\circ C $, onde foi observado a temperatura do micrômetro em $19,9~{}^\circ C$.

Além disso, as fontes de incerteza $\theta,~\delta\alpha,~\delta\theta,~\alpha_S~$ são assumidas não correlacionadas. Através da equação (3.2.1), leitura obtida no micrômetro para o comprimento do bloco, observamos que o valor estimado para comprimento é dado por

$$l = (\mbox{Média do desvios}) + l_S$$

OBS: Esta equação é a estimativa da medição do micrômetro que é obtida desconsiderando as variáveis que tem média zero.

 

Avaliação da Incerteza Combinada (u_c(l))

 

Através da equação de propagação da incerteza, temos que

$$u^2_c(l)~=~c^2_{l_S}~u^2(l_S)~+~c^2_d~u^2(d)~+~c^2_{\alpha_S}~u^2(\alpha_S)~+~c^2_\theta~u^2(\theta)~+~c^2_{\delta\alpha}~u^2(\delta\alpha)~+~c^2_{\delta\theta}~u^2(\delta\theta)$$

Onde os coeficientes de sensibilidade avaliados no ponto da média são dados por:

• $c_{l_S}~=~1~-~(\delta\alpha~\theta~+~\delta\theta~\alpha_S)~=~1$;
• $c_d~=~1$;
• $c_{\alpha_S}~=~-~l_S~\delta\alpha~=~0~(\mbox{Média de}~ \delta\alpha~\mbox{ é igual a zero)}$;
• $c_{\theta}~=~-~l_S~\delta\theta~=~0~(\mbox{Média de}~\delta\theta~\mbox{é igual a zero})$;
• $c_{\delta\alpha}~=~-~l_S~\theta$;
• $c_{\delta\theta}~=~-~l_S~\alpha$.
• Com isso, a expressão incerteza combinada é dada por

$$u_c(l)~=\sqrt{u^2(l_S)~+~u^2(\Delta_l)~+~u^2(Res)~+~u^2(Ep)~+~(~-~l_S~\theta)^2~u^2(\delta\alpha)~+~(~-~l_S~\alpha)^2~u^2(\delta\theta)}$$

 

Cálculo da Incerteza Padrão das grandezas de entrada

 

A seguir, vamos calcular a incerteza de cada fonte.

 

Padrão de referência (l_S)

 

Distribuição: Normal

Bloco Padrão	Incerteza Expandida (mm)	Fator de Abrangência	Incerteza Combinada
25	0,00008	2	0,00004
27,5	0,00007	2	0,000035
30,1	0,00009	2	0,000045
32,7	0,00008	2	0,00004
35,3	0,00008	2	0,00004
37,9	0,00008	2	0,00004
40	0,00009	2	0,000045
42,6	0,00009	2	0,000045
45,2	0,00009	2	0,000045
47,8	0,00008	2	0,00004
50	0,00009	2	0,000045

Tabela 3.2.2: Cálculo da incerteza padrão.

 

Paralelismo (E_p)

Distribuição : Retangular

$u(Ep)=\frac{0,0006}{2\sqrt{3}}=0,000173$

 

Resolução do micrômetro (Res)

Distribuição: Retangular

$u(Res)=\frac{0,001}{2\sqrt{3}}=0,000289$

 

Diferença entre os coeficientes de expansão térmico ($\delta\alpha$)

Distribuição: Retangular

$u(\delta\alpha)=\frac{3,98\times 10^{-6}}{2\sqrt{3}}=1,15\times 10^{-6}$

 

Diferença entre a temperatura do micrômetro e a temperatura de referência $t_0 = 20 {}^\circ C~~(\theta)$

Foi registrado uma temperatura média de $19,9 {}^\circ C$, resultando em $\theta=19,9 - 20 =-0,1 {}^\circ C$.

 

Diferença de temperatura entre o micrômetro e o bloco padrão ($\delta\theta$)

Distribuição: Retangular

$u(\delta\theta)=\frac{0,3999}{2\sqrt{3}}=0,11547$

 

Coeficiente de expansão térmica ($\alpha_S$)

Média de $11,5 \times 10^{-6}~{}^\circ C^{-1}$.

 

Cálculo da Incerteza do tipo A~($u(\Delta_l)$

Valor de Ref.	Leituras			Desvio Padrão	Desvio Padrão da Média (Repetitividade)
25	25,001	25	25	0,00058	0,0003333
27,5	27,501	27,501	27,5	0,00058	0,0003333
30,1	30,101	30,1	30,1	0,00058	0,0003333
32,7	32,7	32,7	32,7	0	0
35,3	35,3	35,3	35,3	0	0
37,9	37,899	37,9	37,9	0,00058	0,0003333
40	39,999	39,999	40	0,00058	0,0003333
42,6	42,6	42,599	42,599	0,00058	0,0003333
45,2	45,198	45,199	45,199	0,00058	0,0003333
47,8	47,798	47,799	47,799	0,00058	0,0003333
50	49,999	49,998	49,998	0,00058	0,0003333

Tabela 3.2.3: Cálculo da incerteza tipo A.

^{clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo}

 

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

 

 

Cálculo dos Coeficientes de Sensibilidade

Valor de Referência	$|i_S\times\theta|$	$|l_S\times\alpha|$
25	$25\times 0,1=2,5$	$25\times0,0000115=0,0002875$
27,5	$27,5\times 0,1=2,75$	$27,5\times0,0000115=0,0003163$
30,1	$30,1\times 0,1=3,01$	$30,1\times0,0000115=0,0003462$
32,7	$32,7\times 0,1=3,27$	$32,7\times0,0000115=0,0003761$
35,3	$35,3\times 0,1=3,53$	$35,3\times0,0000115=0,0004069$
37,9	$37,9\times 0,1=3,79$	$37,9\times0,0000115=0,0004369$
40	$40\times 0,1=4$	$40\times0,0000115=0,00046$
42,6	$42,6\times 0,1=4,26$	$42,6\times0,0000115=0,0004899$
45,2	$45,2\times 0,1=4,52$	$45,2\times0,0000115=0,0005198$
47,8	$47,8\times 0,1=4,78$	$47,8\times0,0000115=0,0005497$
50	$50\times 0,1=5$	$50\times0,0000115=0,000575$

Tabela 3.2.4: Cálculo dos coeficientes de sensibilidade.

 

Contribuição para a Incerteza

Valor de Referência	$|l_S \theta|\times u(\delta\alpha)$	$|l_S\alpha|\times u(\delta \theta)$
25	$2,5\times0,00000115=0,0000029$	$0,0002875\times0,11547=0,000033$
27,5	$2,75\times0,00000115=0,0000032$	$0,0003163\times0,11547=0,000037$
30,1	$3,01\times0,00000115=0,0000035$	$0,0003462\times0,11547=0,00004$
32,7	$3,27\times0,00000115=0,0000038$	$0,0003761\times0,11547=0,000043$
35,3	$3,53\times0,00000115=0,0000041$	$0,0004059\times0,11547=0,000047$
37,9	$3,79\times0,00000115=0,0000044$	$0,0004359\times0,11547=0,00005$
40	$4\times0,00000115=0,0000046$	$0,00046\times0,11547=0,000053$
42,6	$4,26\times0,00000115=0,0000049$	$0,0004899\times0,11547=0,000057$
45,2	$4,52\times0,00000115=0,0000052$	$0,0005198\times0,11547=0,00006$
47,8	$4,78\times0,00000115=0,0000055$	$0,0005497\times0,11547=0,000063$
50	$5\times0,00000115=0,0000058$	$0,000575\times0,11547=0,000066$

Tabela 3.2.5: Contribuição para a Incerteza Combinada

 

Incerteza Combinada ($u_c(l)$)

 

Planilha de Cálculo de Incerteza

A incerteza combinada é dada por:

$$u_c(l)=\sqrt{u^2(l_S)~+~u^2(\Delta_l)~+~u^2(Res)~+~u^2(Ep)~+~(~-~l_S~\theta)^2~u^2(\delta\alpha)~+~(~-~l_S~\alpha)^2~u^2(\delta\theta)}$$

$$u_c(l)=\sqrt{0,00004^2+0,0003^2+0,00029^2+0,00017^2+(2,5)^2~(1,15\times10^{-6})^2+(0,00028)^2~0,11^2}$$

$$=0,0004766$$

VR	$u(l_S)$	$u(\Delta_l)$	$u(Res)$	$u(Ep)$	$|-l_S\thteta|\times u(\delta\alpha)$	$|-l_S\thteta|\times u(\delta\theta)$	$u_c(l)$
25	0,00004	0,00033	0,00029	0,00017	0,0000029	0,000033	0,00047
27,5	0,000035	0,00033	0,00029	0,00017	0,0000032	0,000037	0,00047
30,1	0,000045	0,00033	0,00029	0,00017	0,0000035	0,00004	0,00047
32,7	0,00004	0	0,00029	0,00017	0,0000038	0,000043	0,00034
35,3	0,00004	0	0,00029	0,00017	0,0000041	0,000047	0,00034
37,9	0,00004	0,00033	0,00029	0,00017	0,0000044	0,00005	0,00048
40	0,000045	0,00033	0,00029	0,00017	0,0000046	0,000053	0,00048
42,6	0,000045	0,00033	0,00029	0,00017	0,0000049	0,000057	0,00048
45,2	0,000045	0,00033	0,00029	0,00017	0,0000052	0,00006	0,00048
47,8	0,00004	0,00033	0,00029	0,00017	0,0000055	0,000063	0,00048
50	0,000045	0,00033	0,00029	0,00017	0,0000058	0,000066	0,00048

Tabela 3.2.6: Cálculo da Incerteza Combinada - Por Ponto

^{clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo}

Na Tabela (3.2.6), calculamos a incerteza combinada para cada ponto de calibração.

 

Graus de liberdade efetivo

 

$$\nu_{eff}(l)~=~\left(\frac{u_c(l)}{u(\Delta_l)}\right)^4~\nu_A=\left(\frac{0,00047}{0,000333}\right)^4~(3-1)=8,36$$

Através da tabela t-Student encontramos k =2,31

 

Incerteza Expandida (U(l))

$$U(l)~=~k~\times~u_c(l)=2,31\times 0,0004766=0,0011$$

Assim, resumimos os resultados do cálculo de incerteza no ponto de 25mm na Tabela (3.2.7)

Ponto						25	mm
Fonte	Estimativa	Tipo	Distribuição	Divisor	Incerteza	C.S	Contr.	GL
Repetitividade	0,000333333	A	Normal	1	0,000333	1	0,000333	2
Resolução (Micro)	0,001	B	Retangular	3,464101615	0,000289	1	0,000289	999999
Coef.Exp. Térmico $(\delta\alpha)$	3,98372E-06	B	Retangular	3,464101615	1,15E-06	2,5	2,88E-06	999999
Dif.Temp.Mic. e Bloco Padrão $(\delta\theta)$	0,399999813	B	Retangular	3,464101615	0,11547	0,000288	3,32E-05	999999
Comprim.Bloco Padrão $(l_s)$	0,00008	B	Normal	2	0,00004	1	0,00004	999999
Paralelismo (Ep)	0,0006	B	Retangular	3,464101615	0,000173	1	0,000173	999999
Incerteza Combinada								0,000476608
Graus de Liberdade Efetivo								8,36
Fator de Abrangência								2,31
Incerteza Expandida								0,00110

Tabela 3.6.7: Resultados do Cálculo de Incerteza para o ponto de 25 mm.

 
Avaliação da incerteza

Suponha que este equipamento seja utilizado para medir uma tolerância de 0,02 mm.

Considerando J=10, temos que

$$EMP=\frac{\mbox{Tolerância}}{10}=\frac{0,02}{10}=0,002~mm$$

$$|T|+U=|0,00033|+0,0011=0,00243\leq 0,002=EMP$$

Portanto, para o ponto de 25 mm, foi aprovada.