3.3 - Cálculo de Incerteza de um Manômetro

Considere o processo de calibração de um manômetro em comparação com um manômetro padrão, conforme figura 3.3.1.

Figura 3.3.1: Manômetro.

Os dados referentes aos equipamentos envolvidos na calibração são dados por:

Objeto a ser calibrado:

Manômetro.

Resolução: $1 kgf/cm^2$.

Faixa de Indicação (faixa nominal): $0 - 160 kgf/cm^2$.

 

Padrão de referência:

Manômetro padrão.

Resolução: $0,1 kgf/cm^2$

Incerteza expandida - $U = 0,1\%~~(k=2)$ (em relação ao fundo de escala).

Temperatura durante a calibração: $22~\pm~1{}^\circ C$.

Faixa de indicação (faixa nominal): $0 - 200 kgf/cm^2$.

 

Resultados:

A bancada foi ajustada com o manômetro (a ser calibrado) e as leituras foram realizadas com o padrão. A Tabela 3.3.1 apresenta os dados.

Ajustado	Avanço	Retorno	Avanço	Retorno	Avanço	Retorno	Média	Correção	Desvio Padrão	Desvio Padrão da Média ou Repetitividade
15	14,9	14,9	14,8	14,9	14,9	14,9	14,883	-0,11667	0,040825	0,016667
30	29,8	29,6	29,7	29,7	29,8	29,7	29,717	-0,28333	0,075277	0,030732
45	45	44,6	45,1	44,7	45,1	44,7	44,867	-0,13333	0,225093	0,091894
60	60,1	59,7	60	59,8	60,1	59,8	59,917	-0,08333	0,17224	0,070317
75	75	74,6	75	74,6	75	74,6	74,8	-0,2	0,219089	0,089443
90	89,9	89,5	89,9	89,6	89,8	89,6	89,717	-0,28333	0,17224	0,070317
105	104,9	104,5	105	104,6	105	104,6	104,767	-0,23333	0,225093	0,091894
120	119,9	119,7	119,8	119,8	119,9	119,7	119,8	-0,2	0,089443	0,036515
140	140,2	140	140,1	140,2	140,2	140	140,117	0,116667	0,098319	0,040139
160	160,3	160,1	160,2	160,2	160,2	160,2	160,2	0,2	0,063246	0,02582

Tabela 3.3.1:Tabela de dados para o manômetro.

^{clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo}

 

 

 

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

 

 

Equação Matemática

$$\mbox{Desvio} = \mbox{Medida do Manômetro} - \mbox{Manômetro padrão}$$

Fontes de Incerteza

• Repetitividade - Tipo A;
• Resolução do manômetro;
• Resolução do manômetro padrão;
• Incerteza herdada do padrão $U = 0,1\%~~(k=2)$.

Porcentagem tomada em relação ao fundo de escala

$$U = \frac{U(unidade)}{200}~100\%.$$

Então

$$U(unidade)~=~\frac{U(\%)}{100}~200$$

$$u_{c}~=~\frac{U(unidade)}{k}$$

^{clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo}

 

Histerese

$$U(hist)=|\overline{\mbox{Avanço}}-\overline{\mbox{Retorno}}|$$

$$u(hist)=\cfrac{U(hist)}{2\sqrt{3}}$$

 

 

 

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

 

Resultados Obtidos da Histerese:

 

Incerteza Combinada

Através da equação de propagação da incerteza, temos que a expressão da incerteza combinada para o manômetro é dada por

$$u_c(M)=\sqrt{~u^2(\Delta_l)~+~u^2(Res(man))~+~u^2(Res(padra))~+~u^2(h_{Pad})~+~u^2(Hist)}$$

em que,

$u(\Delta_l)$: representa a incerteza devido a repetitividade;

$u(Res(man))$: representa a incerteza devido a resolução do manômetro;

$u(Res(padra))$: representa a incerteza devido a resolução do manômetro padrão;

$u(h_{Pad})$: representa a incerteza herdada do manômetro padrão;

$u(Hist)$: representa a incerteza devido a histerese.

 

Cálculo da Incerteza Padrão das Grandezas de Entrada

A seguir, vamos calcular a incerteza de cada fonte.

 

Repetitividade ($\Delta_l$)

Incerteza do Tipo A.

$$u(\Delta_l) = \frac{s}{\sqrt{n}}$$

em que

$u(\Delta_l)$: representa a incerteza do Tipo A ou incerteza devido a repetitividade;

$s$: representa o desvio padrão das faixa de medição;

n: representa o número de pontos de calibração.

 

Incerteza Herdada do Manômetro Padrão  $(u(h_{Pad}))$

Distribuição: Normal.

$u(h_{Pad}) =\frac{0,1\%\text{Fundo de Escala}}{2}=\frac{0,001\times 200}{2}=0,1$

 

Resolução do Manômetro Padrão  $(u(Res(padra)))$

Distribuição: Retangular.

$u(Res(padra)) =\frac{0,1}{2\sqrt{3}}=0,0288$

 

Resolução do Manômetro  $(u(Res(man)))$

Distribuição: Retangular.

$u(Res(man)) =\frac{1}{2\sqrt{3}}=0,288$

 

Cálculo da Histerese

Faixa	Média do Avanço	Média do Retorno	|Histerese|
15	14,867	14,9	0,033333
30	29,767	29,667	0,1
45	45,0667	44,667	0,4
60	60,067	59,767	0,3
75	75	74,667	0,333333
90	89,867	89,567	0,3
105	104,9	104,567	0,333333
120	119,867	119,733	0,133333
140	140,1	140,067	0,033333
160	160,233	160,233	0

Histerese da faixa de 30 $kgf$:

$$U(hist)=|\overline{\mbox{Avanço}}-\overline{\mbox{Retorno}}|=|29,767-29,667|=0,1$$

$$u(hist)=\cfrac{U(hist)}{2\sqrt{3}}=\frac{0,1}{2\sqrt{3}}=0,0288$$

 

Cálculo da Incerteza do Manômetro

 

Incerteza Combinada

$$u_c(M)=\sqrt{~u^2(\Delta_l)~+~u^2(Res(man))~+~u^2(Res(padra))~+~u^2(h_{Pad})~+~u^2(Hist)}=$$

$$=\sqrt{(0,030731815)^2~+~(0,288675135)^2~+~(0,02887)^2~+~(0,1)^2~+~(0,028867)^2}=$$

$$=0,3097$$

 

Graus de Liberdade Efetivo

$$\nu_{eff}~=~\left(\frac{u_c(M)}{u(\Delta_l)}\right)^4~\nu_A=\left(\frac{0,3097}{0,0307}\right)^4~(6-1)=51600,84$$

Através da tabela t-Student, encontramos $k =2$

 

Incerteza Expandida

$$U=k\times u_c(M)=2\times 0,3097=0,6194=0,62~kgf/cm^2$$

^{clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo}

Ponto						30	$kgf/cm^2$
Fonte	Estimativa	Tipo	Distribuição	Divisor	Incerteza	C.S.	Contribuição	GL
Repetitividade	0,0307318	A	Normal	1	0,030731815	1	0,030731815	5
Resolução Padrão	0,1	B	Retangular	3,464101615	0,028867513	1	0,028867513	999999999
Resolução Manômetro	1	B	Retangular	3,464101615	0,288675135	1	0,288675135	999999999
Herdada	0,2	B	Normal	2	0,014858333	1	0,1	999999999
Histerese	0,1	B	Retangular	3,464101615	0,028867513	1	0,028867513	999999999
Incerteza Combinada								0,3097
Graus de Liberdade Efetivo								51600,84
Fator de Abrangência								2
Incerteza Expandida								0,62

Expressão da Incerteza em Porcentagem

$$U = \frac{U(unidade)}{\overline{M}}~100\%$$

para a faixa de 30 $kgf/cm^2$ temos

$$U = \frac{0,619}{29,717}~100\%=2,08\%$$

O manômetro é utilizado para medir uma tolerância de $10kgf/cm^2$. Faremos agora,  um estudo da comprovação metrológica.

Considerando $J=10$, temos que

$$EMP=\frac{\mbox{Tolerância}}{10}=\frac{10}{10}=1~kgf/cm^2$$

$$|T|+U=|-0,283|+0,619=0,902\leq 1=EMP$$

Portanto, para o ponto de $30~kgf/cm^2$, foi aprovada.