3.6 - Cálculo de incerteza de um Termopar tipo N a 1000ºC

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Considere o processo de calibração de um termopar do tipo N. Esta calibração é realizada por comparação utilizando dois termopares do tipo R em um forno horizontal na temperatura de 1000ºC. As forças eletromotrizes (fem) geradas pelos termopares são medidas por um voltímetro digital por meio de uma chave seletora. As referências dos termopares são à 0ºC e o termopar a ser calibrado é conectado ao ponto de referência utilizando cabos de compensação.

Para calcularmos a incerteza, vamos dividir em dois passos, primeiro calculamos a incerteza da temperatura da junção quente do termopar a ser calibrado, em seguida a tensão entre os fios do termopar com a junção fria a 0ºC durante a calibração.

 

Incerteza devido a temperatura da junção quente

 

A seguir, apresentamos a equação de medição da temperatura da junção quente.

$$t_X=t_S\left(V_{iS}+\delta V_{iS1}+\delta V_{iS2}+\delta V_R-\frac{\delta t_{0S}}{C_{S0}}\right)+\delta t_D+\delta t_F+\delta t_S$$

$$\cong t_S(V_{iS})+C_S~\delta V_{iS1}+C_S~\delta V_{iS2}+C_S~\delta V_R-\frac{C_S}{C_{S0}}\delta t_{0S}+\delta t_D+\delta t_F+\delta t_S$$

em que

  •  $ temperatura do termômetro de referência em termos de tensão com a junção fria a 0ºC (certificado de calibração) em ºC. Do certificado temos que U(tS)=0,3ºC com k=2;
  •  $ indicação do voltímetro em μV;
  •  $ correções da tensão obtida à partir da calibração do voltímetro em μV. Do certificado temos que U=2 μV com k=2;
  •  $ correções da tensão devido à resolução limitada do voltímetro em μV. Aqui usamos um microvoltímetro de 4 1/2 dígitos na faixa de 10 mV, resultando nos limites de resolução de ±0,5 μV;
  •  $ correção da tensão devido aos efeitos de contato da chave inversora em μV. As tensões parasitas residuais de "offset" devido aos contatos da chave foram estimadas como zero dentro dos limites de ±2 μV;
  •  $ correções da temperatura devido ao desvio da temperatura de referência em relação ao valor em ºC. A temperatura do ponto de referência de cada termopar é conhecida como sendo 0ºC dentro dos limites ±0,1 ºC ;
  •  $ sensibilidade dos termopares em termos de tensão na temperatura de medição de 1000ºC em ºC/μV, neste caso o valor é de 0,077ºC/μV;
  •  $ sensibilidade dos termopares em termos de tensão na temperatura de referência a 0ºC em ºC/μV;
  •  $ variação dos valores dos termômetros de referência desde a sua última calibração devido à deriva em ºC. A partir de calibrações anteriores as derivas foram estimadas como sendo zero dentro dos limites de ±0,3 ºC;
  •  $ correção de temperatura devido à não uniformidade da temperatura do forno em ºC. Neste caso, os desvios da não homogeneidade de temperatura na região de medição estão dentro de ±1 ºC;
  •  $ desvio padrão agrupado entre a 1ª referência, 2ª referência e o termopar a ser calibrado.

Primeiramente, vamos calcular o desvio padrão agrupado $ t_S, $ para isto observe a seguinte tabela.

 

Termopar 1ª referência Desconhecido 2ª referência
Tensão indicada corrigida 10500 μV 36245 μV 10503 μV
10503 μV 36248 μV 10503 μV
10503 μV 36248 μV 10505 μV
10504 μV 36251 μV 10505 μV
Tensão média 10502,5 μV 36248 μV 10504 μV
Temperatura da junção quente 1000,4ºC   1000,6ºC
Temperatura do forno   1000,5ºC  

Convertendo a tensão em temperatura temos que

 

Termopar 1ª referência Desconhecido 2ª referência
Temperatura convertida 1000,16 1000,42 1000,50
  1000,45 1000,5 1000,5
  1000,45 1000,5 1000,7
  1000,54 1000,58 1000,70
Desvio padrão 0,166 0,065 0,115
Temperatura da junção quente 1000,4   1000,6
Temperatura do forno   1000,5  

Assim, o desvio padrão agrupado é dada por

$$s_p=u(t_S)=\sqrt{\frac{(n_1-1)s^2_1+(n_2-1)s^2_2+(n_3-1)s^2_3}{n_1+n_2+n_3-3}}=0,1ºC$$

A seguir, apresentamos os dados para o cálculo de incerteza:

 

Fontes Valor Incerteza (U) Fator de Abrangência (k)
Desvio padrão agrupado da temp. ref. 1000,5 0,1 1
Calibração do voltímetro 0 2 2
Resolução do voltímetro 0 1 3,464101615
Tensões parasitas 0 4 3,464101615
Temperaturas de referência 0 0,2 3,464101615
Padrões de referência 0 0,3 2
Deriva do padrão de referência 0 0,6 3,464101615
Gradientes de temperatura 0 2 3,464101615

Com isso, a incerteza combinada é dada por:

$$u^2_c(t_X)=u^2(t_S)+\left(\frac{\partial t_X}{\partial \delta V_{iS1}}\right)^2 u^2(\delta V_{iS1})+\left(\frac{\partial t_X}{\partial \delta V_{iS2}}\right)^2 u^2(\delta V_{iS2})+\left(\frac{\partial t_X}{\partial \delta V_{R}}\right)^2 u^2(\delta V_{R})+$$

$$+\left(\frac{\partial t_X}{\partial \delta t_{0S}}\right)^2 u^2(\delta t_{0S})+\left(\frac{\partial t_X}{\partial \delta t_{D}}\right)^2 u^2(\delta t_{D})+\left(\frac{\partial t_X}{\partial \delta t_{F}}\right)^2 u^2(\delta t_{F})+u^2(\delta t_S)=$$

$$=0,1^2+0,077^2 1^2+0,077^2 0,29^2+0,077^2 1,15^2+(-0,407)^2 0,058^2+1^2 0,173^2+1^2 0,577^2+0,15^2$$

em que

$$\left(\frac{\partial t_X}{\partial \delta V_{iS1}}\right)=\left(\frac{\partial t_X}{\partial \delta V_{iS2}}\right)=\left(\frac{\partial t_X}{\partial \delta V_{R}}\right)=C_S=0,077$$

$$\left(\frac{\partial t_X}{\partial \delta t_{0S}}\right)=\frac{-C_S}{C_{S0}}=-\frac{0,077}{0,189}=-0,407$$

$$\left(\frac{\partial t_X}{\partial \delta t_{D}}\right)=\left(\frac{\partial t_X}{\partial \delta t_{F}}\right)=1$$

Logo, a incerteza combinada é dada por

$$u_c(t_X)=0,641$$

Assim, a incerteza expandida é dada por:

$$U(t_X)=k\times u_c(t_X)=2\times 0,641=1,282$$

Como temos apenas incerteza do tipo B, então adotamos $ k=2. $

A seguir, apresentamos um resumo do cálculo de incerteza.

 

Símbolo Fonte de Incerteza Estimativa Tipo Distribuição Divisor Incerteza C.S. Contr. GL
ts Desvio padrão agrupado da temp. ref. 0,1 B Normal 1 0,1 1 0,1 infinito
dVis1 Calibração do voltímetro 2 B Normal 2 1 0,077 0,077 infinito
dVis2 Resolução do voltímetro 1 B Retangular 3,4641 0,29 0,077 0,022 infinito
dVr Tensões parasitas 4 B Retangular 3,4641 1,15 0,077 0,089 infinito
dt0s Temperaturas de referência 0,2 B Retangular 3,4641 0,06 0,41 0,023 infinito
dts Padrões de referência 0,3 B Retangular 2 0,15 1 0,15 infinito
dtD Deriva do padrão de referência 0,6 B Retangular 3,4641 0,17 1 0,17 infinito
dtF Gradientes de temperatura 2 B Retangular 3,4641 0,58 1 0,58 infinito
u_c(tX) Incerteza Combinada               0,641
veff Grau de Liberdade Efetivo               infinito
k Fator de Abrangência               2
U(tX) Incerteza Expandida               1,282
tX Temperatura da junção quente               1000,5

 

Incerteza devido a fem do termopar a ser calibrado

 

A seguir, apresentamos a equação de medição da tensão entre os fios do termopar com a junção fria (de referência) a 0ºC, durante a calibração.

$$V_X\cong V_X(t_X)+\frac{\Delta t}{C_X}-\frac{\delta t_{0X}}{C_{X0}}$$

$$=V_{iX}+\delta V_{iX1}+\delta V_{iX2}+\delta V_R+\delta V_{LX}+\frac{\Delta t}{C_X}-\frac{\delta t_{0X}}{C_{X0}}$$

em que

  •  $ indicação do voltímetro em μV;
  •  $ correções da tensão obtida à partir da calibração do voltímetro em μV. Do certificado temos que U=2 μV com k=2;
  •  $ correções da tensão devido à resolução limitada do voltímetro em μV. Aqui usamos um microvoltímetro de 4 1/2 dígitos na faixa de 10 mV, resultando nos limites de resolução de ±0,5 μV;
  •  $ correção da tensão devido aos efeitos de contato da chave inversora em μV. As tensões parasitas residuais de "offset" devido aos contatos da chave foram estimadas como zero dentro dos limites de ±2 μV;
  •  $ correções da temperatura devido ao desvio da temperatura de referência em relação ao valor em ºC. A temperatura do ponto de referência de cada termopar é conhecida como sendo 0ºC dentro dos limites ±0,1 ºC;
  •  $ sensibilidade dos termopares em termos de tensão na temperatura de medição de 1000ºC em ºC/μV, neste caso o valor é de 0,026ºC/μV;
  •  $ sensibilidade dos termopares em termos de tensão na temperatura de referência a 0ºC em ºC/μV, neste caso o valor é de 0,039ºC/μV;
  •  $ ponto de calibração da temperatura do termopar;
  •  $ desvio da temperatura do ponto de calibração em relação a temperatura do forno, em  ºC;
  •  $ correção de tensão devido aos cabos de compensação (faixa de 0 a 40ºC). As diferenças de tensão entre os cabos e os fios do termopar estão entre os limites ±5 μV.

Primeiramente, vamos calcular a repetibilidade.

 

n Desconhecido
1 36245
2 36248
3 36248
4 36251
Média 36248
Desvio padrão 2,449
Repetibilidade 1,225

$$u(V_{iX})=\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{2,449}{\sqrt{4}}=1,225$$

A seguir, apresentamos os dados para o cálculo de incerteza:

 

Fontes Valor Incerteza (U) Fator de Abrangência (k)
Repetibilidade da fem 36248 1,22 1
Calibração do voltímetro 0 2 2
Resolução do voltímetro 0 1,0 3,464
Tensões parasitas 0 4,0 3,464
Cabos de compensação 0 10,00 3,464
Variação da temp. ponto cal.e forno 0 1,28 2
Temperaturas de referência 0 0,2 3,464

Com isso, a incerteza combinada é dada por:

$$u_c(V_X)=u^2(V_{iX})+\left(\frac{\partial V_X}{\partial \delta V_{iX1}}\right)^2 u^2(\delta V_{iX1})+\left(\frac{\partial V_X}{\partial \delta V_{iX2}}\right)^2 u^2(\delta V_{iX2})+\left(\frac{\partial V_X}{\partial \delta V_{R}}\right)^2 u^2(\delta V_{R})+$$

$$+\left(\frac{\partial V_X}{\partial \delta V_{LX}}\right)^2 u^2(\delta V_{LX})+\left(\frac{\partial V_X}{\partial \Delta t}\right)^2 u^2(\Delta t)+\left(\frac{\partial V_X}{\partial \delta t_{0X}}\right)^2 u^2(\delta t_{0X})=$$

$$=1,225^2+1^2~1^2+1^2~0,29^2+1^2~1,15^2+1^2~2,89^2+38,5^2~0,641^2+25,6^2~0,058^2$$

em que

$$\left(\frac{\partial V_X}{\partial \delta V_{iX1}}\right)=\left(\frac{\partial V_X}{\partial \delta V_{iX2}}\right)=\left(\frac{\partial V_X}{\partial \delta V_{R}}\right)=\left(\frac{\partial V_X}{\partial \delta V_{LX}}\right)=1$$

$$\left(\frac{\partial V_X}{\partial \Delta t}\right)=\frac{1}{C_{X}}=38,5$$

$$\left(\frac{\partial V_X}{\partial \delta t_{0X}}\right)=\frac{1}{C_{X0}}=25,6$$

Logo, a incerteza combinada é dada por

$$u_c(V_X)=24,94$$

Assim, a incerteza expandida é dada por:

$$U(V_X)=k\times u_c(V_X)=2\times 24,94=49,88$$

em que k é o fator de abrangência e este é obtido à partir da distribuição t-Student com $ \nu_{eff} $ graus de liberdade e nível de confiança de aproximadamente 95,45%.

$$\nu_{eff}(V_X)=\frac{u^4(V_X)}{u^4(V_{iX})}(n-1)=\frac{24,94^4}{1,22^4}=515856,11$$

A seguir, apresentamos um resumo do cálculo de incerteza.

 

Símbolo Fonte de Incerteza Estimativa Tipo Distribuição Divisor Incerteza C.S. Contr. GL
Vix Repetibilidade da fem 1,22 A Normal 1 1,225 1 1,22 3
dVix1 Calibração do voltímetro 2 B Normal 2 1 1 1 infinito
dVix2 Resolução do voltímetro 1,00 B Retangular 3,4641 0,29 1 0,289 infinito
dVr Tensões parasitas 4,00 B Retangular 3,4641 1,15 1 1,155 infinito
dVlx Cabos de compensação 10,00 B Retangular 3,4641 2,89 1 2,887 infinito
Dt Variação da temp. ponto cal.e forno 1,28 B Normal 2 0,641 38,5 24,65 infinito
dt0x Temperaturas de referência 0,2 B Retangular 3,4641 0,06 25,6 1,48 infinito
u_c(Vx) Incerteza Combinada               24,940
veff Grau de Liberdade Efetivo               515856,1167
k Fator de Abrangência               2,0
U(Vx) Incerteza Expandida               49,9
Vx Tensão entre os fios do termopar com a junção fria               36248

 

 

 

Incerteza de Medição

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