3.7 - Cálculo de incerteza de um Paquímetro

Você está aqui

Considere o processo de calibração de um paquímetro digital de alcance 20 mm e resolução de 0,01 mm.  Esta calibração é realizada por comparação utilizando-se um calibrador de paquímetros eblocos padrões de referência. Em cada patamar do ensaio obtemos um desvio de calibração ΔL que é a diferença entre indicado pelo instrumento a calibrar e o valor convencionalmente verdadeiro do padrão de referência. Dado pela seguinte equação:

$$d=L-L_s$$

em que

  • L: representa a leitura obtida pelo paquímetro;
  • LS: representa o comprimento do bloco padrão para uma temperatura de 20ºC.

Um outro fator determinante nesta equação de medição é a temperatura, com isso a correção devido à temperatura é dada por:

$$d=L(1+\alpha\theta)-L_s(1+\alpha_s \theta_s)$$

em que,

  • $ \alpha $ e $ \alpha_s $: correspondem aos coeficientes de expansão térmica do paquímetro (escala) e do bloco padrão utilizado na medição, respectivamente;
  • $ \theta $ e $ \theta_s $: correspondem a diferença de temperatura do paquímetro e o bloco padrão, em relação a 20ºC, respectivamente.

 

Modelo Matemático

 

A leitura, do comprimento do bloco, obtida no paquímetro é dada por

$$L=\frac{d+L_s(1+\alpha_s \theta_s)}{(1+\alpha \theta)}\quad (*)$$

Multiplicando e dividindo por $ (1-\alpha_X\theta) $, obtemos

$$L=\frac{d+L_s(1+\alpha_s \theta_s)}{(1+\alpha \theta)}\frac{(1-\alpha\theta)}{(1-\alpha\theta)}=\frac{d(1-\alpha \theta)+L_S(1+\alpha_s\theta_s)(1-\alpha\theta)}{1-(\alpha\theta)^2}$$

$$=\left[d+L_s(\alpha_s\theta_s-\alpha\theta)+L_s(1-\underbrace{\alpha_s\alpha \theta_s\theta}_{\text{desprezível}})\right]\frac{1}{1-\underbrace{(\alpha\theta)^2}_{\text{desprezível}}}$$

Simplificando a equação acima em relação aos termos desprezíveis, podemos aproximar o valor do bloco padrão, por

$$L=d+L_S+L_S(\alpha_s\theta_s-\alpha\theta)$$

Ao denotarmos a diferença entre as temperaturas do paquímetro e do bloco padrão, por

$$\delta\theta=\theta-\theta_s$$

e a diferença entre os coeficientes de expansão térmica do paquímetro e do bloco padrão, por

$$\delta\alpha=\alpha-\alpha_s$$

obtemos que

$$L=d+L_s-L_s(\delta\alpha\times \theta+\delta\theta\times \alpha_s)$$

Os desvios obtidos  apresentam as seguintes fontes de incerteza

$$d=\Delta_L+\text{Res}+E_p$$

em que,

ΔL : representa a diferença observada no comprimento do bloco padrão  (repetitividade); medida do paquímetro - medida do bloco padrão;

Res : representa a resolução do paquímetro;

Ep : representa o paralelismo do paquímetro.

Assim, a equação matemática do comprimento do bloco é:

$$L=\Delta_L+\text{Res}+E_p+L_s-L_s(\delta\alpha\times \theta+\delta\theta\times \alpha_s)$$

 

Fontes de incerteza

 

  • Resolução (Res): A resolução do paquímetro é de 0,01mm. Esta variável é considerada com média zero e limites de variação definido pela resolução do equipamento;
  • Incerteza herdada do bloco padrão (LS): Esta variável tem média dada pelo valor do padrão com desvio padrão definido pela incerteza combinada, ambos declarados no certificado de calibração (U=0,0008 mm, k=2);
  • Paralelismo  (Ep): O paralelismo entre as faces é considerada uma variável com média zero e limites de variação de ±0,0025mm (resultado obtido como a máxima diferença entre as leituras com os blocos padrão em pontos distintos nas hastes de medição);
  • Correções de temperatura: Antes da calibração, tomamos cuidado para assegurar que o jogo de bloco padrão e o micrômetro estejam à mesma temperatura ambiente da sala de medição;
  1. Diferença de temperatura entre o micrômetro e o  bloco padrão (δθ): diferença máxima de ±0,2ºC, com média zero;
  2. Coeficiente de expansão térmico do bloco padrão (αs): média de 11,5×10-6ºC-1 com limite de ±2×10-6ºC-1;
  3. Diferença entre os coeficientes de expansão térmica (δα): média zero com limites  ±2×10-6ºC-1;
  4. Diferença entre a temperatura do paquímetro e a temperatura  de referência tr=20ºC (θ): limites de ±0,2ºC.

Além disso, as fontes de incerteza θ, δα, δθ e αsão assumidas não correlacionadas. Através da equação (*), leitura obtida no paquímetro para o comprimento do bloco, observamos que o valor estimado para comprimento é dado por

$$L = (\text{Média do desvios}) + L_s$$

OBS: Esta equação é a estimativa da medição do paquímetro que é obtida desconsiderando as variáveis que tem média zero.

 

Avaliação da Incerteza Combinada (uc(L))

 

Através da equação de propagação da incerteza, temos que

$$u_c(L)=\sqrt{c^2_{L_s}~u^2(L_s)+c^2_d~u^2(d)+c^2_{\alpha_s}~u^2(\alpha_s)+c^2_\theta~u^2(\theta)+c^2_{\delta\alpha}~u^2(\delta\alpha)+c^2_{\delta\theta}~u^2(\delta\theta)}$$

em que os coeficientes de sensibilidade avaliados no ponto da média são dados por:

  • $ c_{L_s}=\dfrac{\partial L}{\partial L_s}=1-\underbrace{(\delta\alpha~\theta~+~\delta\theta~\alpha_S)}_{\text{desprezível}}=1 $;
  • $ c_d=\dfrac{\partial L}{\partial d}=1 $;
  • $ c_{\alpha_s}=\dfrac{\partial L}{\partial \alpha_s}=-L_s~\delta\alpha=0 $ (Média de $ \delta\alpha $ é igual a zero);
  • $ c_{\theta}=\dfrac{\partial L}{\partial \theta}=-L_s~\delta\theta=0 $ (Média de $ \delta\theta $ é igual a zero);
  • $ c_{\delta\alpha}=\dfrac{\partial L}{\partial \delta\alpha}=-L_s~\theta $;
  • $ c_{\delta\theta}=\dfrac{\partial L}{\partial \delta \theta}=-L_s~\alpha $.

Com isso, a expressão incerteza combinada é dada por

$$u_c(L)=\sqrt{u^2(L_s)+u^2(\Delta_l)~+~u^2(Res)~+~u^2(Ep)+(-L_s~\theta)^2~u^2(\delta\alpha)+(-L_s~\alpha)^2~u^2(\delta\theta)}$$

 

Cálculo da Incerteza Padrão das grandezas de entrada

 

A seguir, vamos calcular a incerteza de cada fonte.

 

Padrão de referência (LS)

Distribuição: Normal

$$u(L_s)=\dfrac{0,008}{2}=0,004$$

 

Paralelismo (Ep)

Distribuição : Retangular

$$u(E_p)=\dfrac{0,005}{2\sqrt{3}}=0,002887$$

 

Resolução do paquímetro (Res)

Distribuição: Retangular

$$u(Res)=\dfrac{0,01}{2\sqrt{3}}=0,0014$$

 

Diferença entre os coeficientes de expansão térmico ($ \delta\alpha $)

Distribuição: Retangular

$ u(\delta\alpha)=\dfrac{4\times 10^{-6}}{2\sqrt{3}}=1,15\times 10^{-6} $

 

Diferença entre a temperatura do paquímetro e a temperatura de referência t0=20ºC (θ)

Foi registrado uma temperatura média de 20,2ºC, resultando em θ=20,2-20 =0,2ºC.

 

Diferença de temperatura entre o paquímetro e o bloco padrão (δθ)

Distribuição: Retangular

$$u(\delta\theta)=\dfrac{0,4}{2\sqrt{3}}=0,115$$

 

Coeficiente de expansão térmica ($ \alpha_s $)

Média de 11,5 x 10-6 ºC-1.

 

Cálculo da Incerteza do tipo A  u(ΔL)

A seguir, vamos calcular a repetibilidade (incerteza do tipo A)

 

n Leituras
1 200,01
2 200
3 200,01
4 200,01
5 200,01

 

Tabela 3.2.3: Cálculo da incerteza tipo A.

A incerteza do tipo A é calculada da seguinte forma:

$$u(\Delta L)=\dfrac{s}{\sqrt{n}}=\frac{0,004472}{\sqrt{5}}=0,002~\text{mm}$$

Agora, vamos calcular aplicando o Action.

 

 

 Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

 

Incerteza combinada

 

Com isso, a incerteza combinada é dada por

$$u^2_c(L)=u^2(L_s)+u^2(\Delta_l)+u^2(Res)+u^2(Ep)+(-L_s~\theta)^2~u^2(\delta\alpha)+(-L_s~\alpha)^2~u^2(\delta\theta)=$$

$$=0,004^2+0,002^2+0,005^2+0,0014^2+$$

$$+(200,1*0,2)^2~(1,15*10^{-7})^2+(200,1*11,5*10^{-6})^2~0,115^2}=$$

Assim, temos que

$$u_c(L)=0,0069~\text{mm}$$

 

Graus de liberdade efetivo

 

$$\nu_{eff}(L)~=~\left(\frac{u_c(L)}{u(\Delta_L)}\right)^4~(n-1)=\left(\frac{0,0069}{0,002}\right)^4~(5-1)=555,92$$

Através da tabela t-Student encontramos k =2

 

Incerteza Expandida (U(L))

 

$$U(L)=k\times u_c(L)=2\times 0,0069=0,014~\text{mm}$$

Assim, resumimos os resultados do cálculo de incerteza no ponto de 200 mm a seguir

 

Cálculo de Incerteza: Calibração do Paquímetro
Símbolo Fonte de Incerteza Estimativa Tipo Distribuição Divisor Incerteza C.S. Contr. GL
Ls Comprimento do bloco padrão 0,008 B Normal 2 0,004 1 0,0040 infinito
Resp Resolução do paquímetro 0,010 B Retangular 2 0,005 1 0,005 infinito
Ep Erro de Paralelismo 0,005 B Retangular 3,4641 0,0014 1 0,0014 infinito
δα Coef. Exp. Térmico 0,0000040 B Retangular 3,4641 0,00000115 40,02 0,000046 infinito
δθ Dif.Temp.paquím. e bloco 0,400 B Retangular 3,4641 0,115 0,0023 0,000266 infinito
ΔL Repetibilidade 0,002 A Normal 1,0 0,002 1 0,002 4
uc(P) Incerteza Combinada               0,0069
veff Grau de Liberdade Efetivo               555,92
k Fator de Abrangência               2,0
U(P) Incerteza Expandida               0,014
P Calibração do Paquímetro               200,1

 

 

 

 

 

 

Incerteza de Medição

Sobre o Portal Action

O Portal Action é mantido pela Estatcamp - Consultoria Estatística e Qualidade, com o objetivo de disponibilizar uma ferramenta estatística em conjunto com uma fonte de informação útil aos profissionais interessados.

Facebook

CONTATO

  •  Maestro Joao Seppe, 900, São Carlos - SP | CEP 13561-180
  • Telefone: (16) 3376-2047
  • E-Mail: [email protected]