Experimento 1: Variação no Copo

 

Aqui, estamos interessados em avaliar se a variação na medição do copo é significativa. Este experimento segue o seguinte procedimento:

  • Amostrar um copo e medir três vezes no mesmo ponto;
  • Repetir o procedimento em 10 copos.

Para obtermos a estimativa da variabilidade dentro do copo, vamos utilizar a técnica de ANOVA 1 fator (Copo) - efeito aleatório.

 

Experimento 2: Variação devido ao deslocamento da medição

 

Aqui, estamos interessados em avaliar se o deslocamento da medição no mesmo copo (radial e axial) é significativo. Este experimento segue o seguinte procedimento:

  • Amostrar um copo e medir três vezes em cada ponto, deslocando no sentido altura, radial e axial;
  • Repetir o procedimento em três copos.

Para obtermos a estimativa da variabilidade devido ao deslocamento, vamos utilizar as técnicas de componentes de variância e ANOVA 2 fatores (Copo e Deslocamento) - efeito aleatório.

 

Experimento 3: Variação devido ao ângulo de medição

 

Aqui, estamos interessados em avaliar se o ângulo formado entre a boca do copo e a base de medição é significativo. Este experimento segue o seguinte procedimento:

  • Amostrar um copo e medir três vezes em cada ponto variando o número de lâminas posicionadas no  fundo do copo na medição de um ponto para o outro;
  • Repetir o procedimento em três copos.

Para obtermos a estimativa da variabilidade devido ao ângulo, vamos utilizar as técnicas de componentes de variância e ANOVA 2 fatores (Copo e Deslocamento) - efeito aleatório.

 

Experimento 4: Variação devido a temperatura ambiente

 

Aqui, estamos interessados em avaliar se a temperatura ambiente influência no resultado das medições. Este experimento segue o seguinte procedimento:

  • Amostrar um copo e medir três vezes em cada ponto e anotar a temperatura ambiente;
  • Repetir o procedimento em três copos.

Para obtermos a estimativa da variabilidade devido a temperatura, vamos utilizar a técnica de regressão linear simples.

 

Estimação das Fontes de Incerteza Obtidas nos Experimentos para copos tipo PS

Variabilidade do copo $ u_c(\epsilon_2) $

 

Aqui, vamos utilizar a técnica de anova com 1 fator para estimar a variabilidade no mesmo copo.

A Tabela 4.2.1.1 apresenta as medições realizadas no copo PS.

Copo Copo PS Média
1 1,017 0,906 0,891 0,938
2 1,118 0,921 0,922 0,987
3 1,058 1,008 0,981 1,016
4 1,099 1,034 1,032 1,055
5 1,127 0,971 0,962 1,02
6 1,053 0,914 0,881 0,949
7 1,156 1,036 1,025 1,072
8 0,999 0,889 0,872 0,92
9 1,142 1,03 1,02 1,064
10 1,151 1,053 1,005 1,07
Média Geral 1,009

Tabela 4.2.1.1: Medições de Resistência no Copo PS.

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

O modelo estatístico para este experimento é:

$$Y_{ij}=\alpha+\beta_i+\varepsilon_{ij}~~~~~~~~\left\{\begin{array}{ll}i=1,\cdots,c ~~~\mbox{copo}\\j = 1, \cdots, n ~~~\mbox{Réplica}\end{array} \right.$$

em que:

  • Yij: representa a j-ésima medição no i-ésimo copo;
  • α é a média das medições;
  • βi é o efeito do copo;
  • εij é o erro de replicação.

 

Para calcularmos a $ SQ_T $, vamos calcular primeiramente a variância amostral de todos os dados, ou seja,

$$S^2_g=\frac{(1,017 - 1,009)^2+(0,906 -1,009)^2+\dots+(1,053-1,009)^2+(1,005 - 1,009)^2}{30-1}=0,007$$

Com isso, temos que

$$SQ_T=(c * n - 1)~S^2_g=(10 * 3 - 1)~0,007=0,20538$$

Para calcularmos a soma de quadrados devido ao copo ($ SQ_C $), vamos calcular primeiramente a variância amostral da coluna média, ou seja,

$$S^2_c=\frac{(0,938 - 1,009)^2+(0,987-1,009)^2+\dots+(1,064 - 1,009)^2+(1,070 - 1,009)^2}{10-1}=0,003$$

Com isso, temos que

$$SQ_C =n~(c - 1)~S^2_c=3~(10 - 1)~0,003=0,09001$$

Logo, temos que

$$SQ_E =SQ_T - SQ_C=0,20538 - 0,09001=0,11537$$

Os graus de liberdade são:

Com isso, o quadrado médio é:

$$QM_C =\frac{SQ_C}{c - 1}=\frac{0,09001}{9}=0,010$$

$$QM_E=\frac{SQ_E}{c (n - 1)}=\frac{0,115371}{20}=0,005769$$

A Figura 4.2.1.1 apresenta o resumo da análise de variância.

Figura 4.2.1.1: Análise de Variância (ANOVA).

 

 Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

 

Aqui, temos que p-valor é dado por:

$$P(F_{9;~20}\textgreater~1,73)=0,1463$$

Portanto, temos que a estimativa da variabilidade dentro do copo é:

$$u_c(\epsilon_2)=0$$

 

Fonte de variação devido ao deslocamento da medição $ u_c(\epsilon_3) $

 

Nesta aplicação usamos novamente uma anova, porém, uma ANOVA two-way, ou seja, dois fatores.

A Tabela 4.2.1.2 apresenta as medições realizadas no copo PS, a coluna Ponto representa o ponto de medição.

 

Copo Ponto Resistência em 10 mm (N)
1 1 1,079
1 2 1,024
1 3 1,062
1 4 1,005
1 5 1,035
2 1 1,066
2 2 0,888
2 3 0,962
2 4 1,005
2 5 1,045
3 1 1,119
3 2 0,984
3 3 1,107
3 4 1,069
3 5 1,042
4 1 1,126
4 2 1,022
4 3 1,149
4 4 1,09
4 5 1,073
5 1 1,182
5 2 1,078
5 3 1,025
5 4 1,168
5 5 1,013
Média 1,057

 

Tabela 4.2.1.2: Tabela de Dados com relação ao Deslocamento do Ponto de Medição.

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

O modelo estatístico para este experimento é:

$$Y_{ijk} = \mu + \alpha_i + \beta_j + \varepsilon_{ijk}~~~~~~~~\left\{\begin{array}{l}i = 1, \cdots, p ~~~\mbox{Copo}~~~~~~~~~~\\j = 1, \cdots, o ~~~\mbox{Deslocamento}\\k = 1, \cdots, r ~~~\mbox{R{\'e}plicas}~~~~~~\end{array} \right.$$

em que:

  • Yijk representa a k-ésima medição no j-ésimo Fator 2 no i-ésima copo;
  • μ é a média das medições;
  • αi é o efeito do copo;
  • βj é o efeito do Fator Deslocamento;
  • εijk é o erro de replicação.

Para calcularmos as somas de quadrados, precisamos primeiramente calcular as seguintes variâncias amostrais :

$$S^2_=\frac{1}{p~o~r~-~1}\sum^{p~o~r}_{l=1}(y_{l}~-~\overline{y})^2=0,00435$$

$$S^2_p=\frac{1}{p~-~1}\sum^{p}_{l=1}(y_{l}~-~\overline{y}_p)^2=0,00173$$

$$S^2_o=\frac{1}{o~-~1}\sum^{o}_{l=1}(y_{l}~-~\overline{y}_o)^2=0,00175$$

em que sabemos que

$$\left\{\begin{array}{l}p = 1, \cdots, 5\quad\mbox{Copo}\\o = 1, \cdots, 5\quad\mbox{Deslocamento}\\r = 1~~~\quad\mbox{Réplica}\\\end{array} \right.$$

$$SQ_{\text{Total}}=(p~o~r - 1)~S^2_g = (24)~S^2_g = 0,104484$$

$$SQ_{\text{Copo}}=o~r~(p - 1)~S^2_p = 5~(4)~S^2_p=0,034567$$

$$SQ_{\text{Deslc}}=p~r~(o - 1)~S^2_o = 5~(4)~S^2_o=0,034983$$

$$SQ_{\text{Erro}}=SQ_{\text{Total}} - SQ_{\text{Deslc}} - SQ_{\text{Copo}}=0,034934$$

Os graus de liberdade são:

Efeito Graus de Liberdade
Copo $ p-1=4 $
Deslocamento $ o-1=4 $
Erro $ por-p-o-1=16 $
Total $ por-1=24 $

Com isso, o quadrado médio é:

$$QM_{\text{Copo}}=\frac{SQ_{\text{Copo}}}{p - 1}=\frac{0,034567}{4}=0,008642$$

$$QM_{\text{Deslc}}=\frac{SQ_{\text{Deslc}}}{o - 1}=\frac{0,034983}{4}=0,008746$$

$$QM_{\text{Erro}}=\frac{SQ_{\text{Erro}}}{por-p-o+1}=\frac{0,034934}{16}=0,002183$$

A tabela abaixo apresenta o resumo da análise de variância.

 

 

 Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

 

Aqui, temos que p-valor é dado por:

Copo $ P(F_{4;~16}~\texgreater 3,95)= 0,02029 $

Deslocamento $ P(F_{4;~16}\textgreater 4,00)=0,01943 $

Desta forma, como o deslocamento é significativo para o modelo, temos que a estimativa de incerteza associada ao deslocamento é dada por:

$$u_c(\epsilon_3)=\sqrt{QM_{\text{Erro}}}=0,046$$

 

Fonte de variação devido ao ângulo de medição $ u_c(\epsilon_4) $

 

Aqui, também usamos a técnica de anova dois fatores. A Tabela 4.2.1.3 apresenta as medições realizadas no copo PS.

Copo de PS
Copo Nº Placas Resistência em
10 mm (N)
1 -1 0,973
0 0,988
1 1,01
2 -1 1,085
0 0,976
1 1,091
3 -1 0,969
0 0,913
1 1,091
4 -1 0,91
0 0,892
1 1,028
5 -1 1,193
0 1,276
1 1,33
Média 1,048

Tabela 4.2.1.3: Tabela de dados com relação ao ângulo do ponto de medição.

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

O modelo estatístico para este experimento é:

$$Y_{ijk}=\mu+\alpha_i+\beta_j+\varepsilon_{ijk}~~~~~~~~\left\{\begin{array}{l}i =1, \cdots, p ~~~\mbox{Copo}~~~~~~~~~~~~~~\\j=1,\cdots,o~~~\mbox{Placas (Ângulo)}\\k=1,\cdots,r ~~~\mbox{Réplicas}~~~~~~~~~~\end{array}\right.$$

em que:

  • Yijk representa a k-ésima medição no j-ésimo Fator 2 no i-ésimo copo;
  • μ é a média das medições;
  • αi é o efeito do copo;
  • βj é o efeito do fator placas (ângulo);
  • εijk é o erro de replicação.

Para calcularmos as somas de quadrados, precisamos primeiramente calcular as seguintes variâncias amostrais:

$$S^2_g=\frac{1}{p~o~r~-~1}\sum^{p~o~r}_{l=1}(y_{l}~-~\overline{y})^2 = 0,017264214$$

$$S^2_p=\frac{1}{p~-~1}\sum^{p}_{l=1}(y_{l}~-~\overline{y}_p)^2 = 0,01630$$

$$S^2_o=\frac{1}{o~-~1}\sum^{o}_{l=1}(y_{l}~-~\overline{y}_o)^2 = 0,0029243$$

em que sabemos que

$$\left\{\begin{array}{l}p=1,\cdots,5\quad\mbox{Copo}\\o=1,\cdots, 3\quad\mbox{Placas}\\r=1\quad\mbox{Réplica}\end{array} \right.$$

$$SQ_{\text{Total}}=(p~o~r - 1)~S^2_g = (14)~S^2_g = 0,241697$$

$$SQ_{\text{Copo}}=o~r~(p - 1)~S^2_p = 3~(4)~S^2_p = 0,1956$$

$$SQ_{\text{Placas}}=p~r~(o - 1)~S^2_o = 5~(2)~S^2_o = 0,029243$$

$$SQ_{\text{Erro}}=SQ_{\text{Total}} - SQ_{\text{Placas}} - SQ_{\text{Copo}} = 0,016837$$

Os graus de liberdade são:

Efeito Graus de Liberdade
Copo $ p-1=4 $
Placas $ o-1=2 $
Erro $ por-p-o-1=8 $
Total $ por-1=14 $

Com isso, o quadrado médio é:

$$QM_{\text{Copo}}=\frac{SQ_{\text{Copo}}}{p - 1}=\frac{0,1956}{4}= 0,0489$$

$$QM_{\text{Placa}}=\frac{SQ_{\text{Placa}}}{o - 1}=\frac{0,029243}{2}=0,0146$$

$$QM_{\text{Erro}}=\frac{SQ_{\text{Erro}}}{por-p-o+1}=\frac{0,016837}{8}=0,002105$$

A tabela abaixo apresenta o resumo da analise de variância.

 

Figura 4.2.1.4: Tabela de Análise de Variância

 

 Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

 

Aqui, temos que p-valor é dado por:

Copo $ P(F_{4;~9}\textgreater 12,76600)= 0,0002 $

Placas $ P(F_{1;~9}\textgreater 3,02895)=0,0178 $

Aqui verificamos que o fator placas, ou seja, o ângulo de medição são significativos.

Portanto, a estimativa da incerteza devido ao ângulo é:

$$u_c(\epsilon_4) =\sqrt{QM_{\text{Erro}}}=0,046$$

 

Fonte de variação devido à temperatura ambiente $ u_c(\epsilon_5) $

 

Aqui, usamos a técnica de regressão linear para determinar as fontes de incerteza para o experimento. A Tabela 4.2.1.4 apresenta as medições de resistência, levando-se em consideração o valor da temperatura ambiente.

Copo Tipo PS
Copo Compressão Temperatura
1 1,065 25,9
1 1,057 23,1
1 1,021 22,2
2 1,078 26
2 1,069 23
2 1,071 22,3
3 1,163 26,1
3 1,182 22,8
3 1,23 22,3
Média 1,104 23,7

Tabela 4.2.1.4: Tabela de dados com relação a Temperatura Ambiente.

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

Primeiramente, determinamos as médias das variáveis resistência ($ Y $) e temperatura ($ X $). Facilmente, obtemos $ \overline{x}=23,744  $ e $ \overline{y} = 1,104 $. Assim, podemos encontrar as somas de quadrados empíricas.

$$S_{xx}=\sum^n_{i=1}(x_i-\overline{x})^2= 23,7022$$

$$S_{yy}=\sum^n_{i=1}(y_i-\overline{y})^2= 0,03905$$

$$S_{xy}=\sum^n_{i=1}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})=-0,0272$$

A seguir, utilizamos as somas de quadrados empíricas para encontrarmos as estimativas dos parâmetros da reta de regressão.

$$\hat{\beta_1}=\frac{S_{xy}}{S_{xx}} = \frac{-0,0272}{23,7022}=-0,00114757$$

$$\hat{\beta}_0=\overline{y} - \hat{\beta}_1\overline{x} = 1,104-0,0011475 \times 23,744 = 1,1312484$$

O modelo ajustado é dado por:

$$\hat{Y}~=~1,1312484~ -~ 0,00114757~X$$

A Figura 4.2.1.5 apresenta a relação entre as variáveis, bem como, a reta ajustada.

 

Figura 4.2.1.5: Gráfico do modelo ajustado.

 

 Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

 

A estimativa da variabilidade associada à regressão é dada por:

$$QM_E=\frac{SQ_E}{n-2}$$

Temos que $ SQ_E $ é a soma de quadrados devido ao erro aleatório, e é calculada por:

$$SQ_E=\sum^n_{i=1}(y_i-\overline{y})^2 - \hat{\beta_1}S_{xy}=\sum^n_{i=1} (y_i - 1,104)^2-(-0,0282)(-0,001147)=0,039$$

Com isso, temos que

$$QM_E=\frac{SQ_E}{n-2}=\frac{0,039}{7}=0,005574$$

A Tabela 4.2.1.7 apresenta os valores dos coeficientes para o modelo apresentado, como também a análise da significância dos coeficientes.

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

Figura 4.2.1.7: Tabela dos Coeficientes.

 

 Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

 

Aqui, temos que p-valor é dado por:

Temperatura $ P(T_{7}\textgreater-0,075)=0,9424 $

Podemos verificar na Figura 4.2.1.7 que o p-valor do coeficiente da temperatura apresenta valor acima de 5%. Logo, podemos concluir que a temperatura não é significativa.

 

Incerteza de Medição

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