- Estatcamp: (16) 3376-2047 [email protected]
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Aqui, estamos interessados em avaliar se a variação na medição do copo é significativa. Este experimento segue o seguinte procedimento:
- Amostrar um copo e medir três vezes no mesmo ponto;
- Repetir o procedimento em 10 copos.
Para obtermos a estimativa da variabilidade dentro do copo, vamos utilizar a técnica de ANOVA 1 fator (Copo) - efeito aleatório.
Aqui, estamos interessados em avaliar se o deslocamento da medição no mesmo copo (radial e axial) é significativo. Este experimento segue o seguinte procedimento:
- Amostrar um copo e medir três vezes em cada ponto, deslocando no sentido altura, radial e axial;
- Repetir o procedimento em três copos.
Para obtermos a estimativa da variabilidade devido ao deslocamento, vamos utilizar as técnicas de componentes de variância e ANOVA 2 fatores (Copo e Deslocamento) - efeito aleatório.
Aqui, estamos interessados em avaliar se o ângulo formado entre a boca do copo e a base de medição é significativo. Este experimento segue o seguinte procedimento:
- Amostrar um copo e medir três vezes em cada ponto variando o número de lâminas posicionadas no fundo do copo na medição de um ponto para o outro;
- Repetir o procedimento em três copos.
Para obtermos a estimativa da variabilidade devido ao ângulo, vamos utilizar as técnicas de componentes de variância e ANOVA 2 fatores (Copo e Deslocamento) - efeito aleatório.
Aqui, estamos interessados em avaliar se a temperatura ambiente influência no resultado das medições. Este experimento segue o seguinte procedimento:
- Amostrar um copo e medir três vezes em cada ponto e anotar a temperatura ambiente;
- Repetir o procedimento em três copos.
Para obtermos a estimativa da variabilidade devido a temperatura, vamos utilizar a técnica de regressão linear simples.
Aqui, vamos utilizar a técnica de anova com 1 fator para estimar a variabilidade no mesmo copo.
A Tabela 4.2.1.1 apresenta as medições realizadas no copo PS.
Copo | Copo PS | Média | ||
1 | 1,017 | 0,906 | 0,891 | 0,938 |
2 | 1,118 | 0,921 | 0,922 | 0,987 |
3 | 1,058 | 1,008 | 0,981 | 1,016 |
4 | 1,099 | 1,034 | 1,032 | 1,055 |
5 | 1,127 | 0,971 | 0,962 | 1,02 |
6 | 1,053 | 0,914 | 0,881 | 0,949 |
7 | 1,156 | 1,036 | 1,025 | 1,072 |
8 | 0,999 | 0,889 | 0,872 | 0,92 |
9 | 1,142 | 1,03 | 1,02 | 1,064 |
10 | 1,151 | 1,053 | 1,005 | 1,07 |
Média Geral | 1,009 |
Tabela 4.2.1.1: Medições de Resistência no Copo PS.
clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo
O modelo estatístico para este experimento é:
$$Y_{ij}=\alpha+\beta_i+\varepsilon_{ij}~~~~~~~~\left\{\begin{array}{ll}i=1,\cdots,c ~~~\mbox{copo}\\j = 1, \cdots, n ~~~\mbox{Réplica}\end{array} \right.$$
em que:
- Yij: representa a j-ésima medição no i-ésimo copo;
- α é a média das medições;
- βi é o efeito do copo;
- εij é o erro de replicação.
Para calcularmos a $SQ_T$, vamos calcular primeiramente a variância amostral de todos os dados, ou seja,
$$S^2_g=\frac{(1,017 - 1,009)^2+(0,906 -1,009)^2+\dots+(1,053-1,009)^2+(1,005 - 1,009)^2}{30-1}=0,007$$
Com isso, temos que
$$SQ_T=(c * n - 1)~S^2_g=(10 * 3 - 1)~0,007=0,20538$$
Para calcularmos a soma de quadrados devido ao copo ($SQ_C$), vamos calcular primeiramente a variância amostral da coluna média, ou seja,
$$S^2_c=\frac{(0,938 - 1,009)^2+(0,987-1,009)^2+\dots+(1,064 - 1,009)^2+(1,070 - 1,009)^2}{10-1}=0,003$$
Com isso, temos que
$$SQ_C =n~(c - 1)~S^2_c=3~(10 - 1)~0,003=0,09001$$
Logo, temos que
$$SQ_E =SQ_T - SQ_C=0,20538 - 0,09001=0,11537$$
Os graus de liberdade são:
Com isso, o quadrado médio é:
$$QM_C =\frac{SQ_C}{c - 1}=\frac{0,09001}{9}=0,010$$
$$QM_E=\frac{SQ_E}{c (n - 1)}=\frac{0,115371}{20}=0,005769$$
A Figura 4.2.1.1 apresenta o resumo da análise de variância.
Figura 4.2.1.1: Análise de Variância (ANOVA).
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Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário. |
Aqui, temos que p-valor é dado por:
$$P(F_{9;~20}\textgreater~1,73)=0,1463$$
Portanto, temos que a estimativa da variabilidade dentro do copo é:
$$u_c(\epsilon_2)=0$$
Nesta aplicação usamos novamente uma anova, porém, uma ANOVA two-way, ou seja, dois fatores.
A Tabela 4.2.1.2 apresenta as medições realizadas no copo PS, a coluna Ponto representa o ponto de medição.
Copo | Ponto | Resistência em 10 mm (N) |
1 | 1 | 1,079 |
1 | 2 | 1,024 |
1 | 3 | 1,062 |
1 | 4 | 1,005 |
1 | 5 | 1,035 |
2 | 1 | 1,066 |
2 | 2 | 0,888 |
2 | 3 | 0,962 |
2 | 4 | 1,005 |
2 | 5 | 1,045 |
3 | 1 | 1,119 |
3 | 2 | 0,984 |
3 | 3 | 1,107 |
3 | 4 | 1,069 |
3 | 5 | 1,042 |
4 | 1 | 1,126 |
4 | 2 | 1,022 |
4 | 3 | 1,149 |
4 | 4 | 1,09 |
4 | 5 | 1,073 |
5 | 1 | 1,182 |
5 | 2 | 1,078 |
5 | 3 | 1,025 |
5 | 4 | 1,168 |
5 | 5 | 1,013 |
Média | 1,057 |
Tabela 4.2.1.2: Tabela de Dados com relação ao Deslocamento do Ponto de Medição.
clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo
O modelo estatístico para este experimento é:
$$Y_{ijk} = \mu + \alpha_i + \beta_j + \varepsilon_{ijk}~~~~~~~~\left\{\begin{array}{l}i = 1, \cdots, p ~~~\mbox{Copo}~~~~~~~~~~\\j = 1, \cdots, o ~~~\mbox{Deslocamento}\\k = 1, \cdots, r ~~~\mbox{R{\'e}plicas}~~~~~~\end{array} \right.$$
em que:
- Yijk representa a k-ésima medição no j-ésimo Fator 2 no i-ésima copo;
- μ é a média das medições;
- αi é o efeito do copo;
- βj é o efeito do Fator Deslocamento;
- εijk é o erro de replicação.
Para calcularmos as somas de quadrados, precisamos primeiramente calcular as seguintes variâncias amostrais :
$$S^2_=\frac{1}{p~o~r~-~1}\sum^{p~o~r}_{l=1}(y_{l}~-~\overline{y})^2=0,00435$$
$$S^2_p=\frac{1}{p~-~1}\sum^{p}_{l=1}(y_{l}~-~\overline{y}_p)^2=0,00173$$
$$S^2_o=\frac{1}{o~-~1}\sum^{o}_{l=1}(y_{l}~-~\overline{y}_o)^2=0,00175$$
em que sabemos que
$$\left\{\begin{array}{l}p = 1, \cdots, 5\quad\mbox{Copo}\\o = 1, \cdots, 5\quad\mbox{Deslocamento}\\r = 1~~~\quad\mbox{Réplica}\\\end{array} \right.$$
$$SQ_{\text{Total}}=(p~o~r - 1)~S^2_g = (24)~S^2_g = 0,104484$$
$$SQ_{\text{Copo}}=o~r~(p - 1)~S^2_p = 5~(4)~S^2_p=0,034567$$
$$SQ_{\text{Deslc}}=p~r~(o - 1)~S^2_o = 5~(4)~S^2_o=0,034983$$
$$SQ_{\text{Erro}}=SQ_{\text{Total}} - SQ_{\text{Deslc}} - SQ_{\text{Copo}}=0,034934$$
Os graus de liberdade são:
Efeito | Graus de Liberdade |
Copo | $p-1=4$ |
Deslocamento | $o-1=4$ |
Erro | $por-p-o-1=16$ |
Total | $por-1=24$ |
Com isso, o quadrado médio é:
$$QM_{\text{Copo}}=\frac{SQ_{\text{Copo}}}{p - 1}=\frac{0,034567}{4}=0,008642$$
$$QM_{\text{Deslc}}=\frac{SQ_{\text{Deslc}}}{o - 1}=\frac{0,034983}{4}=0,008746$$
$$QM_{\text{Erro}}=\frac{SQ_{\text{Erro}}}{por-p-o+1}=\frac{0,034934}{16}=0,002183$$
A tabela abaixo apresenta o resumo da análise de variância.
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Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário. |
Aqui, temos que p-valor é dado por:
Copo $P(F_{4;~16}~\texgreater 3,95)= 0,02029$
Deslocamento $P(F_{4;~16}\textgreater 4,00)=0,01943$
Desta forma, como o deslocamento é significativo para o modelo, temos que a estimativa de incerteza associada ao deslocamento é dada por:
$$u_c(\epsilon_3)=\sqrt{QM_{\text{Erro}}}=0,046$$
Aqui, também usamos a técnica de anova dois fatores. A Tabela 4.2.1.3 apresenta as medições realizadas no copo PS.
Copo de PS | ||
Copo | Nº Placas | Resistência em 10 mm (N) |
1 | -1 | 0,973 |
0 | 0,988 | |
1 | 1,01 | |
2 | -1 | 1,085 |
0 | 0,976 | |
1 | 1,091 | |
3 | -1 | 0,969 |
0 | 0,913 | |
1 | 1,091 | |
4 | -1 | 0,91 |
0 | 0,892 | |
1 | 1,028 | |
5 | -1 | 1,193 |
0 | 1,276 | |
1 | 1,33 | |
Média | 1,048 |
Tabela 4.2.1.3: Tabela de dados com relação ao ângulo do ponto de medição.
clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo
O modelo estatístico para este experimento é:
$$Y_{ijk}=\mu+\alpha_i+\beta_j+\varepsilon_{ijk}~~~~~~~~\left\{\begin{array}{l}i =1, \cdots, p ~~~\mbox{Copo}~~~~~~~~~~~~~~\\j=1,\cdots,o~~~\mbox{Placas (Ângulo)}\\k=1,\cdots,r ~~~\mbox{Réplicas}~~~~~~~~~~\end{array}\right.$$
em que:
- Yijk representa a k-ésima medição no j-ésimo Fator 2 no i-ésimo copo;
- μ é a média das medições;
- αi é o efeito do copo;
- βj é o efeito do fator placas (ângulo);
- εijk é o erro de replicação.
Para calcularmos as somas de quadrados, precisamos primeiramente calcular as seguintes variâncias amostrais:
$$S^2_g=\frac{1}{p~o~r~-~1}\sum^{p~o~r}_{l=1}(y_{l}~-~\overline{y})^2 = 0,017264214$$
$$S^2_p=\frac{1}{p~-~1}\sum^{p}_{l=1}(y_{l}~-~\overline{y}_p)^2 = 0,01630$$
$$S^2_o=\frac{1}{o~-~1}\sum^{o}_{l=1}(y_{l}~-~\overline{y}_o)^2 = 0,0029243$$
em que sabemos que
$$\left\{\begin{array}{l}p=1,\cdots,5\quad\mbox{Copo}\\o=1,\cdots, 3\quad\mbox{Placas}\\r=1\quad\mbox{Réplica}\end{array} \right.$$
$$SQ_{\text{Total}}=(p~o~r - 1)~S^2_g = (14)~S^2_g = 0,241697$$
$$SQ_{\text{Copo}}=o~r~(p - 1)~S^2_p = 3~(4)~S^2_p = 0,1956$$
$$SQ_{\text{Placas}}=p~r~(o - 1)~S^2_o = 5~(2)~S^2_o = 0,029243$$
$$SQ_{\text{Erro}}=SQ_{\text{Total}} - SQ_{\text{Placas}} - SQ_{\text{Copo}} = 0,016837$$
Os graus de liberdade são:
Efeito | Graus de Liberdade |
Copo | $p-1=4$ |
Placas | $o-1=2$ |
Erro | $por-p-o-1=8$ |
Total | $por-1=14$ |
Com isso, o quadrado médio é:
$$QM_{\text{Copo}}=\frac{SQ_{\text{Copo}}}{p - 1}=\frac{0,1956}{4}= 0,0489$$
$$QM_{\text{Placa}}=\frac{SQ_{\text{Placa}}}{o - 1}=\frac{0,029243}{2}=0,0146$$
$$QM_{\text{Erro}}=\frac{SQ_{\text{Erro}}}{por-p-o+1}=\frac{0,016837}{8}=0,002105$$
A tabela abaixo apresenta o resumo da analise de variância.
Figura 4.2.1.4: Tabela de Análise de Variância
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Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário. |
Aqui, temos que p-valor é dado por:
Copo $P(F_{4;~9}\textgreater 12,76600)= 0,0002$
Placas $P(F_{1;~9}\textgreater 3,02895)=0,0178$
Aqui verificamos que o fator placas, ou seja, o ângulo de medição são significativos.
Portanto, a estimativa da incerteza devido ao ângulo é:
$$u_c(\epsilon_4) =\sqrt{QM_{\text{Erro}}}=0,046$$
Aqui, usamos a técnica de regressão linear para determinar as fontes de incerteza para o experimento. A Tabela 4.2.1.4 apresenta as medições de resistência, levando-se em consideração o valor da temperatura ambiente.
Copo Tipo PS | ||
Copo | Compressão | Temperatura |
1 | 1,065 | 25,9 |
1 | 1,057 | 23,1 |
1 | 1,021 | 22,2 |
2 | 1,078 | 26 |
2 | 1,069 | 23 |
2 | 1,071 | 22,3 |
3 | 1,163 | 26,1 |
3 | 1,182 | 22,8 |
3 | 1,23 | 22,3 |
Média | 1,104 | 23,7 |
Tabela 4.2.1.4: Tabela de dados com relação a Temperatura Ambiente.
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Primeiramente, determinamos as médias das variáveis resistência ($Y$) e temperatura ($X$). Facilmente, obtemos $\overline{x}=23,744 $ e $\overline{y} = 1,104$. Assim, podemos encontrar as somas de quadrados empíricas.
$$S_{xx}=\sum^n_{i=1}(x_i-\overline{x})^2= 23,7022$$
$$S_{yy}=\sum^n_{i=1}(y_i-\overline{y})^2= 0,03905$$
$$S_{xy}=\sum^n_{i=1}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})=-0,0272$$
A seguir, utilizamos as somas de quadrados empíricas para encontrarmos as estimativas dos parâmetros da reta de regressão.
$$\hat{\beta_1}=\frac{S_{xy}}{S_{xx}} = \frac{-0,0272}{23,7022}=-0,00114757$$
$$\hat{\beta}_0=\overline{y} - \hat{\beta}_1\overline{x} = 1,104-0,0011475 \times 23,744 = 1,1312484$$
O modelo ajustado é dado por:
$$\hat{Y}~=~1,1312484~ -~ 0,00114757~X$$
A Figura 4.2.1.5 apresenta a relação entre as variáveis, bem como, a reta ajustada.
Figura 4.2.1.5: Gráfico do modelo ajustado.
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Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário. |
A estimativa da variabilidade associada à regressão é dada por: $$QM_E=\frac{SQ_E}{n-2}$$
Temos que $SQ_E$ é a soma de quadrados devido ao erro aleatório, e é calculada por:
$$SQ_E=\sum^n_{i=1}(y_i-\overline{y})^2 - \hat{\beta_1}S_{xy}=\sum^n_{i=1} (y_i - 1,104)^2-(-0,0282)(-0,001147)=0,039$$
Com isso, temos que
$$QM_E=\frac{SQ_E}{n-2}=\frac{0,039}{7}=0,005574$$
A Tabela 4.2.1.7 apresenta os valores dos coeficientes para o modelo apresentado, como também a análise da significância dos coeficientes.
clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo
Figura 4.2.1.7: Tabela dos Coeficientes.
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Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário. |
Aqui, temos que p-valor é dado por:
Temperatura $P(T_{7}\textgreater-0,075)=0,9424$
Podemos verificar na Figura 4.2.1.7 que o p-valor do coeficiente da temperatura apresenta valor acima de 5%. Logo, podemos concluir que a temperatura não é significativa.
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