4.2.2 - Cálculo de Incerteza para o Ensaio de Compressão Lateral de Copos

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$ \mathbf{\checkmark} $ Equação de Medição

 

A expressão 4.2.2 representa a equação de medição utilizada para a obtenção da resistência a compressão.

$$R=\text{Herd} (CG)+\text{res}(CG)+\Delta+\varepsilon_2+\varepsilon_3+\varepsilon_4+\varepsilon_5 \quad(4.2.2)$$

em que, 

1. R: representa a resistência a compressão no copo descartável (N); 

2. Res(CG): Representa a resolução da célula de carga (N). Podemos supor que a resolução tem distribuição Retangular (ou Uniforme) no intervalo (-Res(CG)/2,Res(CG)/2), no qual Res(CG) é a resolução do banco. Logo a incerteza devida a resolução será dada por: u(Res(CG))=Res(CG)/(2√3);

3. Herd(CG): Representa a célula de carga (N). Temos que Herd(CG) tem distribuição Normal com incerteza (u(Herd(CG))) e o fator de abrangência obtidos via certificado de calibração; 

4. Δ: Representa o erro aleatório devido a célula de carga (N). Podemos supor  que a distribuição da média das medições (repetitividade) tem distribuição Normal. 

Logo podemos estimar a sua incerteza (desvio padrão) como u(Δ)=s/√n,

no qual, $ s^2=\displaystyle\frac{1}{n-1}\sum^{n}_{i=1}(x_i -\overline{X})^2 $ é a variância amostral e  $ \overline{X}=\displaystyle\frac{1}{n}\sum^{n}_{i=1}x_i $  é a média amostral; 

5. ε2: representa o erro aleatório devido a variação no mesmo copo. Vamos considerar que ε2~ N(0,σ2(copo)). Para estimarmos σ2 vamos utilizar a técnica de componentes de variância  (ANOVA 1 fator - efeito aleatório), considerando os dados obtidos no seguinte experimento:

  • Amostrar um copo e medir três vezes no mesmo ponto;
  • o procedimento em 10 copos;

 

6. ε3: representa o erro aleatório devido ao deslocamento na realização das medições. Vamos considerar que ε3~ N(0,σ2(desloc)). Para estimarmos σ2 vamos utilizar a técnica de componentes de variância (ANOVA 2 fatores - efeito aleatório), considerando os dados obtidos no seguinte experimento:

  • Amostrar um copo e medir três vezes em cada ponto, deslocando no sentido altura, radial e axial;
  • Repetir o procedimento em três copos;

 

7. ε4: representa o erro aleatório devido ao ângulo na boca do copo. Vamos considerar que ε4~ N(0, σ2(angulo)). Para estimarmos σ2 vamos utilizar a técnica de componentes de variância (ANOVA 2 fatores - efeito aleatório), considerando os dados obtidos no seguinte experimento:

  • Amostrar um copo e medir três vezes em cada  ponto variando o número de lâminas posicionadas no  fundo do copo na medição de um ponto para o outro;                        
  • Repetir o procedimento em três copos;

8. ε5 : representa a influência da temperatura ambiente no resultado das medições.  Vamos considerar que ε5~ N(0, σ2(temp)). Para estimarmos σ2 vamos utilizar a técnica de regressão linear simples:

Este experimento segue o seguinte procedimento:

  • Amostrar um copo e medir três vezes em cada ponto e anotar a temperatura ambiente;
  • Repetir o procedimento em três copos.

 

$ \mathbf{\checkmark} $ Incerteza Combinada  ($ u_{c}(R) $)

 

A incerteza combinada associada à resistência é dada por:

$$u_c(R)=\sqrt{u^2(\text{Res}(CG))+u^2(\text{Herd}(CG))+u^2(\Delta)+u^2(\epsilon_2)+u^2(\epsilon_3)+u^2(\epsilon_4)+u^2(\epsilon_5)}~~~(4.2.2.1)$$

em que $ u^2(.) $ é a contribuição de cada fonte de incerteza. A expressão (4.2.2.1) representa a incerteza combinada da resistência dos copos.

$ \mathbf{\checkmark} $ Incerteza Expandida  ($ U(R) $)

Aqui, a expressão (4.2.2.2) representa a incerteza expandida para a resistência lateral dos copos.

$$U(R)=k\times u_c(R)~~~(4.2.2.2)$$

no qual $ k $ (fator de abrangência) é o quantil da distribuição t-Student com $ \nu_{eff}(R) $ graus de liberdade e confiança de 95%. Aqui, os graus de liberdade são dados por:

\[\nu_{eff}(R)=\frac{u^4_c(R)}{u^4(\Delta)}(n-1) \]

 

Aplicação

 

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

 

Copo Resistência
1 1,017
2 0,906
3 0,891
4 1,118
5 0,921
6 0,922
7 1,058
8 1,008
9 0,981
10 1,099
11 1,034
12 1,032
13 1,127
14 0,971
15 0,962
16 1,053
17 0,914
18 0,881
19 1,156
20 1,036
21 1,025
22 0,999
23 0,889
24 0,872
25 1,142
26 1,03
27 1,02
28 1,151
29 1,053
30 1,005
Desvio Padrão

0,084155583

A repetitividade é dada por:

$$u(\Delta)=\frac{0,084155583}{\sqrt{30}}=0,002805186$$

Valores obtidos pelos experimentos e pelos certificados de calibração

 

Fontes Incerteza (U) Fator de Abrangência (k)
Variabilidade dentro do copo 0,075950 1
Deslocamento de Medição 0,036228 1
Ângulo de Medição 0,049989 1
Temperatura Ambiente 0,074650 1
Resolução da Célula de Carga 0,000098 3,464101615
Herdada da Célula de Carga 0,008100 2
Repetitividade 0,002805186 1

Assim calculamos da seguinte forma:

 

$ \mathbf{\checkmark} $ Incerteza Combinada  ($ u_{c}(R) $)

 

A incerteza combinada associada à resistência é dada por:

$$u_c(R)=\sqrt{u^2(\text{Res}(CG))+u^2(\text{Herd}(CG))+u^2(\Delta)+u^2(\epsilon_2)+u^2(\epsilon_3)+u^2(\epsilon_4)+u^2(\epsilon_5)}$$

$$=\sqrt{(2,83\times10^{-5})^2+0,00405^2+0,0028^2+0,0795^2+0,036^2+0,049^2+0,074^2}=$$

$$=0,1232$$

 

$ \mathbf{\checkmark} $ Incerteza Expandida  ($ U(R) $)

 

$$U(R)=k\times u_c(R)=1,96\times 0,1232=0,2464$$

no qual $ k $ (fator de abrangência) é o quantil da distribuição t-Student com $ \nu_{eff}(R) $ graus de liberdade e confiança de 95%. Aqui, os graus de liberdade são dados por:

\[\nu_{eff}(R)=\frac{u^4_c(R)}{u^4(\Delta)}(n-1) ==\frac{0,1232^4}{0,0028^4}(30-1) =\infty\]

Assim,temos que $ k=1,96 $

O resumo dos cálculos é apresentado na tabela 4.2.2.1

 

Símbolo Fonte de Incerteza Estimativa Tipo Distribuição Divisor Incerteza C.S. Contr. GL
ε1 Variabilidade dentro do copo 0,07595 B Normal 1 0,07595 1 0,07595 $ \infty $
ε2 Deslocamento de Medição 0,0362279 B Normal 1 0,03622789 1 0,03622789 $ \infty $
ε3 Ângulo de Medição 0,049989 B Retangular 1 0,049989 1 0,049989 $ \infty $
ε4 Temperatura Ambiente 0,07465 B Retangular 1 0,07465 1 0,07465 $ \infty $
Res(CG) Resolução da Célula de Carga 0,0000981 B Retangular $ 2\sqrt{3} $ 2,8319E-05 1 2,8319E-05 $ \infty $
Herd(CG) Herdada da Célula de Carga 0,0081 B Normal 2 0,00405 1 0,00405 $ \infty $
Δ Repetitividade 0,0028052 A Normal 1 0,002805186 1 0,002805186 29
uc(R) Incerteza Combinada 0,123193577
νeff Grau de Liberdade Efetivo 107870715,9
k Fator de Abrangência 1,96
U(R) Incerteza Expandida 0,241459412

Tabela 4.2.2.1: Resultado do Cálculo de Incerteza para o Ensaio de Compressão Lateral de Copos.

 

 

Incerteza de Medição

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