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A expressão 4.2.2 representa a equação de medição utilizada para a obtenção da resistência a compressão.
$$R=\text{Herd} (CG)+\text{res}(CG)+\Delta+\varepsilon_2+\varepsilon_3+\varepsilon_4+\varepsilon_5 \quad(4.2.2)$$
em que,
1. R: representa a resistência a compressão no copo descartável (N);
2. Res(CG): Representa a resolução da célula de carga (N). Podemos supor que a resolução tem distribuição Retangular (ou Uniforme) no intervalo (-Res(CG)/2,Res(CG)/2), no qual Res(CG) é a resolução do banco. Logo a incerteza devida a resolução será dada por: u(Res(CG))=Res(CG)/(2√3);
3. Herd(CG): Representa a célula de carga (N). Temos que Herd(CG) tem distribuição Normal com incerteza (u(Herd(CG))) e o fator de abrangência obtidos via certificado de calibração;
4. Δ: Representa o erro aleatório devido a célula de carga (N). Podemos supor que a distribuição da média das medições (repetitividade) tem distribuição Normal.
Logo podemos estimar a sua incerteza (desvio padrão) como u(Δ)=s/√n,
no qual, $s^2=\displaystyle\frac{1}{n-1}\sum^{n}_{i=1}(x_i -\overline{X})^2$ é a variância amostral e $\overline{X}=\displaystyle\frac{1}{n}\sum^{n}_{i=1}x_i$ é a média amostral;
5. ε2: representa o erro aleatório devido a variação no mesmo copo. Vamos considerar que ε2~ N(0,σ2(copo)). Para estimarmos σ2 vamos utilizar a técnica de componentes de variância (ANOVA 1 fator - efeito aleatório), considerando os dados obtidos no seguinte experimento:
- Amostrar um copo e medir três vezes no mesmo ponto;
- o procedimento em 10 copos;
6. ε3: representa o erro aleatório devido ao deslocamento na realização das medições. Vamos considerar que ε3~ N(0,σ2(desloc)). Para estimarmos σ2 vamos utilizar a técnica de componentes de variância (ANOVA 2 fatores - efeito aleatório), considerando os dados obtidos no seguinte experimento:
- Amostrar um copo e medir três vezes em cada ponto, deslocando no sentido altura, radial e axial;
- Repetir o procedimento em três copos;
7. ε4: representa o erro aleatório devido ao ângulo na boca do copo. Vamos considerar que ε4~ N(0, σ2(angulo)). Para estimarmos σ2 vamos utilizar a técnica de componentes de variância (ANOVA 2 fatores - efeito aleatório), considerando os dados obtidos no seguinte experimento:
- Amostrar um copo e medir três vezes em cada ponto variando o número de lâminas posicionadas no fundo do copo na medição de um ponto para o outro;
- Repetir o procedimento em três copos;
8. ε5 : representa a influência da temperatura ambiente no resultado das medições. Vamos considerar que ε5~ N(0, σ2(temp)). Para estimarmos σ2 vamos utilizar a técnica de regressão linear simples:
Este experimento segue o seguinte procedimento:
- Amostrar um copo e medir três vezes em cada ponto e anotar a temperatura ambiente;
- Repetir o procedimento em três copos.
A incerteza combinada associada à resistência é dada por:
$$u_c(R)=\sqrt{u^2(\text{Res}(CG))+u^2(\text{Herd}(CG))+u^2(\Delta)+u^2(\epsilon_2)+u^2(\epsilon_3)+u^2(\epsilon_4)+u^2(\epsilon_5)}~~~(4.2.2.1)$$
em que $u^2(.)$ é a contribuição de cada fonte de incerteza. A expressão (4.2.2.1) representa a incerteza combinada da resistência dos copos.
Aqui, a expressão (4.2.2.2) representa a incerteza expandida para a resistência lateral dos copos.
$$U(R)=k\times u_c(R)~~~(4.2.2.2)$$
no qual $k$ (fator de abrangência) é o quantil da distribuição t-Student com $\nu_{eff}(R)$ graus de liberdade e confiança de 95%. Aqui, os graus de liberdade são dados por:
\[\nu_{eff}(R)=\frac{u^4_c(R)}{u^4(\Delta)}(n-1) \]
clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo
Copo | Resistência |
1 | 1,017 |
2 | 0,906 |
3 | 0,891 |
4 | 1,118 |
5 | 0,921 |
6 | 0,922 |
7 | 1,058 |
8 | 1,008 |
9 | 0,981 |
10 | 1,099 |
11 | 1,034 |
12 | 1,032 |
13 | 1,127 |
14 | 0,971 |
15 | 0,962 |
16 | 1,053 |
17 | 0,914 |
18 | 0,881 |
19 | 1,156 |
20 | 1,036 |
21 | 1,025 |
22 | 0,999 |
23 | 0,889 |
24 | 0,872 |
25 | 1,142 |
26 | 1,03 |
27 | 1,02 |
28 | 1,151 |
29 | 1,053 |
30 | 1,005 |
Desvio Padrão |
0,084155583 |
A repetitividade é dada por:
$$u(\Delta)=\frac{0,084155583}{\sqrt{30}}=0,002805186$$
Valores obtidos pelos experimentos e pelos certificados de calibração
Fontes | Incerteza (U) | Fator de Abrangência (k) |
Variabilidade dentro do copo | 0,075950 | 1 |
Deslocamento de Medição | 0,036228 | 1 |
Ângulo de Medição | 0,049989 | 1 |
Temperatura Ambiente | 0,074650 | 1 |
Resolução da Célula de Carga | 0,000098 | 3,464101615 |
Herdada da Célula de Carga | 0,008100 | 2 |
Repetitividade | 0,002805186 | 1 |
Assim calculamos da seguinte forma:
A incerteza combinada associada à resistência é dada por:
$$u_c(R)=\sqrt{u^2(\text{Res}(CG))+u^2(\text{Herd}(CG))+u^2(\Delta)+u^2(\epsilon_2)+u^2(\epsilon_3)+u^2(\epsilon_4)+u^2(\epsilon_5)}$$
$$=\sqrt{(2,83\times10^{-5})^2+0,00405^2+0,0028^2+0,0795^2+0,036^2+0,049^2+0,074^2}=$$
$$=0,1232$$
$$U(R)=k\times u_c(R)=1,96\times 0,1232=0,2464$$
no qual $k$ (fator de abrangência) é o quantil da distribuição t-Student com $\nu_{eff}(R)$ graus de liberdade e confiança de 95%. Aqui, os graus de liberdade são dados por:
\[\nu_{eff}(R)=\frac{u^4_c(R)}{u^4(\Delta)}(n-1) ==\frac{0,1232^4}{0,0028^4}(30-1) =\infty\]
Assim,temos que $k=1,96$
O resumo dos cálculos é apresentado na tabela 4.2.2.1
Símbolo | Fonte de Incerteza | Estimativa | Tipo | Distribuição | Divisor | Incerteza | C.S. | Contr. | GL |
ε1 | Variabilidade dentro do copo | 0,07595 | B | Normal | 1 | 0,07595 | 1 | 0,07595 | $\infty$ |
ε2 | Deslocamento de Medição | 0,0362279 | B | Normal | 1 | 0,03622789 | 1 | 0,03622789 | $\infty$ |
ε3 | Ângulo de Medição | 0,049989 | B | Retangular | 1 | 0,049989 | 1 | 0,049989 | $\infty$ |
ε4 | Temperatura Ambiente | 0,07465 | B | Retangular | 1 | 0,07465 | 1 | 0,07465 | $\infty$ |
Res(CG) | Resolução da Célula de Carga | 0,0000981 | B | Retangular | $2\sqrt{3}$ | 2,8319E-05 | 1 | 2,8319E-05 | $\infty$ |
Herd(CG) | Herdada da Célula de Carga | 0,0081 | B | Normal | 2 | 0,00405 | 1 | 0,00405 | $\infty$ |
Δ | Repetitividade | 0,0028052 | A | Normal | 1 | 0,002805186 | 1 | 0,002805186 | 29 |
uc(R) | Incerteza Combinada | 0,123193577 | |||||||
νeff | Grau de Liberdade Efetivo | 107870715,9 | |||||||
k | Fator de Abrangência | 1,96 | |||||||
U(R) | Incerteza Expandida | 0,241459412 |
Tabela 4.2.2.1: Resultado do Cálculo de Incerteza para o Ensaio de Compressão Lateral de Copos.
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