$ \mathbf{\checkmark} $ Equação de Medição

 

A expressão 4.4.1.1 representa a equação de medição utilizada para a obtenção do torque. Neste caso temos:

$$T = M ~ g ~ L ~ (1 - \delta_T) + ResB + \Delta + hist~~~(4.4.1.1)$$

em que

  • M: Representa a Massa (kg). Temos que M tem distribuição normal com incerteza (u(M)) e o fator de abrangência obtidos via certificado de calibração;
  • g: Representa a aceleração da gravidade (m/s2). Temos que g tem distribuição normal com incerteza (u(g)) e o fator de abrangência obtidos via certificado de calibração;
  • L: Representa o Comprimento do Braço (m). Temos que L tem distribuição normal com incerteza (u(L)) e o fator de abrangência obtidos via certificado de calibração;
  • $ \delta_T $: Representa a influência da temperatura ambiente no comprimento do Braço. Para tratar esta fonte de incerteza vamos considerar a situação de pior caso. Considere $ \delta_T $ uma variável aleatória com distribuição retangular onde os limites são dados por:

$$LI_{\delta_T} = - \alpha \times \Delta_T ~~~\mbox{e}~~~LS_{\delta_T} = \alpha \times \Delta_T,$$

em que

  • $ \alpha $: Coeficiente de dilatação térmica do aço (11,5 x 10-6ºC-1);
  • $ \Delta_T $: Máxima variação da temperatura encontrada no laboratório. Como o coeficiente de dilatação térmica tem como unidade ºC-1 e o $ \Delta_T $ tem como unidade ºC, concluímos que $ \delta_T $ não tem unidade. Podemos estimar a incerteza devido a influência da temperatura como:

$$u(\delta_T) = \frac{LS_{\delta_T} - LI_{\delta_T}}{2\sqrt{3}};$$

  • ResB: Representa a Resolução do Banco (Nm). Podemos supor que a resolução tem distribuição retangular (ou uniforme) no intervalo $ \left(-\frac{ResB}{2},~\frac{ResB}{2}\right) $, em que ResB é a resolução do banco. Logo, a incerteza devida a resolução será dada por:

$$u(ResB) = \frac{ResB}{2\sqrt{3}};$$

  • $ \Delta $: Representa a Repetitividade (Nm). Podemos supor que a distribuição da média das medições tem distribuição normal. Logo, podemos estimar a sua incerteza (desvio padrão) como 

$$u(\Delta) = \frac{s}{\sqrt{n}},$$

em que $ s^2 = \frac{1}{n-1} \displaystyle\sum^{n}_{i=1} (x_i -\overline{X})^2 $ é a variância amostral e $ \overline{X} = \frac{1}{n}\displaystyle \sum^{n}_{i=1} x_i $ a média amostral;

  • hist: Representa a histerese (Nm). Temos que a histerese tem distribuição retangular no intervalo  (MR, MA) se MR ≤ MA ou (MA, MR) se MA < MR em que MA: médias das medições no avanço e MR é a médias no retorno.

Logo, a sua incerteza será dada por:

$$u(hist) = \frac{\mid M_A - M_R \mid}{2\sqrt{3}}.$$


 

$ \mathbf{\checkmark} $ Incerteza Combinada  ($ u_{c}(T) $)

 

A incerteza combinada para a grandeza torque é dada por:

$$u^2_c(T)=\left(\frac{\partial T}{\partial M}\right)^2 u^2(M)+\left(\frac{\partial T}{\partial g}\right)^2 u^2(g) +\left(\frac{\partial T}{\partial L}\right)^2 u^2(L)+\left(\frac{\partial T}{\partial \delta_T}\right)^2 u^2(\delta_T)$$

$$+\left(\frac{\partial T}{\partial ResB}\right)^2 u^2(ResB)+ \left(\frac{\partial T}{\partial \Delta}\right)^2 u^2(\Delta)+ \left(\frac{\partial T}{\partial hist}\right)^2 u^2(hist)~~~(4.4.1.2)$$

em que

 

$$\left(\frac{\partial T}{\partial M}\right)=g~L~(1-\delta_T)$$

 

$$\left(\frac{\partial T}{\partial g}\right)=M~L~(1-\delta_T)$$

$$\left(\frac{\partial T}{\partial L}\right)=M~g~(1-\delta_T)$$

$$\left(\frac{\partial T}{\partial \delta_T}\right)=M~g~L$$

$$\left(\frac{\partial T}{\partial ResB}\right)=1$$

$$\left(\frac{\partial T}{\partial \Delta}\right)=1$$

$$\left(\frac{\partial T}{\partial hist}\right)=1$$

em que $ u^2(.) $ é a contribuição de cada fonte de incerteza. A expressão 4.4.1.2 representa a incerteza combinada do torque.

 

$ \mathbf{\checkmark} $ Incerteza Combinada Relativa  ($ u_{r}(T) $)
 

A incerteza combinada relativa para o torque é dada por:

$$\frac{u^2_c(T)}{T^2}=\left[\frac{g ~ L ~ (1 - \delta_T)}{T}\right]^2 ~ u^2(M) + \left[\frac{M ~ L ~(1 - \delta_T)}{T}\right]^2 ~ u^2(g) + \left[\frac{M ~ g ~(1 -\delta_T)}{T}\right]^2 ~ u^2(L)$$

$$+ \left(\frac{- M ~ g ~L}{T}\right)^2 ~u^2(\delta_T)+ \frac{u^2(ResB)}{T^2} +\frac{u^2(\Delta)}{T^2} +\frac{u^2(hist)}{T^2}$$

sendo $ T = M~g~L~(1 - \delta_T) $. Fazendo $ u_{r} =\sqrt{\frac{u^2_c(T)}{T^2}} $, temos que:

$$u_r(T)=\sqrt{\frac{u^2(M)}{M^2}+\frac{u^2(g)}{g^2}+\frac{u^2(L)}{L^2}+\frac{u^2(\delta_T)}{(\delta_T-1)^2} + \frac{u^2(Res_B)}{T^2}+\frac{u^2(\Delta)}{T^2} + \frac{u^2(hist)}{T^2}}$$

$$=\sqrt{u_{r}^2(M) + u_{r}^2(g) + u_{r}^2(L) + u_{r}^2(\delta_T) + u_{r}^2(Res_B) + u_{r}^2(Hist)}~~~(4.4.1.3)$$

A expressão 4.4.1.3 representa a incerteza combinada relativa do torque, sendo que $ u_{r}^2(.) $ é a incerteza de contribuição relativa para cada fonte padrão.

 

$ \mathbf{\checkmark} $ Incerteza Expandida  ($ U(T) $)

 

A expressão 4.4.1.4 representa a incerteza expandida relativa para o torque

$$U(T) = k*u_r(T)~~~(4.4.1.4)$$

em que k (fator de abrangência) é o quantil da distribuição t-Student com $ \nu_{eff}(T) $ graus de liberdade e confiança de 95%. Os graus de liberdade são dados por:

\[\nu_{eff}(T) =\frac{(u_r(T))^4}{{\frac{u^4(\Delta)}{n - 1} +\frac{u^4(M)}{\infty} + \frac{u^4(g)}{\infty}+\frac{u^4(L)}{\infty} + \frac{u^4(\delta t)}{\infty}}+\frac{u^4(ResB)}{\infty} + \frac{u^4(hist)}{\infty}}\]

A Tabela 4.4.1.1 apresenta o resumo para o cálculo da incerteza da grandeza Torque.

Simbolo Fontes de Incerteza Estatística Tipo Distribuição Divisor Incerteza C.S. Contr. G.L.
$ \Delta $ Repetitividade   A Normal 1       n-1
M Herdada da Massa   B Normal k       $ \infty $
g Aceleração da Gravidade   B Normal k       $ \infty $
L Herdada do Braço   B Normal k       $ \infty $
$ \delta_T $ Dilatação do Braço   B Retangular $ 2\sqrt{3} $       $ \infty $
ResB Resolução do Banco   B Retangular $ 2\sqrt{3} $       $ \infty $
hist Histerese   B Retangular $ 2\sqrt{3} $       $ \infty $
ucr(T) Incerteza Combinada Relativa                
$ \nu_{eff} $ Graus de Liberdade Efetivo                
k Fator de Abrangência                
Ur(T) Incerteza Expandida Relativa                
C.S. Coeficiente de Sensibilidade
Contr. Contribuição
G.L. Graus de Liberdade

Como é realizado a calibração em vários pontos, teremos um cálculo de incerteza para o respectivo ponto. No
entanto, por determinação técnica, vamos expressar uma única incerteza para toda faixa de leituras (10 a 160 Nm).

Neste sentido, podemos considerar duas técnicas: determinar a máxima incerteza entre as já calculadas, ou ainda, considerar a incerteza expandida agrupada (expressão (4.4.1.5))

$$U_a(T) = 2~\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{p}\left(\frac{U_{i}(T)}{k_i}\right)^2 }{p} }~~~~(4.4.1.5)$$

em que

  • $ U_{i}(T) $: Representa a incerteza expandida para o i-ésimo ponto;
  • $ k_i $: Representa o fator de abrangência para o i-ésimo ponto;
  • $ p $: Representa o número de pontos de calibração.

 

Aplicação:

 

A Tabela 4.4.1.2 apresenta todas a medições da calibração de torque.

 

Faixa de Medição Unidade Leituras Massa Padrão (kg) Teórico Média Desvio Padrão Repetitividade Histerese
A1 R1 A2 R2
10 Nm 11,5 11,6 11,7 11,8 2 11,6 11,65 0,1291 0,065 0,1
40 Nm 40,6 40,8 40,8 40,9 7 40,7 40,78 0,1258 0,063 0,15
100 Nm 98,7 99,1 99 99,2 17 98,9 99 0,216 0,108 0,3
160 Nm 157,1 157,1 157,2 157,1 27 157 157,13 0,05 0,025 0,05

Tabela 4.4.1.2: Medições para calibração de torque.

Aqui, o comprimento do braço é 0,59421 m e a aceleração da gravidade 9,7864598 m/s2. A calibração abrange a faixa de 10 a 160 Nm porém, vamos apresentar o cálculo de incerteza para o ponto de 10 Nm. Para isso, as informações necessárias são:

  • Incerteza expandida da massa de 2 kg (u(M2)) é 0,00021069, com k = 4,303 (valores declarado no

  certificado de calibração);

  • Incerteza devido a gravidade (u(g)) é 0,0000005. Aqui, o valor de k = 2 (valores declarado no   certificado de calibração);
  • Incerteza expandida do comprimento do braço (u(L)) é 0,00018, com   k = 2 (valores declarado no certificado de calibração);
  • Incerteza devido à dilatação do braço ($ u(\delta_T) $). Temos que:

$ \alpha = 11,5 &amp;ordm; \times 10^{-6} C^{-1} $ e

$ \Delta T = \max(T) - \min(T) = 28 - 20 = 8 &amp;ordm;C, $

Logo,

$$LI_{\delta_T}=- \alpha \times \Delta_T = -(11,5 \times 10^{-6}) \times 8 = -92 \times 10^{-6} ~~~\mbox{e}$$

$$LS_{\delta_T}=\alpha \times \Delta_T = (11,5 \times 10^{-6}) \times 8 = 92 \times 10^{-6},$$

Portanto,

$$u(\delta_T)=\frac{92 \times 10^{-6} - (-92 \times 10^{-6})}{\sqrt{12}} = \frac{0,000184}{2\sqrt{3}}= 0,00005311 ~~~\mbox{e}$$

$$\delta_T=\frac{92 \times 10^{-6} - (-92 \times 10^{-6})}{2} = 0;$$

  • Resolução do banco (u(ResB)) é 0,6 Nm;
  • Repetitividade ($ u(\Delta) $) é o desvio padrão da média. Para a faixa de 10 Nm temos 0,065 Nm;
  • Histerese (u(hist)) é 0,1 Nm.

Neste ponto (10 Nm), temos que:

$$T=M ~ g ~ L ~ (1 - \delta_T)$$

$$=2 \times 9,7864598 \times 0,59421 \times (1 - 0)$$

$$=11,63042.$$

A incerteza combinada relativa

$$u_r(T)=\sqrt{\frac{u^2(M)}{M^2} + \frac{u^2(g)}{g^2} + \frac{u^2(L)}{L^2} + \frac{u^2(\delta_T)}{(\delta_T-1)^2} + \frac{u^2(ResB)}{T^2} + \frac{u^2(\Delta)}{T^2} + \frac{u^2(hist)}{T^2}}$$

$$=\sqrt{\left(\frac{0,00021069 / 4,303}{2} \right)^2 + \left(\frac{0,0000005 / 2}{9,7864598}\right)^2 + \left(\frac{0,00018 / 2}{0,59421}\right)^2 }$$

$$\overline{+ \left( \frac{0,000184 / 2\sqrt{3}}{1} \right)^2 + \left(\frac{0,6 / 2\sqrt{3}}{11,63042} \right)^2 + \left(\frac{0,065 / 1}{11,63042}\right)^2 + \left(\frac{0,1 / 2\sqrt{3}}{11,63042}\right)^2}$$

$$=0,0161.$$

Os graus de liberdade são:

$$\nu_{eff}(T)=\frac{(u_r(T))^4}{\frac{u^4(\Delta) / M}{n - 1}}$$

$$=\frac{0,1880668^4}{\frac{(0,065 / 11,63042)^4}{3}}$$

$$=206,604.$$

Considerando os graus de liberdade efetivo e uma confiança de aproximadamente 95%, temos pela tabela da distribuição t-student, que o fator de abrangência é 1,968613. Com isso, a incerteza expandida relativa para a variável torque é dada por:

$$U(T)=k \times u_r(T)$$

$$=1,970855 \times 0,0161$$

$$=0,0317.$$

 

 

Simbolo Fontes de Incerteza Estatística Tipo Distribuição Divisor Incerteza C.S. Contr. G.L.
$ \Delta $ Repetitividade 0,065 A Normal 1 0,065 0,085981384 0,006 3
 M Herdada da Massa 0,00021069 B Normal 4,303 4,89635E-05 0,5 2E-05 9999999
  g Aceleração da Gravidade 0,0000005 B Normal 2 0,00000025 0,102181996 3E-08 9999999
 L Herdada do Braço 0,00018 B Normal 2 0,00009 1,682906716 2E-04 9999999
$ \delta_T $ Dilatação do Braço 0,000184 B Retangular 3,464101615 5,31162E-05 1 5E-05 9999999
 ResB Resolução do Banco 0,6 B Retangular 3,464101615 0,173205081 0,085981384 0,015 9999999
 hist Histerese 0,1 B Retangular 3,464101615 0,02886751 0,085981384 0,002482 9999999
ucr(T) Incerteza Combinada Relativa               0,0161
$ \nu_{eff} $ Graus de Liberdade Efetivo               206,604
 k Fator de Abrangência               1,970855
Ur(T) Incerteza Expandida               0,031742

Tabela 4.4.1.3: Resumo do cálculo de incerteza para o Torque. 

A Tabela 4.4.1.4 apresenta o resultado das incertezas expandidas e seus respectivos fatores de abrangência para todos os pontos de medição.

 

Pontos $ u_{ci} $ k $ U_i $
1 0,01609 1,97143 0,03171
2 0,00465 1,96982 0,00917
3 0,00225 2,00575 0,00451
4 0,00113 1,96049 0,00221
$ U_e $ Agrupada 0,016934  

Tabela 4.4.1.4: Incertezas por ponto de medição.

Por determinação técnica, vamos expressar uma única incerteza para toda a faixa de leituras. Neste sentido, vamos considerar a incerteza expandida agrupada:

$$U(T)=2~\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{p}\left(\frac{U_{i}(T)}{k_i}\right)^2}{p}}$$

$$=2 \sqrt{\frac{\left(\frac{0,03171}{1,97143}\right)^2 + \ldots + \left(\frac{0,00221}{1,96049}\right)^2}{4}}$$

$$=0,016934.$$

Portanto, a incerteza expandida relativa para o torque, na faixa de 40 a 160 Nm, é 1,6934 % da leitura.

 

 

 

 

Incerteza de Medição

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