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Vamos considerar a seguinte relação linear entre intensidade e concentração:
$$Y_{ij} = \beta_0 + \beta_1~x_{i} + \varepsilon_{ij}~~~~~~~ i =1,\cdots, n;$$
em que,
Pelo método dos mínimos quadrados, temos que
$$\hat{\beta}_1=\frac{S_{xy}}{S_{xx}}~~~~e~~~~\hat{\beta}_0=\overline{y}-\hat{\beta}_1\overline{x}$$
em que,
$S_{xx} = \displaystyle\sum^n_{i=1} (x_i-\overline{x})^2 = \sum^n_{i=1} x_i^2- 2\overline{x}\sum^n_{i=1} x_i+n\overline{x}^2 = \sum^n_{i=1} x_i^2-n\overline{x}^2;$
$S_{xy} =\displaystyle \sum^n_{i=1} (x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y}) =\sum^n_{i=1}(x_i-\overline{x})y_i;$
$\overline{y} = \displaystyle\frac{1}{n} \sum^n_{i=1} (y_i)$ representa a média das leituras de área;
$\overline{x} = \displaystyle\frac{1}{n} \sum^n_{i=1} (x_i)$ representa a média das leituras de concentração.
Na prática, temos interesse em predizer o valor de Área ($x$) dado uma observação em Concentração ($y$). Então, dado $y_0$ observado, tomamos como estimativa $$\hat{x_0} = \frac{y_0-\hat{\beta_0} }{\hat{\beta_1}}~.$$
A variância da estimativa $\hat{x_0}$ é dada por (Veja Brown, 1993, pg. 26)
$$\widehat{Var(\hat{x_0})} = \frac{QME}{\hat{\beta_1}^2}~.$$
A tabela (4.5.2.1) apresenta os dados utilizados na regressão linear.
X | Y |
Concentracao | Area |
0 | 0 |
0 | 0 |
2,329493525 | 0,137554 |
2,329493525 | 0,129687 |
4,65898705 | 0,283453 |
4,65898705 | 0,258843 |
9,3179741 | 0,561361 |
9,3179741 | 0,514503 |
13,97696115 | 0,808883 |
13,97696115 | 0,796494 |
23,29493525 | 1,42358 |
23,29493525 | 1,41858 |
Tabela 4.5.2.1: Conjunto de dados para aplicação do modelo de regressão linear.
clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo
Aplicando o modelo de regressão linear (para mais detalhes acesse o conteúdo Análise de Regressão), obtemos as seguintes estimativas dos parâmetros:
$\hat{\beta_0}=-0,013364664$;
$\hat{\beta_1}= 0,060596425$;
$\sigma$ é estimado pelo $QME $ da seguinte forma:
$$QME=0,000526586,~~~~\Rightarrow~~~~\sigma=\sqrt{QME}=\sqrt{0,000526586}=0,023$$
Com isso, a estimativa da incerteza, para concentração,devido a regressão é:
$$u(Reg)=\sqrt{\frac{QME}{\hat{\beta}_1^2}}=\frac{\sigma_{\mbox{resíduos}}}{\hat{\beta}_1} =\frac{0,023}{0,0606} =0,38$$
![]() |
Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário. |
A expressão (4.5.2.1) representa a equação de medição utilizada para o cromatógrafo, neste caso temos:
$$Crom~=~S+Reg~~~~~(4.5.2.1)$$
em que,
A incerteza combinada para o cromatógrafo é dada por:
$$u_c^2(Crom)=\sqrt{u^2(S)+u^2(Reg)}$$
em que, $u^2(.)$ é a contribuição de cada fonte de incerteza.
Aqui, a expressão (4.5.2.2) representa a incerteza expandida para o cromatógrafo.
$$U(Crom) = k\times u_c(Crom)~~~~(4.5.2.2)$$
em que $k$ (fator de abrangência) é o quantil da distribuição t-Student com $\nu_{eff}(Crom)$ graus de liberdade e confiança de 95%. Como neste cálculo estamos trabalhando apenas com ncertezas do tipo B, então os graus de liberdade efetivo equivale a $\nu_{eff}(Crom)=\infty$
Para efetuar os cálculos, as informações necessárias são:
Fontes | Valor | Incerteza (U) | Fator de Abrangência (k) |
Solução Neta 1 | 25,626 | 0,010508869 | 1,96 |
Desv.Pad.Resíduos | 0,022947469 | ||
Coef.da Conc. (Beta1) | 0,060596425 | ||
Tipo de Simulante | 1 |
Aplicando os valores da tabela obtemos os seguintes resultados:
Cálculo de Incerteza: | Cromatógrafo | 2 | |||||||
Simbolo | Fonte de Incerteza | Estimativa | Tipo | Distribuição | Divisor | Incerteza | C.S. | Contr. | GL |
u(S) | Herdada da Solução | 0,010509 | B | Normal | 1,96 | 0,005362 | 1 | 0,005362 | 999999 |
u(Reg) | Regressão | 0,378693 | B | Normal | 1 | 0,378693 | 1 | 0,378693 | 999999 |
u_c(Crom) | Incerteza Combinada | 0,378731 | |||||||
GL | Grau de Liberdade Efetivo | 1E+09 | |||||||
k | Fator de Abrangência | 1,959964 | |||||||
U(Crom) | Incerteza Expandida | 0,7423 |
Calcularemos a Incerteza Relativa ($U_{relativa}$) para a concentração 2 os demais pontos o cálculo é análogo.
$$Conc_{2}=25,626$$
$$U_{relativa}(S_{2})=\frac{U(S_{2})}{Conc_{2}}= \frac{0,742300523}{25,626}=0,028966695$$
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