4.7.3 - Incerteza devido à regressão

 Incerteza devido à regressão:

Vamos considerar a seguinte relação linear entre $ 1/[Q(P_0/P-1)] $ e pressão relativa:

$$Y_{ij} = \beta_0 + \beta_1~x_{i} + \varepsilon_{ij}~~~~~~~ i =1,\cdots, n;$$

em que,

  •      $ Y_{ij} $: representa a i-ésima medição de $ 1/[Q(P_0/P-1)] $ referente a i-ésima pressão relativa;
  •      $ X_{i} $: representa a pressão relativa referente a i-ésima $ 1/[Q(P_0/P-1)] $;
  •      $ \beta_0 $: representa o coeficiente linear;
  •      $ \beta_1 $: representa o coeficiente angular;
  •      $ \varepsilon_{ij} $: representa o j-ésimo erro cometido na medição da i-ésima $ 1/[Q(P_0/P-1)] $. Consideramos que os $ \varepsilon_{ij} $ são independentes e identicamente distribuídos com distribuição normal com média zero e variância $ \sigma^2, $ ou seja, $ \varepsilon_{ij}\overset{i.i.d.}{\sim}N(0,\sigma^2) $ .

 

Pelo método dos mínimos quadrados, obtemos que

$$\widehat{\beta}_1=\frac{S_{xy}}{S_{xx}}\quad \text{e} \quad \widehat{\beta}_0=\overline{y}-\widehat{\beta}_1\overline{x}$$

em que,

  •     $ S_{xx} = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} (x_i-\overline{x})^2 = \suma_{i=1}^{n}x_i^2- 2\overline{x}\sum_{i=1}^{n} x_i+n\overline{x}^2 = \sum_{i=1}^{n} x_i^2-n\overline{x}^2; $
  •     $ S_{xy} = \displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y}) =\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x})y_i; $
  •     $ \overline{y} = \frac{1}{n}\displaystyle \sum_{i=1}^{n}(y_i) $ representa a média das leituras de área;
  •     $ \overline{x} = \frac{1}{n}\displaystyle \sum_{i=1}^{n}(x_i) $ representa a média das leituras de concentração.

Agora vamos deduzir a incerteza devido ao  volume de gás adsorvido quando a superfície do sólido está completamente coberta por uma monocamada ($ Q_m $). Para isto, à partir da equação da reta obtemos:

$$Y= \beta_0+\beta_1 X_i$$

$$\dfrac{1}{Q(P_0/P-1)} = \beta_0+\beta_1 \dfrac{P}{P_0} \quad \text{(4.7.3.1)}$$

$$\dfrac{1}{Q(P_0/P-1)} = \dfrac{1}{Q_m\times C}+\dfrac{C-1}{Q_m\times C} \dfrac{P}{P_0} \quad \text {(4.7.3.2)}$$

Relacionando (4.7.3.1) e (4.7.3.2) obtemos que

\[\left\{\begin{array}{l}\beta_0=\dfrac{1}{Q_m\times C}\\ \beta_1=\dfrac{C-1}{Q_m\times C}\end{array}\right.\]

além disso, 

$$\quad Q_m=\dfrac{1}{\beta_0+\beta_1}$$

Agora, vamos utilizar o método delta para calcularmos a variabilidade de $ Q_m $ (para mais detalhes consulte Incerteza devido a curva de calibração: Método Delta). Temos que:

$$\text{Var}(Q_m) \approx \left(\dfrac{\partial Q_m}{\partial \beta_0}\right)^2 \text{Var}(\widehat{\beta}_0)+\left(\dfrac{\partial Q_m}{\partial \beta_1}\right)^2 \text{Var}(\widehat{\beta}_1) + 2\left( \dfrac{\partial Q_m}{\partial \beta_0} \dfrac{\partial Q_m}{\partial \beta_1}\right)\text{Cov}(\widehat{\beta}_0, \widehat{\beta}_1)=$$

$$ \approx \left(-\dfrac{1}{(\widehat{\beta}_0+\widehat{\beta}_1)^2}\right)^2 \text{Var}(\widehat{\beta}_0)+\left(-\dfrac{1}{(\widehat{\beta}_0+\widehat{\beta}_1)^2}\right)^2 \text{Var}(\widehat{\beta}_1)+2\left(-\dfrac{1}{(\widehat{\beta}_0+\widehat{\beta}_1)^2}\right)^2\text{Cov}(\widehat{\beta}_0, \widehat{\beta}_1)=$$

$$ \approx \left(-\dfrac{1}{(\widehat{\beta}_0+\widehat{\beta}_1)^2}\right)^2 [\text{Var}(\widehat{\beta}_0)+\text{Var}(\widehat{\beta}_1)+2\text{Cov}(\widehat{\beta}_0, \widehat{\beta}_1)]$$

Portanto, a incerteza devido ao volume de gás adsorvido quando a superfície do sólido está completamente coberta por uma monocamada ($ Q_m $) é dada por:

$$u(Q_m)=\sqrt{\left(-\dfrac{1}{(\widehat{\beta}_0+\widehat{\beta}_1)^2}\right)^2 [u^2(\widehat{\beta}_0)+u^2(\widehat{\beta}_1) +2\text{Cov}(\widehat{\beta}_0, \widehat{\beta}_1)} ]\quad \text{e} \quad Q_m=\dfrac{1}{(\widehat{\beta}_0+\widehat{\beta}_1)}$$

 

Aplicação

A seguir, segue os dados utilizados na regressão linear. Vale lembrar que a variável resposta $ Y=1/Q(P_0/P-1) $ e variável explicativa é $ X=P/P_0. $ Com isso, obtemos os dados para a curva de calibração.

$ \bf X $  $ \bf Y $
0,050500102 0,008679
0,087812073 0,014308
0,125881379 0,019918 
0,162958319 0,025366
0,201177794 0,031032

A seguir, apresentamos os resultados obtidos pelo software Action.

Além disso, utilizando o software Action, obtemos que $ \text{Cov}(\widehat{\beta}_0, \widehat{\beta}_1)=-1,89784e^{-08} $, neste caso, consideraremos a covariância entre os parâmetros sendo nula.

Fontes  Valor  Incerteza (U) Fator de Abrangência (k)
Intercepto 0,001248178  5,30388E-05 1
Coeficiente Angular 0,148110327 0,000388617 1

Portanto, a incerteza devido ao volume de gás adsorvido quando a superfície do sólido está completamente coberta por uma monocamada ($ Q_m $) é dada por:

 

$$u(Q_m)=\sqrt{ \left(-\dfrac{1}{(\widehat{\beta}_0+\widehat{\beta}_1)^2}\right)^2 [u^2(\widehat{\beta}_0)+u^2(\widehat{\beta}_1)]}=$$

$$= \sqrt{\left(-\dfrac{1}{(0,001248178 + 0,148110327)^2}\right)^2 [(5,3\times 10^{-5})^2+(0,000388617)^2]}=$$

$$=0,017582036$$

e

 

$$Q_m=\dfrac{1}{(\widehat{\beta}_0+\widehat{\beta}_1)}=\dfrac{1}{(0,001248178 + 0,148110327)}=6,6953$$

A seguir, apresentamos um resumo dos resultados.

  Cálculo de Incerteza:  Vol.gás adsorvido ($ Q_m $)            
Símbolo Fonte de Incerteza Estimativa Tipo Distribuição Divisor Incerteza C.S. Contr. GL
$ \beta_0 $ Intercepto 5,30388E-05 B Normal 1 5,30388E-05 44,8270 0,00238 infinito
$ \beta_1 $ Coeficiente Angular 0,000388617 B Normal 1 0,000388617 44,8270 0,01742 infinito
$ u_c(Q_m) $ Incerteza Combinada               0,01758
$ \nu_{eff} $ Grau de Liberdade Efetivo                infinito
Fator de Abrangência               2,00
 $ U(Q_m) $ Incerteza Expandida               0,03516
$ Q_m $ Volume de gás adsorvido               6,6953

 

Incerteza de Medição

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