2.1 - Lei Fraca dos Grandes Números e Teorema Central do Limite

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Seja $f(\cdot,\theta)$ função densidade de probabilidade de uma variável aleatória $X$ cujo valor esperado é denotado por $\mu$. Suponha que queremos estimar $\mu$. Porém em qualquer problema real, podemos somente observar um número finito de valores da variável aleatória $X$. Será então que, usando somente um número finito de valores de $X$ (uma amostra aleatória de tamanho $n$), podemos realizar inferências confiáveis sobre $\mathbb{E}(X)$? A resposta é sim e isto é o que veremos como aplicação da lei fraca dos grandes números.

A lei fraca dos grandes números estabelece que, para quaisquer dois números suficientemente pequenos $\epsilon$ e $\delta$, com $\epsilon \ \textgreater \ 0$ e $0 \ \textless \ \delta \ \textless \ 1$, existe um número inteiro $n$ tal que, se uma amostra aleatória de tamanho $n$ ou maior que $n$ é obtida de $f$, a média amostral está "próxima" de $\mu$ com probabilidade maior ou igual que $1 - \delta$.

Lei Fraca dos Grandes Números

Seja $f(\cdot)$ uma função densidade com média $\mu$ e variância $\sigma^2$ e seja $\overline{X}$ a média amostral de uma variável aleatória de tamanho $n$ com função densidade $f$. Sejam $\epsilon$ e $\delta$ quaisquer dois números especificados que satisfazem  $\epsilon \ \textgreater \ 0$ e $0 \ \textless \ \delta \ \textless \ 1$. Se $n$ é qualquer inteiro maior que $\frac{\sigma^2}{\epsilon^2\delta}$, então \[\mathbb{P}[-\epsilon \ \textless \ \overline{X}-\mu \ \textless \epsilon]\geq 1-\delta.\]

Demonstração:

Sabemos que \[\mathbb{P}(g(X)\geq k)\leq \frac{\mathbb{E}(g(x))}{k}\]

para todo $k \ \textgreater \ 0$, para toda variável aleatória $X$ e toda função não negativa $g$. De maneira equivalente, temos que \[\mathbb{P}(g(x) \ \textless \ k)\geq 1-\frac{\mathbb{E}(g(X))}{k}.\]

Vamos tomar $g(X)=(\overline{X}-\mu)^2$ e $k = \epsilon^2$. Então \[\mathbb{P}[-\epsilon \ \textless \ \overline{X}-\mu \ \textless \epsilon]=\mathbb{P}[|\overline{X}-\mu| \ \textless \ \epsilon]=\mathbb{P}[|\overline{X}-\mu|^2 \ \textless \ \epsilon^2].\]

Mas \[\mathbb{P}[|\overline{X}-\mu|^2 \ \textless \ \epsilon^2]\geq 1-\frac{\mathbb{E}(\overline{X}-\mu)^2}{\epsilon^2}=1-\frac{(1/n)\sigma^2}{\epsilon^2}\geq 1-\delta.\]

Teorema Central do Limite

Assumir que os dados tem uma distribuição normal é altamente conveniente tanto do ponto de vista teórico como do ponto de vista computacional. Mas isto deixa um problema de fundamental importância: sob quais circunstâncias é razoável assumir que a distribuição normal pode ser usada? Gauss trabalhou neste problema por muito tempo, mas é um resultado de Laplace que é utilizado hoje. Anunciado em 1810, Laplace chamou este resultado de Teorema Central do Limite, que diz que sob a hipótese de amostragem aleatória, quando o tamanho da amostra aumenta, a distribuição de probabilidade da média amostral se aproxima de uma distribuição normal com média $\mu$ e variância $\sigma^2/n$, ou seja, se o tamanho amostral é suficientemente grande, podemos assumir que a média amostral tem uma distribuição normal.

Teorema Central do Limite:

Seja $f$ uma densidade com média $\mu$ e variância $\sigma^2$. Seja $\overline{X}$ a média amostral de uma amostra aleatória de tamanho $n$ de $f$. Então, a distribuição da variável aleatória $Z_n$ definida por \[Z_n=\frac{\overline{X}-E(\overline{X})}{\sqrt{Var(\overline{X})}}=\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}.\]

se aproxima da distribuição normal padrão quando $n$ tende ao infinito. Em outras palavras, $Z_n$ tem distribuição aproximadamente normal com média $0$ e variância $1$ quando $n$ tende ao infinito.

Desse modo, o teorema central do limite nos diz que a distribuição limite de $Z_n$ é uma distribuição normal padrão ou que $\overline{X}$ é assintoticamente distribuída como uma distribuição normal com média $\mu$ e variância $\sigma^2/n$. O mais impressionante do teorema central do limite é o fato de que nada é dito a respeito da função densidade $f$. Ou seja, qualquer que seja a função de distribuição, desde que ela tenha variância finita, a média amostral terá uma distribuição aproximadamente normal para amostras suficientemente grandes.

Inferência

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