3.1.2 - Princípio da Verossimilhança

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O princípio da verossimilhança também pode ser utilizado para resumo dos dados. Veremos nesta seção que, se alguns princípios são aceitos, a função de verossimilhança deve ser utilizada como um dispositivo de redução dos dados.

Definição 3.1.2.1:

Seja $ f(\textf{x}|\theta) $ a função de probabilidade ou função densidade de probabilidade de uma amostra $ \textbf{X} = (X_1,\ldots,X_n) $. Então, dado que $ \textbf{X} = \textbf{x} $ é observado, a função de $ \theta $ definida por 

\[L(\theta|\textbf{x}) = f(\textbf{x}|\theta)\]

é chamada de função de verossimilhança.

Suponha que $ \textbf{X} $ é um vetor aleatório discreto, então $ L(\theta|\textbf{x}) = \mathbb{P}_{\theta}(\textbf{X} = \textbf{x}) $. Suponha que a função de verossimilhança em dois pontos paramétricos $ \theta_1 $ e $ \theta_2 $ satisfaçam a seguinte desigualdade 

\[\mathbb{P}_{\theta_1}(\textbf{X} = \textbf{x}) = L(\theta_1|\textbf{x}) \ \textgreater \ L(\theta_2|\textbf{x}) = \mathbb{P}_{\theta_2}(\textbf{X} = \textbf{x})\]

podemos concluir que é mais provável que a amostra observada tenha ocorrido se $ \theta = \theta_1 $ do que se $ \theta = \theta_2 $.

Observação 3.1.2.1:

Vale ressaltar que a diferença entre a função de probabilidade (ou função densidade de probabilidade) e a função de verossimilhança está justamente em qual variável é considerada fixa e qual está variando. Quando consideramos a função de probabilidade ou função densidade de probabilidade, $ \theta $ é fixo enquanto $ \textbf{x} $ é variável e quando consideramos a função de verossimilhança, a amostra observada $ \textbf{x} $ é fixa enquanto $ \theta $ é variável em relação aos valores paramétricos possíveis.

Exemplo 3.1.2.1:

Considere $ 10 $ ensaios de Bernoulli independentes com parâmetro $ p,~~(0 \ \textless \ p \ \textless \ 1) $ e a variável aleatória $ X $ definida como a soma dos valores observados nos ensaios. Neste caso, sabemos que X tem distribuição binomial com parâmetros $ 10 $ e $ p $, isto é, 

\[X \sim \ \hbox{Binomial}(10,p)\]

Suponha que, a partir da amostra, temos que o valor observado seja $ X = 3 $. Então a função de verossimilhança é dada por 

\[L(\theta|3) = \mathbb{P}(X = 3) = \left(\begin{array}{c}10\\3\end{array}\right)p^3(1-p)^7.\]

Para o caso geral, temos que, se $ X = x $ é observado, então a função de verossimilhança é 

\[L(\theta|x) = \mathbb{P}(X = x) = \left(\begin{array}{c}10\\x\end{array}\right)p^x(1-p)^{10-x}.\]

O princípio da verossimilhança especifica como a função de verossimilhança deve ser usada para resumo dos dados.

Princípio da verossimilhança:

Suponha que $ \textbf{x} $ e $ \textbf{y} $ sejam dois pontos amostrais tais que $ L(\theta|\textbf{x}) $ é proporcional a $ L(\theta|\textbf{y}) $, ou seja, existe uma constante $ C(\textbf{x},\textbf{y}) $ tal que 

\[L(\theta|\textbf{x}) = C(\textbf{x},\textbf{y})L(\theta|\textbf{y}), \ \hbox{para todo} \ \theta\]

então as conclusões obtidas a partir de $ \textbf{x} $ e $ \textbf{y} $ devem ser idênticas.

Observação 3.1.2.2: 

Observe que a constante $ C(\textbf{x},\textbf{y}) $ na equação acima pode ser diferente para pares $ (\textbf{x},\textbf{y}) $ diferentes, mas $ C(\textbf{x},\textbf{y}) $ não depende de $ \theta $.

Se $ C(\textbf{x},\textbf{y}) = 1 $, o princípio da verossimilhança estabelece que se dois pontos amostrais resultam na mesma função de verossimilhança, então eles contém a mesma informação sobre $ \theta $ e se dois pontos amostrais possuem verossimilhanças proporcionais, eles contém informação equivalente sobre $ \theta $.

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