3.1.2 - Princípio da Verossimilhança

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O princípio da verossimilhança também pode ser utilizado para resumo dos dados. Veremos nesta seção que, se alguns princípios são aceitos, a função de verossimilhança deve ser utilizada como um dispositivo de redução dos dados.

Definição 3.1.2.1:

Seja $f(\textf{x}|\theta)$ a função de probabilidade ou função densidade de probabilidade de uma amostra $\textbf{X} = (X_1,\ldots,X_n)$. Então, dado que $\textbf{X} = \textbf{x}$ é observado, a função de $\theta$ definida por \[L(\theta|\textbf{x}) = f(\textbf{x}|\theta)\]

é chamada de função de verossimilhança.

Suponha que $\textbf{X}$ é um vetor aleatório discreto, então $L(\theta|\textbf{x}) = \mathbb{P}_{\theta}(\textbf{X} = \textbf{x})$. Suponha que a função de verossimilhança em dois pontos paramétricos $\theta_1$ e $\theta_2$ satisfaçam a seguinte desigualdade \[\mathbb{P}_{\theta_1}(\textbf{X} = \textbf{x}) = L(\theta_1|\textbf{x}) \ \textgreater \ L(\theta_2|\textbf{x}) = \mathbb{P}_{\theta_2}(\textbf{X} = \textbf{x})\]

podemos concluir que é mais provável que a amostra observada tenha ocorrido se $\theta = \theta_1$ do que se $\theta = \theta_2$.

Observação 3.1.2.1:

Vale ressaltar que a diferença entre a função de probabilidade (ou função densidade de probabilidade) e a função de verossimilhança está justamente em qual variável é considerada fixa e qual está variando. Quando consideramos a função de probabilidade ou função densidade de probabilidade, $\theta$ é fixo enquanto $\textbf{x}$ é variável e quando consideramos a função de verossimilhança, a amostra observada $\textbf{x}$ é fixa enquanto $\theta$ é variável em relação aos valores paramétricos possíveis.

Exemplo 3.1.2.1:

Considere $10$ ensaios de Bernoulli independentes com parâmetro $p,~~(0 \ \textless \ p \ \textless \ 1)$ e a variável aleatória $X$ definida como a soma dos valores observados nos ensaios. Neste caso, sabemos que X tem distribuição binomial com parâmetros $10$ e $p$, isto é, \[X \sim \ \hbox{Binomial}(10,p)\]

Suponha que, a partir da amostra, temos que o valor observado seja $X = 3$. Então a função de verossimilhança é dada por \[L(\theta|3) = \mathbb{P}(X = 3) = \left(\begin{array}{c}10\\3\end{array}\right)p^3(1-p)^7.\]

Para o caso geral, temos que, se $X = x$ é observado, então a função de verossimilhança é \[L(\theta|x) = \mathbb{P}(X = x) = \left(\begin{array}{c}10\\x\end{array}\right)p^x(1-p)^{10-x}.\]

O princípio da verossimilhança especifica como a função de verossimilhança deve ser usada para resumo dos dados.

Princípio da verossimilhança:

Suponha que $\textbf{x}$ e $\textbf{y}$ sejam dois pontos amostrais tais que $L(\theta|\textbf{x})$ é proporcional a $L(\theta|\textbf{y})$, ou seja, existe uma constante $C(\textbf{x},\textbf{y})$ tal que \[L(\theta|\textbf{x}) = C(\textbf{x},\textbf{y})L(\theta|\textbf{y}), \ \hbox{para todo} \ \theta\]

então as conclusões obtidas a partir de $\textbf{x}$ e $\textbf{y}$ devem ser idênticas.

Observação 3.1.2.2: 

Observe que a constante $C(\textbf{x},\textbf{y})$ na equação acima pode ser diferente para pares $(\textbf{x},\textbf{y})$ diferentes, mas $C(\textbf{x},\textbf{y})$ não depende de $\theta$.

Se $C(\textbf{x},\textbf{y}) = 1$, o princípio da verossimilhança estabelece que se dois pontos amostrais resultam na mesma função de verossimilhança, então eles contém a mesma informação sobre $\theta$ e se dois pontos amostrais possuem verossimilhanças proporcionais, eles contém informação equivalente sobre $\theta$.

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