4.1.1 - Variância conhecida

Consideremos uma amostra aleatória simples $X_1,\ldots,X_n$ obtida de uma população com distribuição normal, com média $\mu$ e variância $\sigma^2$ conhecida. Desta forma, a distribuição amostral da média também é Normal com média $\mu$ e variância $\sigma^2/n$, ou seja, \[\overline{X}\sim N\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right).\]

Assim, temos que \[Z=\frac{\overline{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\sim N(0,1),\]

isto é, a variável $Z$ tem distribuição normal padronizada.

Consideremos que a probabilidade da variável $Z$ tomar valores entre $-Z_{\alpha/2}$ e $Z_{\alpha/2}$ é $1-\alpha$. Os valores $-Z_{\alpha/2}$ e $Z_{\alpha/2}$ são obtidos na tabela da distribuição normal conforme mostra a figura a seguir

Então, temos que \[\mathbb{P}[-Z_{\alpha/2}\leq Z\leq Z_{\alpha/2}]= 1-\alpha\]

ou seja,  \[\mathbb{P}\left[-Z_{\alpha/2}\leq \frac{\overline{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\leq Z_{\alpha/2}\right]=(1-\alpha)\]

o que implica que \[\mathbb{P}\left[\overline{X}-Z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\leq\mu\leq\overline{X} +Z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]=1-\alpha.\]

Com isso, o intervalo de confiança da média é dado por \[IC(\mu,1-\alpha)=\left(\overline{X}-Z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}};\overline{X}+ Z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right).\]

Caso os dados não tenham distribuição normal, podemos aplicar o teorema central do limite e construir um intervalo de confiança aproximado.

Interpretação:

Podemos afirmar que, se pudermos repetir muitas vezes o experimento e coletarmos os dados, aproximadamente em $100(1-\alpha)\%$ das vezes a média populacional estará no intervalo encontrado.

Exemplo 4.1.1.1:

O projetista de uma indústria tomou uma amostra de 36 funcionários para verificar o tempo médio gasto para montar um determinado brinquedo. Lembrando que foi verificado que $\overline{x}= 19,9$ e $\sigma = 5,73$, construir um intervalo de confiança de nível $95\%$ para $\mu$.

Na tabela da distribuição normal padronizada, obtemos que $Z_{0,025}=1,96$. Substituindo $\overline{x}=19,9, n=36, \sigma=5,73$ e $Z_{0,025}=1,96$ na fórmula para o intervalo de confiança, temos \[19,9-1,96\frac{5,73}{\sqrt{36}}\leq\mu\leq 19,9+1,96\frac{5,73}{\sqrt{36}}\]

e, portanto, \[IC(\mu,0,95) = (18,02;21,77)\]

Uma das principais interpretações do intervalo de confiança consiste em avaliar a incerteza que temos a respeito de estimarmos o parâmetro populacional $\mu$ a partir de uma amostra aleatória de tamanho $n$.