4.1.1 - Variância conhecida

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Consideremos uma amostra aleatória simples $ X_1,\ldots,X_n $ obtida de uma população com distribuição normal, com média $ \mu $ e variância $ \sigma^2 $ conhecida. Desta forma, a distribuição amostral da média também é Normal com média $ \mu $ e variância $ \sigma^2/n $, ou seja, 

\[\overline{X}\sim N\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right).\]

Assim, temos que 

\[Z=\frac{\overline{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\sim N(0,1),\]

isto é, a variável $ Z $ tem distribuição normal padronizada.

Consideremos que a probabilidade da variável $ Z $ tomar valores entre $ -Z_{\alpha/2} $ e $ Z_{\alpha/2} $ é $ 1-\alpha $. Os valores $ -Z_{\alpha/2} $ e $ Z_{\alpha/2} $ são obtidos na tabela da distribuição normal conforme mostra a figura a seguir

Então, temos que 

\[\mathbb{P}[-Z_{\alpha/2}\leq Z\leq Z_{\alpha/2}]= 1-\alpha\]

ou seja,  

\[\mathbb{P}\left[-Z_{\alpha/2}\leq \frac{\overline{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\leq Z_{\alpha/2}\right]=(1-\alpha)\]

o que implica que 

\[\mathbb{P}\left[\overline{X}-Z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\leq\mu\leq\overline{X} +Z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]=1-\alpha.\]

Com isso, o intervalo de confiança da média é dado por 

\[IC(\mu,1-\alpha)=\left(\overline{X}-Z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}};\overline{X}+ Z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right).\]

Caso os dados não tenham distribuição normal, podemos aplicar o teorema central do limite e construir um intervalo de confiança aproximado.

Interpretação:

Podemos afirmar que, se pudermos repetir muitas vezes o experimento e coletarmos os dados, aproximadamente em $ 100(1-\alpha)\% $ das vezes a média populacional estará no intervalo encontrado.

Exemplo 4.1.1.1:

O projetista de uma indústria tomou uma amostra de 36 funcionários para verificar o tempo médio gasto para montar um determinado brinquedo. Lembrando que foi verificado que $ \overline{x}= 19,9 $ e $ \sigma = 5,73 $, construir um intervalo de confiança de nível $ 95\% $ para $ \mu $.

Na tabela da distribuição normal padronizada, obtemos que $ Z_{0,025}=1,96 $. Substituindo $ \overline{x}=19,9, n=36, \sigma=5,73 $ e $ Z_{0,025}=1,96 $ na fórmula para o intervalo de confiança, temos 

\[19,9-1,96\frac{5,73}{\sqrt{36}}\leq\mu\leq 19,9+1,96\frac{5,73}{\sqrt{36}}\]

e, portanto, 

\[IC(\mu,0,95) = (18,02;21,77)\]

Uma das principais interpretações do intervalo de confiança consiste em avaliar a incerteza que temos a respeito de estimarmos o parâmetro populacional $ \mu $ a partir de uma amostra aleatória de tamanho $ n $.

Inferência

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