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Tendo os conceitos básicos sobre intervalos de confiança, vamos agora tratar uma situação mais realista: quando a variância $\sigma^2$ da população é desconhecida.
Consideremos uma amostra aleatória simples $X_1,X_2,\ldots,X_n$, obtida de uma população com distribuição normal, com média $\mu$ e variância $\sigma^2$ desconhecidas. Como neste caso a variância é desconhecida, utilizaremos a variância amostral $s^2$ no lugar de $\sigma^2$. Assim, temos que \[T=\frac{\overline{X}-\mu}{s/\sqrt{n}}\sim t_{(n-1)}\]
ou seja, a variável $T$ tem distribuição t de Student com $n-1$ graus de liberdade.
Então, ao fixarmos o nível de significância $\alpha$, obtemos da Tabela da distribuição t de Student com $n-1$ graus de liberdade, o valor $t_{((n-1),\alpha/2)}$, que satisfaz \[\mathbb{P}\left(-t_{((n-1),\alpha/2)}\leq T\leq t_{((n-1),\alpha/2)}\right)=1-\alpha\]
ou graficamente
Analogamente ao caso anterior, obtemos que \[\mathbb{P}\left(-t_{((n-1),\alpha/2)}\leq \frac{\overline{X}-\mu}{s/\sqrt{n}}\leq t_{((n-1),\alpha/2)}\right)=1-\alpha\]
ou seja, \[\mathbb{P}\left(\overline{X}-t_{((n-1),\alpha/2)}\frac{s}{\sqrt{n}}\leq\mu\leq \overline{X}+t_{((n-1),\alpha/2)}\frac{s}{\sqrt{n}}\right)=1-\alpha.\]
Logo, o intervalo com $100(1-\alpha)\%$ de confiança para $\mu$, com variância desconhecida, será dado por \[IC(\mu,1-\alpha)=\left(\overline{X}-t_{\alpha/2}\frac{s}{\sqrt{n}};\overline{X}+t_{\alpha/2}\frac{s}{\sqrt{n}}\right).\]
Consideremos que o projetista de uma indústria tomou uma amostra de 36 funcionários para verificar o tempo médio gasto para montar um determinado brinquedo. Os tempos estão colocados na Tabela a seguir. Dado que o projetista não tem conhecimento da variabilidade da população, construir um intervalo de confiança com $(1-\alpha) = 0,95$ para a média $\mu$.
Tabela de dados | |||
17,1000 | 16,8930 | 14,6004 | 13,0053 |
29,6292 | 19,2500 | 17,7504 | 24,6337 |
29,3567 | 25,0798 | 16,7914 | 29,4087 |
23,8807 | 15,2133 | 19,1536 | 30,3199 |
13,0050 | 24,6795 | 29,3308 | 20,7309 |
16,4541 | 26,2017 | 21,7857 | 19,7393 |
24,6042 | 18,6442 | 21,2594 | 26,9123 |
16,9896 | 32,8977 | 21,3627 | 15,4958 |
18,3113 | 23,6931 | 19,5429 | 16,3855 |
clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo
Analisando esse conjunto de dados temos que $\overline{x}=21,39$ e $s=5,38.$ Substituindo esses valores na fórmula do intervalo de confiança temos que \[21,39-2,03\cfrac{5,38}{\sqrt{36}}\leq\mu\leq 21,39+2,03\cfrac{5,38}{\sqrt{36}}.\]
Portanto, \[IC(\mu,0,95) = (19,56; 23,21).\]
Resultados obtidos pelo software Action
![]() |
Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário. |
Foram realizados testes glicêmicos em 25 pacientes após um jejum de 8 horas. Os resultados são apresentados na tabela abaixo. Encontrar um intervalo de confiança de nível $95\%$ para a média $\mu$.
Teste glicêmico (mg/dL) | ||||
80 | 118 | 100 | 90 | 83 |
117 | 95 | 84 | 102 | 80 |
112 | 78 | 102 | 121 | 82 |
77 | 88 | 73 | 104 | 88 |
132 | 91 | 103 | 140 | 101 |
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Inicialmente, calculamos a média amostral $\overline{X}$ e o desvio padrão amostral $s$, que são dados por \[\overline{X} = \frac{1}{25}\sum_{i=1}^{25}X_i = 97,64 \qquad s = \sqrt{\frac{1}{24}\sum_{i=1}^{25}\left(X_i-\overline{X}\right)^2}= 17,82.\]
Como a confiança é de 95%, segue $t_{0,025, 24} = 2,06$ e então, substituindo esses valores na fórmula do intervalo de confiança, temos que \[IC(\mu;0,95)=\left[97,64-2,06\frac{17,82}{\sqrt{25}};97,64+2,06\frac{17,82}{\sqrt{25}}\right]=[90,28;105].\]
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