4.1.2 - Variânca desconhecida

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Tendo os conceitos básicos sobre intervalos de confiança, vamos agora tratar uma situação mais realista: quando a variância $ \sigma^2 $ da população é desconhecida.

Consideremos uma amostra aleatória simples $ X_1,X_2,\ldots,X_n $, obtida de uma população com distribuição normal, com média $ \mu $ e variância $ \sigma^2 $ desconhecidas. Como neste caso a variância é desconhecida, utilizaremos a variância amostral $ s^2 $ no lugar de $ \sigma^2 $. Assim, temos que 

\[T=\frac{\overline{X}-\mu}{s/\sqrt{n}}\sim t_{(n-1)}\]

ou seja, a variável $ T $ tem distribuição t de Student com $ n-1 $ graus de liberdade.

Então, ao fixarmos o nível de significância $ \alpha $, obtemos da Tabela da distribuição t de Student com $ n-1 $ graus de liberdade, o valor $ t_{((n-1),\alpha/2)} $, que satisfaz 

\[\mathbb{P}\left(-t_{((n-1),\alpha/2)}\leq T\leq t_{((n-1),\alpha/2)}\right)=1-\alpha\]

ou graficamente

Analogamente ao caso anterior, obtemos que 

\[\mathbb{P}\left(-t_{((n-1),\alpha/2)}\leq \frac{\overline{X}-\mu}{s/\sqrt{n}}\leq t_{((n-1),\alpha/2)}\right)=1-\alpha\]

ou seja, 

\[\mathbb{P}\left(\overline{X}-t_{((n-1),\alpha/2)}\frac{s}{\sqrt{n}}\leq\mu\leq \overline{X}+t_{((n-1),\alpha/2)}\frac{s}{\sqrt{n}}\right)=1-\alpha.\]

Logo, o intervalo com $ 100(1-\alpha)\% $ de confiança para $ \mu $, com variância desconhecida, será dado por 

\[IC(\mu,1-\alpha)=\left(\overline{X}-t_{\alpha/2}\frac{s}{\sqrt{n}};\overline{X}+t_{\alpha/2}\frac{s}{\sqrt{n}}\right).\]

Exemplo 4.1.2.1:

Consideremos que o projetista de uma indústria tomou uma amostra de 36 funcionários para verificar o tempo médio gasto para montar um determinado brinquedo. Os tempos estão colocados na Tabela a seguir. Dado que o projetista não tem conhecimento da variabilidade da população, construir um intervalo de confiança com $ (1-\alpha) = 0,95 $ para a média $ \mu $.

Tabela de dados   
17,1000 16,8930 14,6004 13,0053
29,6292 19,2500 17,7504 24,6337
29,3567 25,0798 16,7914 29,4087
23,8807 15,2133 19,1536 30,3199
13,0050 24,6795 29,3308 20,7309
16,4541 26,2017 21,7857 19,7393
24,6042 18,6442 21,2594 26,9123
16,9896 32,8977 21,3627 15,4958
18,3113 23,6931 19,5429 16,3855

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

Analisando esse conjunto de dados temos que $ \overline{x}=21,39 $ e $ s=5,38. $ Substituindo esses valores na fórmula do intervalo de confiança temos que 

\[21,39-2,03\cfrac{5,38}{\sqrt{36}}\leq\mu\leq 21,39+2,03\cfrac{5,38}{\sqrt{36}}.\]

Portanto, 

\[IC(\mu,0,95) = (19,56; 23,21).\]

Resultados obtidos pelo software Action

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

Exemplo 4.1.2.2:

Foram realizados testes glicêmicos em 25 pacientes após um jejum de 8 horas. Os resultados são apresentados na tabela abaixo. Encontrar um intervalo de confiança de nível $ 95\% $ para a média $ \mu $.

Teste glicêmico (mg/dL) 
80 118 100 90 83
117 95 84 102 80
112 78 102 121 82
77 88 73 104 88
132 91 103 140 101

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

Inicialmente, calculamos a média amostral $ \overline{X} $ e o desvio padrão amostral $ s $, que são dados por 

\[\overline{X} = \frac{1}{25}\sum_{i=1}^{25}X_i = 97,64 \qquad s = \sqrt{\frac{1}{24}\sum_{i=1}^{25}\left(X_i-\overline{X}\right)^2}= 17,82.\]

Como a confiança é de 95%, segue $ t_{0,025, 24} = 2,06 $ e então, substituindo esses valores na fórmula do intervalo de confiança, temos que 

\[IC(\mu;0,95)=\left[97,64-2,06\frac{17,82}{\sqrt{25}};97,64+2,06\frac{17,82}{\sqrt{25}}\right]=[90,28;105].\]

Inferência

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