4.1.2 - Variânca desconhecida

Tendo os conceitos básicos sobre intervalos de confiança, vamos agora tratar uma situação mais realista: quando a variância $\sigma^2$ da população é desconhecida.

Consideremos uma amostra aleatória simples $X_1,X_2,\ldots,X_n$ , obtida de uma população com distribuição normal, com média $\mu$ e variância $\sigma^2$ desconhecidas. Como neste caso a variância é desconhecida, utilizaremos a variância amostral $s^2$ no lugar de $\sigma^2$ . Assim, temos que

$T=\frac{\overline{X}-\mu}{s/\sqrt{n}}\sim t_{(n-1)}$

ou seja, a variável $T$ tem distribuição t de Student com $n-1$ graus de liberdade.

Então, ao fixarmos o nível de significância $\alpha$ , obtemos da Tabela da distribuição t de Student com $n-1$ graus de liberdade, o valor $t_{((n-1),\alpha/2)}$ , que satisfaz

$\mathbb{P}\left(-t_{((n-1),\alpha/2)}\leq T\leq t_{((n-1),\alpha/2)}\right)=1-\alpha$

ou graficamente

Analogamente ao caso anterior, obtemos que

$\mathbb{P}\left(-t_{((n-1),\alpha/2)}\leq \frac{\overline{X}-\mu}{s/\sqrt{n}}\leq t_{((n-1),\alpha/2)}\right)=1-\alpha$

ou seja,

$\mathbb{P}\left(\overline{X}-t_{((n-1),\alpha/2)}\frac{s}{\sqrt{n}}\leq\mu\leq \overline{X}+t_{((n-1),\alpha/2)}\frac{s}{\sqrt{n}}\right)=1-\alpha.$

Logo, o intervalo com $100(1-\alpha)\%$ de confiança para $\mu$ , com variância desconhecida, será dado por

$IC(\mu,1-\alpha)=\left(\overline{X}-t_{\alpha/2}\frac{s}{\sqrt{n}};\overline{X}+t_{\alpha/2}\frac{s}{\sqrt{n}}\right).$

Exemplo 4.1.2.1:

Consideremos que o projetista de uma indústria tomou uma amostra de 36 funcionários para verificar o tempo médio gasto para montar um determinado brinquedo. Os tempos estão colocados na Tabela a seguir. Dado que o projetista não tem conhecimento da variabilidade da população, construir um intervalo de confiança com $(1-\alpha) = 0,95$ para a média $\mu$ .

Tabela de dados
17,1000	16,8930	14,6004	13,0053
29,6292	19,2500	17,7504	24,6337
29,3567	25,0798	16,7914	29,4087
23,8807	15,2133	19,1536	30,3199
13,0050	24,6795	29,3308	20,7309
16,4541	26,2017	21,7857	19,7393
24,6042	18,6442	21,2594	26,9123
16,9896	32,8977	21,3627	15,4958
18,3113	23,6931	19,5429	16,3855

^{clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo}

Analisando esse conjunto de dados temos que $\overline{x}=21,39$ e $s=5,38.$ Substituindo esses valores na fórmula do intervalo de confiança temos que

$21,39-2,03\cfrac{5,38}{\sqrt{36}}\leq\mu\leq 21,39+2,03\cfrac{5,38}{\sqrt{36}}.$

Portanto,

$IC(\mu,0,95) = (19,56; 23,21).$

Resultados obtidos pelo software Action

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

Exemplo 4.1.2.2:

Foram realizados testes glicêmicos em 25 pacientes após um jejum de 8 horas. Os resultados são apresentados na tabela abaixo. Encontrar um intervalo de confiança de nível $95\%$ para a média $\mu$ .

Teste glicêmico (mg/dL)
80	118	100	90	83
117	95	84	102	80
112	78	102	121	82
77	88	73	104	88
132	91	103	140	101

^{clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo}

^{Inicialmente, calculamos a média amostral e o desvio padrão amostral , que são dados por}

$\overline{X} = \frac{1}{25}\sum_{i=1}^{25}X_i = 97,64 \qquad s = \sqrt{\frac{1}{24}\sum_{i=1}^{25}\left(X_i-\overline{X}\right)^2}= 17,82.$

^{Como a confiança é de 95%, segue e então, substituindo esses valores na fórmula do intervalo de confiança, temos que}

$IC(\mu;0,95)=\left[97,64-2,06\frac{17,82}{\sqrt{25}};97,64+2,06\frac{17,82}{\sqrt{25}}\right]=[90,28;105].$

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