4.1.2 - Variânca desconhecida

Tendo os conceitos básicos sobre intervalos de confiança, vamos agora tratar uma situação mais realista: quando a variância $\sigma^2$ da população é desconhecida.

Consideremos uma amostra aleatória simples $X_1,X_2,\ldots,X_n$, obtida de uma população com distribuição normal, com média $\mu$ e variância $\sigma^2$ desconhecidas. Como neste caso a variância é desconhecida, utilizaremos a variância amostral $s^2$ no lugar de $\sigma^2$. Assim, temos que \[T=\frac{\overline{X}-\mu}{s/\sqrt{n}}\sim t_{(n-1)}\]

ou seja, a variável $T$ tem distribuição t de Student com $n-1$ graus de liberdade.

Então, ao fixarmos o nível de significância $\alpha$, obtemos da Tabela da distribuição t de Student com $n-1$ graus de liberdade, o valor $t_{((n-1),\alpha/2)}$, que satisfaz \[\mathbb{P}\left(-t_{((n-1),\alpha/2)}\leq T\leq t_{((n-1),\alpha/2)}\right)=1-\alpha\]

ou graficamente

Analogamente ao caso anterior, obtemos que \[\mathbb{P}\left(-t_{((n-1),\alpha/2)}\leq \frac{\overline{X}-\mu}{s/\sqrt{n}}\leq t_{((n-1),\alpha/2)}\right)=1-\alpha\]

ou seja, \[\mathbb{P}\left(\overline{X}-t_{((n-1),\alpha/2)}\frac{s}{\sqrt{n}}\leq\mu\leq \overline{X}+t_{((n-1),\alpha/2)}\frac{s}{\sqrt{n}}\right)=1-\alpha.\]

Logo, o intervalo com $100(1-\alpha)\%$ de confiança para $\mu$, com variância desconhecida, será dado por \[IC(\mu,1-\alpha)=\left(\overline{X}-t_{\alpha/2}\frac{s}{\sqrt{n}};\overline{X}+t_{\alpha/2}\frac{s}{\sqrt{n}}\right).\]

Exemplo 4.1.2.1:

Consideremos que o projetista de uma indústria tomou uma amostra de 36 funcionários para verificar o tempo médio gasto para montar um determinado brinquedo. Os tempos estão colocados na Tabela a seguir. Dado que o projetista não tem conhecimento da variabilidade da população, construir um intervalo de confiança com $(1-\alpha) = 0,95$ para a média $\mu$.

^{clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo}

Analisando esse conjunto de dados temos que $\overline{x}=21,39$ e $s=5,38.$ Substituindo esses valores na fórmula do intervalo de confiança temos que \[21,39-2,03\cfrac{5,38}{\sqrt{36}}\leq\mu\leq 21,39+2,03\cfrac{5,38}{\sqrt{36}}.\]

Portanto, \[IC(\mu,0,95) = (19,56; 23,21).\]

Resultados obtidos pelo software Action

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

Exemplo 4.1.2.2:

Foram realizados testes glicêmicos em 25 pacientes após um jejum de 8 horas. Os resultados são apresentados na tabela abaixo. Encontrar um intervalo de confiança de nível $95\%$ para a média $\mu$.

^{clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo}

^{Inicialmente, calculamos a média amostral $\overline{X}$ e o desvio padrão amostral $s$, que são dados por \[\overline{X} = \frac{1}{25}\sum_{i=1}^{25}X_i = 97,64 \qquad s = \sqrt{\frac{1}{24}\sum_{i=1}^{25}\left(X_i-\overline{X}\right)^2}= 17,82.\]}

^{Como a confiança é de 95%, segue $t_{0,025, 24} = 2,06$ e então, substituindo esses valores na fórmula do intervalo de confiança, temos que \[IC(\mu;0,95)=\left[97,64-2,06\frac{17,82}{\sqrt{25}};97,64+2,06\frac{17,82}{\sqrt{25}}\right]=[90,28;105].\]}