4.2.1 - Aproximação normal

Você está aqui

Vejamos como construir intervalos de confiança para a proporção $ p $, utilizando a aproximação Normal. Consideremos $ \hat{p} $ a proporção amostral. Pelo Teorema Central do Limite temos que, para um tamanho de amostra grande, podemos considerar a proporção amostral $ \hat{p} $ como tendo aproximadamente distribuição normal com média p e variância p(1-p)/n. Desse modo segue que 

\[\hat{p}\sim N\left(p,\frac{p(1-p)}{n}\right).\]

Observemos que a variância de $ \hat{p} $ depende do parâmetro desconhecido $ p $. No entanto, pelo fato de $ n $ ser grande, podemos substituir $ p $ por $ \hat{p} $. Com isso temos que 

\[\frac{\hat{p}-p}{\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}}\sim N(0,1).\]

Considerando o mesmo procedimento de montagem do intervalo para a média, construímos o intervalo com $ 100(1 - \alpha)\% $ de confiança para a proporção $ p $

\[IC(p,1-\alpha)=\left(\hat{p}-Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}},\hat{p}+Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\right).\]

Exemplo 4.2.1.1:

Numa amostra aleatória de tamanho $ n=700 $ foram encontrados $ 68 $ elementos defeituosos. Achar um intervalo de confiança de nível $ 95\% $ para a proporção $ p $ de defeituosos.

Temos que $ \hat{p}=68/700=0,0971 $. Para $ \alpha=0,05 $, temos pela tabela da distribuição normal que $ Z_{0,025}=1,96 $. Então o intervalo de confiança é dado por 

\[\left(0,0971-1,96\sqrt{\frac{0,0971(0,9028)}{700}};0,0971+1,96\sqrt{\frac{0,0971(0,9028)}{700}}\right)=(0,0752;0,119).\]

Inferência

Sobre o Portal Action

O Portal Action é mantido pela Estatcamp - Consultoria Estatística e Qualidade, com o objetivo de disponibilizar uma ferramenta estatística em conjunto com uma fonte de informação útil aos profissionais interessados.

Facebook

CONTATO

  •  Maestro Joao Seppe, 900, São Carlos - SP | CEP 13561-180
  • Telefone: (16) 3376-2047
  • E-Mail: [email protected]