4.2.1 - Aproximação normal

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Vejamos como construir intervalos de confiança para a proporção $p$, utilizando a aproximação Normal. Consideremos $\hat{p}$ a proporção amostral. Pelo Teorema Central do Limite temos que, para um tamanho de amostra grande, podemos considerar a proporção amostral $\hat{p}$ como tendo aproximadamente distribuição normal com média p e variância p(1-p)/n. Desse modo segue que \[\hat{p}\sim N\left(p,\frac{p(1-p)}{n}\right).\]

Observemos que a variância de $\hat{p}$ depende do parâmetro desconhecido $p$. No entanto, pelo fato de $n$ ser grande, podemos substituir $p$ por $\hat{p}$. Com isso temos que \[\frac{\hat{p}-p}{\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}}\sim N(0,1).\]

Considerando o mesmo procedimento de montagem do intervalo para a média, construímos o intervalo com $100(1 - \alpha)\%$ de confiança para a proporção $p$: \[IC(p,1-\alpha)=\left(\hat{p}-Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}},\hat{p}+Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\right).\]

Exemplo 4.2.1.1:

Numa amostra aleatória de tamanho $n=700$ foram encontrados $68$ elementos defeituosos. Achar um intervalo de confiança de nível $95\%$ para a proporção $p$ de defeituosos.

Temos que $\hat{p}=68/700=0,0971$. Para $\alpha=0,05$, temos pela tabela da distribuição normal que $Z_{0,025}=1,96$. Então o intervalo de confiança é dado por \[\left(0,0971-1,96\sqrt{\frac{0,0971(0,9028)}{700}};0,0971+1,96\sqrt{\frac{0,0971(0,9028)}{700}}\right)=(0,0752;0,119).\]

Inferência

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