4.2.3 - Binomial exata

Consideremos uma amostra aleatória $X_1,\ldots,X_n$ de uma população com distribuição de Bernoulli com parâmetro $p$. Vamos ver como obter um intervalo de confiança para a proporção utilizando o método da Binomial Exata (sem utilizar o teorema central do limite).

Seja $1 - \alpha$ o nível de confiança. Considere $P_1= 1 - \alpha/2$. Seja $Y$ o número de sucessos (ocorrências do evento de interesse) e considere o valor $x = Y - 1$. Encontre na Tabela da distribuição binomial o valor de $P_1$ correspondente aos valores de $n$ e $x$. O valor $p$ encontrado no topo da coluna que contém o valor $P_1$ é o limite inferior do intervalo de confiança. Para encontrar o limite superior considere $P_2= \alpha/2$, $x = Y$ e entre na mesma tabela com os valores de $n$ e $x$ até encontrar o valor de $P_2$. O valor correspondente de $p$ no topo da tabela é o limite superior do intervalo de confiança.

Exemplo 4.2.3.1:

Em um lote com $19$ peças, $4$ eram defeituosas. Obter um intervalo de confiança, com $\alpha = 0,05$, para a proporção $p$ de peças defeituosas.

Temos que $P_1= 1-\alpha/2=1-0,025=0,975$, $x=3$ e $n=19$. Assim, obtemos na tabela da distribuição binomial o limite inferior $0,05$. Por outro lado, $P_2= 0,025$ e $x=4$. Assim obtemos que o limite superior é igual a $0,45$.

Então o intervalo com 95% de confiança paa a proporção de defeituosas é $(0,05;0,45)$.

Observação:

Este método é utilizado apenas para amostras de tamanho pequeno. Para amostras grande, utilizamos o teorema central do limite para obter o intervalo de confiança.

Inferência

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