4.3 - Intervalo de confiança para taxa

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Consideremos uma amostra aleatória $ X_1,\ldots,X_n $ de uma população com distribuição de Poisson com parâmetro $ \lambda $, isto é, 

\[X_1,X_2,\ldots,X_n\sim \ \hbox{Poisson}(\lambda).\]

Sabemos que $ \hat{\lambda}=\displaystyle \sum_{i=1}^n\frac{X_i}{n} $ é um estimador de máxima verossimilhança para $ \lambda $. Utilizando o teorema central do limite, temos 

\[\hat{\lambda}=\displaystyle\sum_{i=1}^n\frac{X_i}{n}\sim N\left(\lambda,\frac{\lambda}{n}\right)\]

o que implica que 

\[Z=\frac{\hat{\lambda}-\lambda}{\sqrt{\frac{\hat{\lambda}}{n}}}\sim N(0,1).\]

Analogamente aos casos anteriores, obtemos um intervalo com $ 100(1 - \alpha)\% $ de confiança para a taxa: 

\[IC(\lambda,1-\alpha)=\left(\hat{\lambda}-Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{\lambda}}{n}};\hat{\lambda}+Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{\lambda}}{n}}\right).\]

Exemplo 4.3.1:

Em um processo de uma fábrica, 72 peças foram escolhidas de forma aleatória e o número de defeitos encontrado em cada peça se encontra na tabela abaixo. Construa um intervalo de confiança, com $ \alpha=0,05 $, para a taxa de defeitos nas peças.

0 0 1 0 2 0 0 0 0 1 0 0
0 0 1 0 3 1 0 2 0 1 2 1
1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 5 1
0 0 2 0 0 1 0 3 0 0 0 2
0 2 1 0 0 1 0 0 0 0 2 1
0 2 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

Temos que $ \hat{\lambda}=\displaystyle\sum_{i=1}^{72} \frac{X_i}{72}=0,64 $. Para $ \alpha=0,05 $, temos pela tabela da distribuição normal que $ Z_{0,025}=1,96 $. Então, o intervalo de confiança é dado por 

\[IC(\lambda,1-\alpha)=\left(0,64-1,96\sqrt{\frac{0,64}{72}};0,64+1,96\sqrt{\frac{0,64}{72}}\right)=(0,455;0,825).\]

Veja a seguir os resultados obtidos pelo software Action.

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

 

Inferência

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