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Consideremos uma amostra aleatória $X_1,\ldots,X_n$ de uma população com distribuição de Poisson com parâmetro $\lambda$, isto é, \[X_1,X_2,\ldots,X_n\sim \ \hbox{Poisson}(\lambda).\]
Sabemos que $\hat{\lambda}=\displaystyle \sum_{i=1}^n\frac{X_i}{n}$ é um estimador de máxima verossimilhança para $\lambda$. Utilizando o teorema central do limite, temos \[\hat{\lambda}=\displaystyle\sum_{i=1}^n\frac{X_i}{n}\sim N\left(\lambda,\frac{\lambda}{n}\right)\]
o que implica que \[Z=\frac{\hat{\lambda}-\lambda}{\sqrt{\frac{\hat{\lambda}}{n}}}\sim N(0,1).\]
Analogamente aos casos anteriores, obtemos um intervalo com $100(1 - \alpha)\%$ de confiança para a taxa: \[IC(\lambda,1-\alpha)=\left(\hat{\lambda}-Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{\lambda}}{n}};\hat{\lambda}+Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{\lambda}}{n}}\right).\]
Em um processo de uma fábrica, 72 peças foram escolhidas de forma aleatória e o número de defeitos encontrado em cada peça se encontra na tabela abaixo. Construa um intervalo de confiança, com $\alpha=0,05$, para a taxa de defeitos nas peças.
0 | 0 | 1 | 0 | 2 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
0 | 0 | 1 | 0 | 3 | 1 | 0 | 2 | 0 | 1 | 2 | 1 |
1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 5 | 1 |
0 | 0 | 2 | 0 | 0 | 1 | 0 | 3 | 0 | 0 | 0 | 2 |
0 | 2 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 2 | 1 |
0 | 2 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo
Temos que $\hat{\lambda}=\displaystyle\sum_{i=1}^{72} \frac{X_i}{72}=0,64$. Para $\alpha=0,05$, temos pela tabela da distribuição normal que $Z_{0,025}=1,96$. Então, o intervalo de confiança é dado por \[IC(\lambda,1-\alpha)=\left(0,64-1,96\sqrt{\frac{0,64}{72}};0,64+1,96\sqrt{\frac{0,64}{72}}\right)=(0,455;0,825).\]
Veja a seguir os resultados obtidos pelo software Action.
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