4.3 - Intervalo de confiança para taxa

Consideremos uma amostra aleatória $X_1,\ldots,X_n$ de uma população com distribuição de Poisson com parâmetro $\lambda$, isto é, \[X_1,X_2,\ldots,X_n\sim \ \hbox{Poisson}(\lambda).\]

Sabemos que $\hat{\lambda}=\displaystyle \sum_{i=1}^n\frac{X_i}{n}$ é um estimador de máxima verossimilhança para $\lambda$. Utilizando o teorema central do limite, temos \[\hat{\lambda}=\displaystyle\sum_{i=1}^n\frac{X_i}{n}\sim N\left(\lambda,\frac{\lambda}{n}\right)\]

o que implica que \[Z=\frac{\hat{\lambda}-\lambda}{\sqrt{\frac{\hat{\lambda}}{n}}}\sim N(0,1).\]

Analogamente aos casos anteriores, obtemos um intervalo com $100(1 - \alpha)\%$ de confiança para a taxa: \[IC(\lambda,1-\alpha)=\left(\hat{\lambda}-Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{\lambda}}{n}};\hat{\lambda}+Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{\lambda}}{n}}\right).\]

Exemplo 4.3.1:

Em um processo de uma fábrica, 72 peças foram escolhidas de forma aleatória e o número de defeitos encontrado em cada peça se encontra na tabela abaixo. Construa um intervalo de confiança, com $\alpha=0,05$, para a taxa de defeitos nas peças.

^{clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo}

Temos que $\hat{\lambda}=\displaystyle\sum_{i=1}^{72} \frac{X_i}{72}=0,64$. Para $\alpha=0,05$, temos pela tabela da distribuição normal que $Z_{0,025}=1,96$. Então, o intervalo de confiança é dado por \[IC(\lambda,1-\alpha)=\left(0,64-1,96\sqrt{\frac{0,64}{72}};0,64+1,96\sqrt{\frac{0,64}{72}}\right)=(0,455;0,825).\]

Veja a seguir os resultados obtidos pelo software Action.

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.