4.4 - Intervalo de confiança para variância

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Consideremos uma amostra aleatória $ X_1,\ldots,X_n $ de tamanho $ n $ de uma população com distribuição normal com média $ \mu $ e variância $ \sigma^2 $. Um estimador para $ \sigma^2 $ é a variância amostral $ s^2 $. Assim, sabemos que a quantidade pivotal 

\[Q=\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}\sim\chi_{n-1}^2.\]

Seja $ 1-\alpha $ a probabilidade da variável $ Q $, com $ n-1 $ graus de liberdade, tomar valores entre $ Q_{\alpha/2} $ e $ Q_{1-\alpha/2} $, valores obtidos na tabela da distribuição qui-quadrado tais que $ \mathbb{P}[Q \ \textless \ Q_{\alpha/2}]=P[Q \ \textgreater \ Q_{1-\alpha/2}]=\alpha/2 $.

Observando a equação 

\[Q_{\alpha/2}\leq Q\leq Q_{1-\alpha/2}\]

vemos que podemos substituir $ Q $ pela expressão acima e então obtemos 

\[Q_{\alpha/2}\leq\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}\leq Q_{1-\alpha/2}.\]

Reescrevendo esta desigualdade, obtemos o intervalo de confiança para a variância

\[\frac{(n-1)s^2}{Q_{1-\alpha/2}} \ \textless \ \sigma^2 \ \textless \ \frac{(n-1)s^2}{Q_{\alpha/2}}.\]

Assim, 

\[\mathbb{P}\left(\frac{(n-1)s^2}{Q_{1-\alpha/2}} \ \textless \ \sigma^2 \ \textless \ \frac{(n-1)s^2}{Q_{\alpha}}\right)=1-\alpha.\]

Logo, o intervalo com nível $ 100(1-\alpha)\% $ de confiança para $ \sigma^2 $ será dado por 

\[IC(\sigma^2,1-\alpha)=\left(\frac{(n-1)s^2}{Q_{1-\alpha/2}},\frac{(n-1)s^2}{Q_{\alpha/2}}\right).\]

Exemplo 4.4.1:

O peso de componentes mecânicos produzidos por uma determinada empresa é uma variável aleatória que se supõe ter distribuição normal. Pretende-se estudar a variabilidade do peso dos referidos componentes. Para isso, uma amostra de tamanho 11 foi obtida,cujos valores em grama são:

98  97  102  100  98  101  102  105  95  102  100

Construa um intervalo de confiança para a variância do peso, com um grau de confiança igual a 95%.

Temos que $ n=11 $, $ \overline{x}=100 $

\[s^2=\sum_{i=1}^11\frac{(x_i-\overline{x})^2}{10}=\frac{4+9+\ldots+25+4+0}{10}=8.\]

Pela Tabela da distribuição qui-quadrado com $ 10 $ graus de liberdade, temos que $ Q_{0,025}= 3,25 $ e $ Q_{0,975} = 20,48 $. Assim, 

\[IC(\sigma^2,1-\alpha)=\left(\frac{10\times 8}{20,48},\frac{10\times 8}{3,25}\right)=(3,90;24,61).\]

Inferência

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