4.4 - Intervalo de confiança para variância

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Consideremos uma amostra aleatória $X_1,\ldots,X_n$ de tamanho $n$ de uma população com distribuição normal com média $\mu$ e variância $\sigma^2$. Um estimador para $\sigma^2$ é a variância amostral $s^2$. Assim, sabemos que a quantidade pivotal \[Q=\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}\sim\chi_{n-1}^2.\]

Seja $1-\alpha$ a probabilidade da variável $Q$, com $n-1$ graus de liberdade, tomar valores entre $Q_{\alpha/2}$ e $Q_{1-\alpha/2}$, valores obtidos na tabela da distribuição qui-quadrado tais que $\mathbb{P}[Q \ \textless \ Q_{\alpha/2}]=P[Q \ \textgreater \ Q_{1-\alpha/2}]=\alpha/2$.

Observando a equação \[Q_{\alpha/2}\leq Q\leq Q_{1-\alpha/2}\]

vemos que podemos substituir $Q$ pela expressão acima e então obtemos \[Q_{\alpha/2}\leq\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}\leq Q_{1-\alpha/2}.\]

Reescrevendo esta desigualdade, obtemos o intervalo de confiança para a variância, \[\frac{(n-1)s^2}{Q_{1-\alpha/2}} \ \textless \ \sigma^2 \ \textless \ \frac{(n-1)s^2}{Q_{\alpha/2}}.\]

Assim, \[\mathbb{P}\left(\frac{(n-1)s^2}{Q_{1-\alpha/2}} \ \textless \ \sigma^2 \ \textless \ \frac{(n-1)s^2}{Q_{\alpha}}\right)=1-\alpha.\]

Logo, o intervalo com nível $100(1-\alpha)\%$ de confiança para $\sigma^2$ será dado por \[IC(\sigma^2,1-\alpha)=\left(\frac{(n-1)s^2}{Q_{1-\alpha/2}},\frac{(n-1)s^2}{Q_{\alpha/2}}\right).\]

Exemplo 4.4.1:

O peso de componentes mecânicos produzidos por uma determinada empresa é uma variável aleatória que se supõe ter distribuição normal. Pretende-se estudar a variabilidade do peso dos referidos componentes. Para isso, uma amostra de tamanho 11 foi obtida,cujos valores em grama são:

98  97  102  100  98  101  102  105  95  102  100

Construa um intervalo de confiança para a variância do peso, com um grau de confiança igual a 95%.

Temos que $n=11$, $\overline{x}=100$ e \[s^2=\sum_{i=1}^11\frac{(x_i-\overline{x})^2}{10}=\frac{4+9+\ldots+25+4+0}{10}=8.\]

Pela Tabela da distribuição qui-quadrado com $10$ graus de liberdade, temos que $Q_{0,025}= 3,25$ e $Q_{0,975} = 20,48$. Assim, \[IC(\sigma^2,1-\alpha)=\left(\frac{10\times 8}{20,48},\frac{10\times 8}{3,25}\right)=(3,90;24,61).\]

Inferência

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