4.5 - Intervalo de confiança para razão entre duas variâncias

Você está aqui

Vejamos como construir um intervalo de confiança para a razão entre duas variâncias de populações normais independentes. Para isso retiramos uma amostra aleatória $X_1,X_2,\dots,X_{n_1}$ da população 1, com distribuição $N(\mu_1,\sigma^2_1)$, e uma amostra $Y_1,Y_2,\dots,Y_{n_2}$ da população 2, com distribuição $N(\mu_2,\sigma^2_2)$. Como \[Q_1=\cfrac{(n_1-1)}{\sigma_1^2}s_1^2\sim\chi_{n_1-1}^2 \quad \hbox{(Qui-quadrado com} \ n_1-1 \ \hbox{graus de liberdade)}\]

\[Q_2=\cfrac{(n_2-1)}{\sigma_2^2}s_2^2\sim\chi_{n_2-1}^2 \quad \hbox{(Qui-quadrado com} \ n_2-1 \ \hbox{graus de liberdade)}\]

em que $s^2_1$ é a variância amostral da população 1 e $s^2_2$ a variância amostral da população 2. Neste caso, a expressão $F$ definida por \[F=\cfrac{\cfrac{Q_1}{N_1-1}}{\cfrac{Q_2}{n_2-1}}=\cfrac{\cfrac{s_1^2}{\sigma_1^2}}{\cfrac{s_2^2}{\sigma_2^2}}=\cfrac{s_1^2}{s_2^2}\cfrac{\sigma_2^2}{\sigma_1^2}\]

tem distribuição F de Snedecor com $n_1-1$ graus de liberdade no numerador e $n_2-1$ graus de liberdade no denominador e denotamos por $F_{(n_1-1;n_2-1)}$.

Consideremos que a probabilidade da variável $F$ tomar valores entre $F_{(\frac{\alpha}{2};n_1-1;n_2-1)}$ e $F_{(1-\frac{\alpha}{2};n_1-1;n_2-1)}$ é $1-\alpha$. Esses valores são obtidos na Tabela da distribuição de Fisher-Snedecor referente ao valor de $\alpha$ e aos graus de liberdade do numerador e do denominador, $n_1-1$ e $n_2-1$, respectivamente. Veja a figura a seguir.

Observando a equação \[F_{\alpha/2} \ \textless \ F \ \textless \ F_{(1-\alpha/2)}\]

vemos que podemos substituir $F$ pela expressão acima e assim temos \[F_{\alpha/2} \ \textless \frac{s_1^2}{s_2^2}\frac{\sigma_2^2}{\sigma_1^2} \ \textless \ F_{(1-\alpha/2)}.\]

Reescrevendo esta equação obtemos: \[\cfrac{1}{F_{(1-\alpha/2)}}\frac{s_1^2}{s_2^2} \ \textless \ \frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2} \ \textless \ \frac{1}{F_{\alpha/2}}\frac{s_1^2}{s_2^2}.\]

Assim, \[P\left(\frac{1}{F_{(1-\alpha/2)}}\frac{s_1^2}{s_2^2} \ \textless \ \frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2} \ \textless \ \frac{1}{F_{\alpha/2}}\frac{s_1^2}{s_2^2}\right)=1-\alpha.\]

Observe que $F_{(1-\alpha/2,n_1-1,n_2-1)}=\frac{1}{F_{(\alpha/2,n_2-1,n_1-1)}}$ e $F_{(\alpha/2,n_1-1,n_2-1)}=\frac{1}{F_{(1-\alpha/2,n_2-1,n_1-1)}}$.

Logo, o intervalo de confiança com nível $100(1-\alpha)\%$ para a razão entre duas variâncias será dado por \[IC(\sigma_1^2/\sigma_2^2,1-\alpha)=\left(\frac{1}{F_{(1-\alpha/2)}}\frac{s_1^2}{s_2^2};\frac{1}{F_{(\alpha/2)}}\frac{s_1^2}{s_2^2}\right).\]

Inferência

Sobre o Portal Action

O Portal Action é mantido pela Estatcamp - Consultoria Estatística e Qualidade, com o objetivo de disponibilizar uma ferramenta estatística em conjunto com uma fonte de informação útil aos profissionais interessados.

Facebook

CONTATO

  •  Maestro Joao Seppe, 900, São Carlos - SP | CEP 13561-180
  • Telefone: (16) 3376-2047
  • E-Mail: [email protected]