4.6.1 - 1º Caso: Variâncias conhecidas

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Consideremos duas amostras aleatórias, $ X_1,X_2,\ldots,X_{n1} $ de tamanho $ n_1 $ e $ Y_1,Y_2,\ldots,Y_{n2} $ de tamanho $ n_2 $, ambas com distribuição normal, médias $ \mu_1 $ e $ \mu_2 $ e variâncias $ \sigma_1^2 $ e $ \sigma_2^2 $, respectivamente. Assim, 

\[\overline{X}\sim N\left(\mu_1,\frac{\sigma_1^2}{n_1}\right) \ \hbox{e} \ \overline{Y}\sim N\left(\mu_2,\frac{\sigma_2^2}{n_2}\right).\]

Daí, temos que, 

\[\overline{X}-\overline{Y}\sim N\left(\mu_1-\mu_2,\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}\right)\]

o que implica que 

\[Z=\frac{(\overline{X}-\overline{Y})-(\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}}\sim N(0,1).\]

Consideremos que a probabilidade da variável $ Z $ tomar valores entre $ -Z_{\alpha/2} $ e $ Z_{\alpha/2} $ é $ 1-\alpha $. Observando a equação 

\[-Z_{\alpha/2}\leq Z\leq Z_{\alpha/2}\]

vemos que podemos substituir $ Z $ pela expressão acima e assim obtemos 

\[-Z_{\alpha/2}\leq\frac{\overline{X}-\overline{Y}-(\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}}\leq Z_{\alpha/2}.\]

Reescrevendo esta desigualdade, obtemos o intervalo de confiança para a diferença das médias $ \mu_1-\mu_2 $, 

\[IC(\mu_1-\mu_2,1-\alpha)=\left((\overline{X}-\overline{Y})-Z_{\alpha/2}\left(\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}\right);(\overline{X}-\overline{Y})+Z_{\alpha/2}\left(\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}\right)\right)\]

e podemos afirmar que se pudéssemos construir uma quantidade grande de intervalos $ IC(\mu_1-\mu_2,1-\alpha) $, todos baseados em amostras de tamanho $ n_1 $ e $ n_2 $, em torno de $ 100(1-\alpha)\% $ deles conteriam o valor verdadeiro da média populacional.

Inferência

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