4.6.1 - 1º Caso: Variâncias conhecidas

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Consideremos duas amostras aleatórias, $X_1,X_2,\ldots,X_{n1}$ de tamanho $n_1$ e $Y_1,Y_2,\ldots,Y_{n2}$ de tamanho $n_2$, ambas com distribuição normal, médias $\mu_1$ e $\mu_2$ e variâncias $\sigma_1^2$ e $\sigma_2^2$, respectivamente. Assim, \[\overline{X}\sim N\left(\mu_1,\frac{\sigma_1^2}{n_1}\right) \ \hbox{e} \ \overline{Y}\sim N\left(\mu_2,\frac{\sigma_2^2}{n_2}\right).\]

Daí, temos que, \[\overline{X}-\overline{Y}\sim N\left(\mu_1-\mu_2,\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}\right)\]

o que implica que \[Z=\frac{(\overline{X}-\overline{Y})-(\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}}\sim N(0,1).\]

Consideremos que a probabilidade da variável $Z$ tomar valores entre $-Z_{\alpha/2}$ e $Z_{\alpha/2}$ é $1-\alpha$. Observando a equação \[-Z_{\alpha/2}\leq Z\leq Z_{\alpha/2}\]

vemos que podemos substituir $Z$ pela expressão acima e assim obtemos \[-Z_{\alpha/2}\leq\frac{\overline{X}-\overline{Y}-(\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}}\leq Z_{\alpha/2}.\]

Reescrevendo esta desigualdade, obtemos o intervalo de confiança para a diferença das médias $\mu_1-\mu_2$, \[IC(\mu_1-\mu_2,1-\alpha)=\left((\overline{X}-\overline{Y})-Z_{\alpha/2}\left(\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}\right);(\overline{X}-\overline{Y})+Z_{\alpha/2}\left(\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}\right)\right)\]

e podemos afirmar que se pudéssemos construir uma quantidade grande de intervalos $IC(\mu_1-\mu_2,1-\alpha)$, todos baseados em amostras de tamanho $n_1$ e $n_2$, em torno de $100(1-\alpha)\%$ deles conteriam o valor verdadeiro da média populacional.

Inferência

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