4.6.2 - 2º Caso: Variâncias desconhecidas - porém iguais

Consideremos agora duas amostras aleatórias, $X_1,X_2,\ldots,X_{n1}$ de tamanho $n_1$ e $Y_1,Y_2,\ldots,Y_{n2}$ de tamanho $n_2$, com apenas uma diferença do caso anterior: as variâncias são desconhecidas, porém iguais, isto é, $\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma^2$. Como \[\frac{(n_1-1)s_1^2}{\sigma^2}\sim\chi_{n_1-1}^2 \quad \hbox{e} \quad \frac{(n_2-1)s_2^2}{\sigma_2}\sim\chi_{n_2-1}^2\]

onde $s_1^2$ é a variância amostral da população $1$ e $s_2^2$ é a variância amostral da população $2$, temos que \[T=\frac{(\overline{X}-\overline{Y})-(\mu_1-\mu_2)}{s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}\sim t_{n_1+n_2-2}\]

onde \[s_p=\sqrt{\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}}.\]

Daí, utilizando a tabela da distribuição t de Student com $a = n_1+n_2- 2$ graus de liberdade, obtemos o valor de $t_{(a,\alpha/2)}$ de forma que \[-t_{(a,\alpha/2)} \ \textless \ \frac{(\overline{X}-\overline{Y})-(\mu_1-\mu_2)}{s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}} \ \textless \ t_{(a,\alpha/2)}.\]

Reescrevendo esta desigualdade, obtemos o intervalo de confiança para a diferença das médias $\mu_1-\mu_2$ quando as variâncias são desconhecidas, porém iguais, \[(\overline{X}-\overline{Y})-t_{(a,\alpha/2)}s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}\leq\mu_1-\mu_2\leq (\overline{X}-\overline{Y}+t_{(a,\alpha/2)}s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}\]

ou seja, \[\text{IC}(\mu_1-\mu_2,1-\alpha)=\left((\overline{X}-\overline{Y})-t_{(a,\alpha/2)}s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}};(\overline{X}-\overline{Y})+t_{(a,\alpha/2)}s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}\right)\]

e podemos afirmar que se pudéssemos construir uma grande quantidade de intervalos $\text{IC}(\mu_1-\mu_2, 1 - \alpha)$, todos baseados em amostras de tamanho $n_1$ e $n_2$, em torno de $100(1-\alpha)\%$ deles conteriam a verdadeira diferença das médias populacionais.