4.6.2 - 2º Caso: Variâncias desconhecidas - porém iguais

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Consideremos agora duas amostras aleatórias, $ X_1,X_2,\ldots,X_{n1} $ de tamanho $ n_1 $ e $ Y_1,Y_2,\ldots,Y_{n2} $ de tamanho $ n_2 $, com apenas uma diferença do caso anterior: as variâncias são desconhecidas, porém iguais, isto é, $ \sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma^2 $. Como 

\[\frac{(n_1-1)s_1^2}{\sigma^2}\sim\chi_{n_1-1}^2 \quad \hbox{e} \quad \frac{(n_2-1)s_2^2}{\sigma_2}\sim\chi_{n_2-1}^2\]

onde $ s_1^2 $ é a variância amostral da população $ 1 $ e $ s_2^2 $ é a variância amostral da população $ 2 $, temos que 

\[T=\frac{(\overline{X}-\overline{Y})-(\mu_1-\mu_2)}{s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}\sim t_{n_1+n_2-2}\]

onde 

\[s_p=\sqrt{\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}}.\]

Daí, utilizando a tabela da distribuição t de Student com $ a = n_1+n_2- 2 $ graus de liberdade, obtemos o valor de $ t_{(a,\alpha/2)} $ de forma que 

\[-t_{(a,\alpha/2)} \ \textless \ \frac{(\overline{X}-\overline{Y})-(\mu_1-\mu_2)}{s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}} \ \textless \ t_{(a,\alpha/2)}.\]

Reescrevendo esta desigualdade, obtemos o intervalo de confiança para a diferença das médias $ \mu_1-\mu_2 $ quando as variâncias são desconhecidas, porém iguais, 

\[(\overline{X}-\overline{Y})-t_{(a,\alpha/2)}s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}\leq\mu_1-\mu_2\leq (\overline{X}-\overline{Y}+t_{(a,\alpha/2)}s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}\]

ou seja, 

\[\text{IC}(\mu_1-\mu_2,1-\alpha)=\left((\overline{X}-\overline{Y})-t_{(a,\alpha/2)}s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}};(\overline{X}-\overline{Y})+t_{(a,\alpha/2)}s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}\right)\]

e podemos afirmar que se pudéssemos construir uma grande quantidade de intervalos $ \text{IC}(\mu_1-\mu_2, 1 - \alpha) $, todos baseados em amostras de tamanho $ n_1 $ e $ n_2 $, em torno de $ 100(1-\alpha)\% $ deles conteriam a verdadeira diferença das médias populacionais.

Inferência

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