4.6.3 - 3º Caso: Variâncias desconhecidas e diferentes

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Consideremos duas amostras aleatórias, $X_1,X_2,\ldots,X_{n1}$ de tamanho $n_1$ e $Y_1,Y_2,\ldots,Y_{n2}$ de tamanho $n_2$, com distribuições normais, mas agora com variâncias desconhecidas e diferentes, isto é, $\sigma_1^2\neq\sigma_2^2$. Como as variâncias populacionais são desconhecidas, usaremos as variâncias amostrais $s_1^2$ e $s_2^2$ em seus lugares. Consideremos a variável $T$ tal que \[T=\frac{(\overline{X}-\overline{Y})-(\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}}\sim t_{\nu}\]

ou seja, a variável $T$ dada pela equação acima tem distribuição t de Student com $\nu$ graus de liberdade, onde \[\nu=\frac{\left(\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{\frac{\left(\frac{s_1^2}{n_1}\right)^2}{n_1-1}+\frac{\left(\frac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{n_2-1}}.\]

Fazendo uma construção análoga a do caso anterior, obtemos o intervalo de confiança para a diferença de duas médias com variâncias desconhecidas e desiguais: \[\text{IC}(\mu_1-\mu_2,1-\alpha)=\left((\overline{X}-\overline{Y})-t_{(\nu,\alpha/2)}\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}};(\overline{X}-\overline{Y})+t_{(\nu,\alpha/2)}\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}\right).\]

Exemplo 4.6.3.1:

Os dados a seguir correspondem a teores de um elemento indicador da qualidade de um certo produto. Foram coletadas $2$ amostras referente a $2$ métodos de produção. Construa um intervalo de confiança para a diferença das médias dos dois métodos.

Método 1 0,9 2,5 9,2 3,2 3,7 1,3 1,2 2,4 3,6 8,3
Método 2 5,3 6,3 5,5 3,6 4,1 2,7 2,0 1,5 5,1 3,5

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

A média referente ao método $1$ é $\overline{x}_1 = 3,63$ e do método $2$ é $\overline{x}_2 = 3,96$. Calculando as variâncias amostrais, obtemos \[s_1^2=\sum_{i=1}^{10}\frac{(x_{1i}-\overline{x}_1)^2}{9}=8,29 \quad s_2^2=\sum^{10}_{i=1}\frac{(x_{2i}-\overline{x}_2)^2}{9}=2,53\]

em que $x_{1i}$ são os teores referentes ao método $1$ e $x_{2i}$ ao método $2$, $i = 1, ..., 10$. Os graus de liberdade são dados por \[\nu=\frac{\left(\frac{8,29}{10}+\frac{2,53}{10}\right)^2}{\frac{\left(\frac{8,29}{10}\right)^2}{9}+\frac{\left(\frac{2,35}{10}\right)^2}{9}}=14,028.\]

Assim, da Tabela da distribuição t de Student obtemos que $t_{14,0,025}= 2,145$ e então temos que \[\text{IC}(\mu_1-\mu_2,1-\alpha)=\left((3,63-3,96)(-2,145)\sqrt{\frac{8,29}{10}+\frac{2,53}{10}};(3,63-3,96)(2,145)\sqrt{\frac{8,29}{10}+\frac{2,53}{10}}\right),\]

ou seja, $\text{IC}(\mu_1-\mu_2,1-\alpha)=(-2,56;1,90)$.

Usando o software Action temos os seguintes resultados:

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

Inferência

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