4.6.3 - 3º Caso: Variâncias desconhecidas e diferentes

Consideremos duas amostras aleatórias, $X_1,X_2,\ldots,X_{n1}$ de tamanho $n_1$ e $Y_1,Y_2,\ldots,Y_{n2}$ de tamanho $n_2$ , com distribuições normais, mas agora com variâncias desconhecidas e diferentes, isto é, $\sigma_1^2\neq\sigma_2^2$ . Como as variâncias populacionais são desconhecidas, usaremos as variâncias amostrais $s_1^2$ e $s_2^2$ em seus lugares. Consideremos a variável $T$ tal que

$T=\frac{(\overline{X}-\overline{Y})-(\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}}\sim t_{\nu}$

ou seja, a variável $T$ dada pela equação acima tem distribuição t de Student com $\nu$ graus de liberdade, onde

$\nu=\frac{\left(\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{\frac{\left(\frac{s_1^2}{n_1}\right)^2}{n_1-1}+\frac{\left(\frac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{n_2-1}}.$

Fazendo uma construção análoga a do caso anterior, obtemos o intervalo de confiança para a diferença de duas médias com variâncias desconhecidas e desiguais:

$\text{IC}(\mu_1-\mu_2,1-\alpha)=\left((\overline{X}-\overline{Y})-t_{(\nu,\alpha/2)}\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}};(\overline{X}-\overline{Y})+t_{(\nu,\alpha/2)}\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}\right).$

Exemplo 4.6.3.1:

Os dados a seguir correspondem a teores de um elemento indicador da qualidade de um certo produto. Foram coletadas $2$ amostras referente a $2$ métodos de produção. Construa um intervalo de confiança para a diferença das médias dos dois métodos.

Método 1	0,9	2,5	9,2	3,2	3,7	1,3	1,2	2,4	3,6	8,3
Método 2	5,3	6,3	5,5	3,6	4,1	2,7	2,0	1,5	5,1	3,5

^{clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo}

A média referente ao método $1$ é $\overline{x}_1 = 3,63$ e do método $2$ é $\overline{x}_2 = 3,96$ . Calculando as variâncias amostrais, obtemos

$s_1^2=\sum_{i=1}^{10}\frac{(x_{1i}-\overline{x}_1)^2}{9}=8,29 \quad s_2^2=\sum^{10}_{i=1}\frac{(x_{2i}-\overline{x}_2)^2}{9}=2,53$

em que $x_{1i}$ são os teores referentes ao método $1$ e $x_{2i}$ ao método $2$ , $i = 1, ..., 10$ . Os graus de liberdade são dados por

$\nu=\frac{\left(\frac{8,29}{10}+\frac{2,53}{10}\right)^2}{\frac{\left(\frac{8,29}{10}\right)^2}{9}+\frac{\left(\frac{2,35}{10}\right)^2}{9}}=14,028.$

Assim, da Tabela da distribuição t de Student obtemos que $t_{14,0,025}= 2,145$ e então temos que

$\text{IC}(\mu_1-\mu_2,1-\alpha)=\left((3,63-3,96)(-2,145)\sqrt{\frac{8,29}{10}+\frac{2,53}{10}};(3,63-3,96)(2,145)\sqrt{\frac{8,29}{10}+\frac{2,53}{10}}\right),$

ou seja, $\text{IC}(\mu_1-\mu_2,1-\alpha)=(-2,56;1,90)$ .

Usando o software Action temos os seguintes resultados:

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

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