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Consideremos duas amostras aleatórias, $X_1,X_2,\ldots,X_{n1}$ de tamanho $n_1$ e $Y_1,Y_2,\ldots,Y_{n2}$ de tamanho $n_2$, com distribuições normais, mas agora com variâncias desconhecidas e diferentes, isto é, $\sigma_1^2\neq\sigma_2^2$. Como as variâncias populacionais são desconhecidas, usaremos as variâncias amostrais $s_1^2$ e $s_2^2$ em seus lugares. Consideremos a variável $T$ tal que \[T=\frac{(\overline{X}-\overline{Y})-(\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}}\sim t_{\nu}\]
ou seja, a variável $T$ dada pela equação acima tem distribuição t de Student com $\nu$ graus de liberdade, onde \[\nu=\frac{\left(\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{\frac{\left(\frac{s_1^2}{n_1}\right)^2}{n_1-1}+\frac{\left(\frac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{n_2-1}}.\]
Fazendo uma construção análoga a do caso anterior, obtemos o intervalo de confiança para a diferença de duas médias com variâncias desconhecidas e desiguais: \[\text{IC}(\mu_1-\mu_2,1-\alpha)=\left((\overline{X}-\overline{Y})-t_{(\nu,\alpha/2)}\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}};(\overline{X}-\overline{Y})+t_{(\nu,\alpha/2)}\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}\right).\]
Os dados a seguir correspondem a teores de um elemento indicador da qualidade de um certo produto. Foram coletadas $2$ amostras referente a $2$ métodos de produção. Construa um intervalo de confiança para a diferença das médias dos dois métodos.
Método 1 | 0,9 | 2,5 | 9,2 | 3,2 | 3,7 | 1,3 | 1,2 | 2,4 | 3,6 | 8,3 |
Método 2 | 5,3 | 6,3 | 5,5 | 3,6 | 4,1 | 2,7 | 2,0 | 1,5 | 5,1 | 3,5 |
clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo
A média referente ao método $1$ é $\overline{x}_1 = 3,63$ e do método $2$ é $\overline{x}_2 = 3,96$. Calculando as variâncias amostrais, obtemos \[s_1^2=\sum_{i=1}^{10}\frac{(x_{1i}-\overline{x}_1)^2}{9}=8,29 \quad s_2^2=\sum^{10}_{i=1}\frac{(x_{2i}-\overline{x}_2)^2}{9}=2,53\]
em que $x_{1i}$ são os teores referentes ao método $1$ e $x_{2i}$ ao método $2$, $i = 1, ..., 10$. Os graus de liberdade são dados por \[\nu=\frac{\left(\frac{8,29}{10}+\frac{2,53}{10}\right)^2}{\frac{\left(\frac{8,29}{10}\right)^2}{9}+\frac{\left(\frac{2,35}{10}\right)^2}{9}}=14,028.\]
Assim, da Tabela da distribuição t de Student obtemos que $t_{14,0,025}= 2,145$ e então temos que \[\text{IC}(\mu_1-\mu_2,1-\alpha)=\left((3,63-3,96)(-2,145)\sqrt{\frac{8,29}{10}+\frac{2,53}{10}};(3,63-3,96)(2,145)\sqrt{\frac{8,29}{10}+\frac{2,53}{10}}\right),\]
ou seja, $\text{IC}(\mu_1-\mu_2,1-\alpha)=(-2,56;1,90)$.
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