5.1.1 - Erros cometidos nos testes de hipóteses

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São dois os tipos de erros que podemos cometer na realização de um teste de hipóteses:

  1. Rejeitar a hipótese $ H_0 $, quando ela é verdadeira.
  2. Não rejeitar a hipótese $ H_0 $, quando ela é falsa.

A Tabela a seguir resume as situações acima.

  Aceitar H0 Rejeitar H0
H0 verdadeira Decisão correta Erro do tipo I
H0 falsa Erro do tipo II Decisão correta

Se a hipótese $ H_0 $ for verdadeira e não rejeitada ou falsa e rejeitada, a decisão estará correta. No entanto, se a hipótese $ H_0 $ for rejeitada sendo verdadeira, ou se não for rejeitada sendo falsa, a decisão estará errada. O primeiro destes erros é chamado de Erro do Tipo I e a probabilidade de cometê-lo é denotada pela letra grega $ \alpha $ (alfa); o segundo é chamado de Erro do Tipo II e a probabilidade de cometê-lo é denotada pela letra grega $ \beta $ (beta). Assim temos, 

\[\alpha=\mathbb{P}(\hbox{Erro do tipo I})=P(\hbox{rejeitar} \ H_0 \ \hbox{dado} \ H_0 \ \hbox{verdadeira});\]


\[\beta=\mathbb{P}(\hbox{Erro do tipo II})=P(\hbox{aceitar} \ H_0 \ \hbox{dado} \ H_0 \ \hbox{falsa}).\]

Considere um teste unilateral dado pelas hipóteses: 

 \mu \ \textless \ \mu_0\end{array}\right.\]

Neste caso, a região de rejeição é determinada por $ \{\overline{X} \ \textless \ X_C\} $, e a interpretação dos erros pode ser vista como: 

\[\alpha=\mathbb{P}(\overline{X} \ \textless \ X_C|\mu=\mu_0);\]


\[\beta=\mathbb{P}(\overline{X} \ \textgreater \ X_C|\mu \ \textless \ \mu_0).\]

A situação ideal é aquela em que ambas as probabilidades, $ \alpha $ e $ \beta $, são próximas de zero. No entanto, é fácil ver que a medida que diminuímos $ \alpha $, $ \beta $ aumenta. A Figura a seguir apresenta esta relação.

Para um teste de hipóteses do tipo acima, onde estamos interessados em testar a média de uma população, utilizamos a expressão 

\[Z=\frac{\overline{X}-\mu_0}{\cfrac{\sigma}{\sqrt{n}}},\]

que é a estatística do teste de hipóteses. A partir do Teorema Central do Limite, sabemos que, desde que tenhamos um tamanho amostral suficientemente grande, esta estatística tem distribuição normal padrão, isto é, 

\[Z\sim N(0,1).\]

A partir dos valores de $ Z $ e da especificação do erro cometido, podemos definir a região crítica do teste.

Vamos considerar que o erro mais importante a ser evitado seja o Erro do Tipo I. A probabilidade de ocorrer o erro do tipo I $ (\alpha) $ é denominada nível de significância do teste. O complementar do nível de significância $ (1 - \alpha) $ é denominado nível de confiança. Supondo que o nível de significância $ \alpha $ seja conhecido, temos condições de determinar o(s) valor(es) crítico(s). Se considerarmos o teste bilateral 

 \mu\neq\mu_0\end{array}\right.,\]

a figura a seguir representa a região de rejeição para um valor fixo de $ \alpha $.

Se considerarmos o teste unilateral à direita 

 \mu \ \textgreater \ \mu_0\end{array}\right.,\]

a região crítica é representada segundo a figura abaixo.

E, se considerarmos o teste unilateral à esquerda 

 \mu \ \textless \ \mu_0\end{array}\right.,\]

a região crítica é representada segundo a figura abaixo.

Os valores $ -Z_{\alpha} $ e $ Z_{\alpha} $ nas duas últimas figuras são tais que as áreas à esquerda e à direita, respectivamente, sob a curva Normal padrão, valem $ \alpha $. Agora, os valores $ -Z_{\alpha/2} $ e $ Z_{\alpha/2} $, na primeira figura, são tais que as áreas à esquerda e à direita, respectivamente, sob a curva Normal padrão, valem $ \frac{\alpha}{2} $.

Como foi dito inicialmente, o objetivo do teste de hipótese é determinar, através de uma estatística, se a hipótese nula é aceitável ou não. Essa decisão é tomada considerando a região de rejeição ou região crítica (RC). Caso o valor observado da estatística pertença à região de rejeição, rejeitamos $ H_0 $; caso contrário, não rejeitamos $ H_0 $. Analogamente, definimos a região de aceitação (complementar da região de rejeição): caso o valor observado pertença à região de aceitação, não rejeitamos $ H_0 $; se não pertencer, rejeitamos.

Se o nível de significância é $ 0,05 $, os valores críticos são $ -1,645 $ ou $ 1,645 $ para as alternativas unilaterais e $ -1,96 $ e $ 1,96 $ para a alternativa bilateral; se o nível de significância é $ 0,01 $, os valores críticos são $ -2,33 $ ou $ 2,33 $ para as alternativas unilaterais e $ -2,575 $ e $ 2,575 $ para a alternativa bilateral (valores obtidos na Tabela da distribuição normal). A tabela a seguir apresenta alguns critérios para o teste de hipótese.

Hipótese Alternativa Rejeita H0 se Aceita H0 se
$ \mu \ \textless \ \mu_0 $ $ Z \ \textless \ -Z_{\alpha} $ $ Z\geq -Z_{\alpha} $
$ \mu \ \textgreater \ \mu_0 $ $ Z \ \textgreater \ Z_{\alpha} $  $ Z\leq Z_{\alpha} $
$ \mu\neq\mu_0 $ $ Z \ \textless \ -Z_{\alpha/2} $ ou $ Z \ \textgreater \ Z_{\alpha/2} $  $ -Z_{\alpha/2}\leq Z\leq Z_{\alpha/2} $

Exemplo 5.1.1.1:

Um supervisor da qualidade quer testar, com base numa amostra aleatória de tamanho $ n = 35 $ e para um nível de significância $ \alpha = 0,05 $, se a profundidade média de um furo numa determinada peça é $ 72,4 $mm. O que podemos dizer se ele obteve $ \overline{x} = 73,2 $mm e se sabe, de informações anteriores, que $ \sigma = 2,1 $mm?

1. Primeiro vamos estabelecer as hipóteses: 

\mu\neq 72,4\end{array}\right.\]

2. Como $ \alpha= 0,05 $, temos que $ Z_{\alpha/2}=Z_{0,025}=1,96 $.

3. Critério: rejeitar $ H_0 $ se $ Z_{\text{obs}}\ \textless \ -1,96 $ ou  se $ Z_{\text{obs}} \ \textgreater \ 1,96 $ em que 

\[Z_{\text{obs}}=\frac{\overline{x}-\mu_0}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\]

4. Substituindo $ \mu_0 = 72,4 $, $ \sigma = 2,1 $, $ n = 35 $, $ \overline{x} = 73,2 $ na equação acima, obtemos 

\[Z_{\text{obs}}=\frac{73,2-72,4}{\frac{2,1}{\sqrt{35}}}=2,25\]

5. Conclusão: Como $ Z_{\text{obs}}= 2,25 \ \textgreater \ 1,96 $, a hipótese nula deve ser rejeitada. Em outras palavras, não podemos assumir que a média populacional $ \mu $ seja igual a $ 72,4 $, isto é, a diferença entre $ 73,2 $ e $ 72,4 $ é significativa. Veja a figura abaixo

Inferência

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