5.1.1 - Erros cometidos nos testes de hipóteses

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São dois os tipos de erros que podemos cometer na realização de um teste de hipóteses:

  1. Rejeitar a hipótese $H_0$, quando ela é verdadeira.
  2. Não rejeitar a hipótese $H_0$, quando ela é falsa.

A Tabela a seguir resume as situações acima.

  Aceitar H0 Rejeitar H0
H0 verdadeira Decisão correta Erro do tipo I
H0 falsa Erro do tipo II Decisão correta

Se a hipótese $H_0$ for verdadeira e não rejeitada ou falsa e rejeitada, a decisão estará correta. No entanto, se a hipótese $H_0$ for rejeitada sendo verdadeira, ou se não for rejeitada sendo falsa, a decisão estará errada. O primeiro destes erros é chamado de Erro do Tipo I e a probabilidade de cometê-lo é denotada pela letra grega $\alpha$ (alfa); o segundo é chamado de Erro do Tipo II e a probabilidade de cometê-lo é denotada pela letra grega $\beta$ (beta). Assim temos, \[\alpha=\mathbb{P}(\hbox{Erro do tipo I})=P(\hbox{rejeitar} \ H_0 \ \hbox{dado} \ H_0 \ \hbox{verdadeira});\]

\[\beta=\mathbb{P}(\hbox{Erro do tipo II})=P(\hbox{aceitar} \ H_0 \ \hbox{dado} \ H_0 \ \hbox{falsa}).\]

Considere um teste unilateral dado pelas hipóteses: \[\left\{\begin{array}{l}H_0: \mu=\mu_0\\H_1: \mu \ \textless \ \mu_0\end{array}\right.\]

Neste caso, a região de rejeição é determinada por $\{\overline{X} \ \textless \ X_C\}$, e a interpretação dos erros pode ser vista como: \[\alpha=\mathbb{P}(\overline{X} \ \textless \ X_C|\mu=\mu_0);\]

\[\beta=\mathbb{P}(\overline{X} \ \textgreater \ X_C|\mu \ \textless \ \mu_0).\]

A situação ideal é aquela em que ambas as probabilidades, $\alpha$ e $\beta$, são próximas de zero. No entanto, é fácil ver que a medida que diminuímos $\alpha$, $\beta$ aumenta. A Figura a seguir apresenta esta relação.

Para um teste de hipóteses do tipo acima, onde estamos interessados em testar a média de uma população, utilizamos a expressão \[Z=\frac{\overline{X}-\mu_0}{\cfrac{\sigma}{\sqrt{n}}},\]

que é a estatística do teste de hipóteses. A partir do Teorema Central do Limite, sabemos que, desde que tenhamos um tamanho amostral suficientemente grande, esta estatística tem distribuição normal padrão, isto é, \[Z\sim N(0,1).\]

A partir dos valores de $Z$ e da especificação do erro cometido, podemos definir a região crítica do teste.

Vamos considerar que o erro mais importante a ser evitado seja o Erro do Tipo I. A probabilidade de ocorrer o erro do tipo I $(\alpha)$ é denominada nível de significância do teste. O complementar do nível de significância $(1 - \alpha)$ é denominado nível de confiança. Supondo que o nível de significância $\alpha$ seja conhecido, temos condições de determinar o(s) valor(es) crítico(s). Se considerarmos o teste bilateral \[\left\{\begin{array}{l}H_0:\mu=\mu_0\\H_1: \mu\neq\mu_0\end{array}\right.,\]

a figura a seguir representa a região de rejeição para um valor fixo de $\alpha$.

Se considerarmos o teste unilateral à direita \[\left\{\begin{array}{l}H_0:\mu=\mu_0\\H_1: \mu \ \textgreater \ \mu_0\end{array}\right.,\]

a região crítica é representada segundo a figura abaixo.

E, se considerarmos o teste unilateral à esquerda \[\left\{\begin{array}{l}H_0:\mu=\mu_0\\H_1: \mu \ \textless \ \mu_0\end{array}\right.,\]

a região crítica é representada segundo a figura abaixo.

Os valores $-Z_{\alpha}$ e $Z_{\alpha}$ nas duas últimas figuras são tais que as áreas à esquerda e à direita, respectivamente, sob a curva Normal padrão, valem $\alpha$. Agora, os valores $-Z_{\alpha/2}$ e $Z_{\alpha/2}$, na primeira figura, são tais que as áreas à esquerda e à direita, respectivamente, sob a curva Normal padrão, valem $\frac{\alpha}{2}$.

Como foi dito inicialmente, o objetivo do teste de hipótese é determinar, através de uma estatística, se a hipótese nula é aceitável ou não. Essa decisão é tomada considerando a região de rejeição ou região crítica (RC). Caso o valor observado da estatística pertença à região de rejeição, rejeitamos $H_0$; caso contrário, não rejeitamos $H_0$. Analogamente, definimos a região de aceitação (complementar da região de rejeição): caso o valor observado pertença à região de aceitação, não rejeitamos $H_0$; se não pertencer, rejeitamos.

Se o nível de significância é $0,05$, os valores críticos são $-1,645$ ou $1,645$ para as alternativas unilaterais e $-1,96$ e $1,96$ para a alternativa bilateral; se o nível de significância é $0,01$, os valores críticos são $-2,33$ ou $2,33$ para as alternativas unilaterais e $-2,575$ e $2,575$ para a alternativa bilateral (valores obtidos na Tabela da distribuição normal). A tabela a seguir apresenta alguns critérios para o teste de hipótese.

Hipótese Alternativa Rejeita H0 se Aceita H0 se
$\mu \ \textless \ \mu_0$ $Z \ \textless \ -Z_{\alpha}$ $Z\geq -Z_{\alpha}$
$\mu \ \textgreater \ \mu_0$ $Z \ \textgreater \ Z_{\alpha}$  $Z\leq Z_{\alpha}$
$\mu\neq\mu_0$ $Z \ \textless \ -Z_{\alpha/2}$ ou $Z \ \textgreater \ Z_{\alpha/2}$  $-Z_{\alpha/2}\leq Z\leq Z_{\alpha/2}$

Exemplo 5.1.1.1:

Um supervisor da qualidade quer testar, com base numa amostra aleatória de tamanho $n = 35$ e para um nível de significância $\alpha = 0,05$, se a profundidade média de um furo numa determinada peça é $72,4$mm. O que podemos dizer se ele obteve $\overline{x} = 73,2$mm e se sabe, de informações anteriores, que $\sigma = 2,1$mm?

1. Primeiro vamos estabelecer as hipóteses: \[\left\{\begin{array}{l}H_0: \mu=72,4\\H_1:\mu\neq 72,4\end{array}\right.\]

2. Como $\alpha= 0,05$, temos que $Z_{\alpha/2}=Z_{0,025}=1,96$.

3. Critério: rejeitar $H_0$ se $Z_{\text{obs}}\ \textless \ -1,96$ ou  se $Z_{\text{obs}} \ \textgreater \ 1,96$ em que \[Z_{\text{obs}}=\frac{\overline{x}-\mu_0}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\]

4. Substituindo $\mu_0 = 72,4$, $\sigma = 2,1$, $n = 35$, $\overline{x} = 73,2$ na equação acima, obtemos \[Z_{\text{obs}}=\frac{73,2-72,4}{\frac{2,1}{\sqrt{35}}}=2,25\]

5. Conclusão: Como $Z_{\text{obs}}= 2,25 \ \textgreater \ 1,96$, a hipótese nula deve ser rejeitada. Em outras palavras, não podemos assumir que a média populacional $\mu$ seja igual a $72,4$, isto é, a diferença entre $73,2$ e $72,4$ é significativa. Veja a figura abaixo

Inferência

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