5.1.3 - Poder do teste

Seja $T$ um teste estatístico com região crítica $C$ para avaliarmos hipóteses a respeito do parâmetro $\theta$. A função poder do teste é a probabilidade de rejeitarmos $H_0$ dado o valor de $\theta$. Neste caso, temos que \[\pi(\theta)=\mathbb{P}[\hbox{rejeitar} \ H_0|\theta]=\mathbb{P}[T\in C|\theta],\]

para todo valor de $\theta$.

Suponha que queremos testar a hipótese $H_0:\mu=\mu_0$ contra a hipótese alternativa $H_1:\mu\neq\mu_0$. De forma ideal, nós gostaríamos de rejeitar a hipótese $H_0$ para todo valor de $\mu$ em $H_1$ com probabilidade 1, e da mesma forma, nós gostaríamos de não rejeitar (aceitar) a hipótese $H_0$ para todo valor de $\mu$ em $H_0$ com probabilidade 1 (figura a seguir).

O Poder do Teste tem como objetivo conhecer o quanto o teste de hipóteses controla um erro do tipo II, ou qual a probabilidade de rejeitar a hipótese nula se realmente for falsa. Na prática, é importante que se tenham testes com nível de significância próximos do nível de significância nominal e que o poder seja alto, mesmo em situações de amostras pequenas.

O poder de um teste de hipóteses é afetado por três fatores:

• Tamanho da amostra: Mantendo todos os outros parâmetros iguais, quanto maior o tamanho da amostra, maior o poder do teste.
• Nível de Significância: Quanto maior o nível de significância, maior o poder do teste. Se você aumenta o nível de significância, você reduz a região de aceitação. Como resultado, você tem maior chance de rejeitar a hipótese nula. Isto significa que você tem menos chance de aceitar a hipótese nula quando ela é falsa, isto é, menor chance de cometer um erro do tipo II. Então, o poder do teste aumenta.
• O verdadeiro valor do parâmetro a ser testado: Quanto maior a diferença entre o "verdadeiro" valor do parâmetro e o valor especificado pela hipótese nula, maior o poder do teste.

Novamente, consideremos a estatística  \[Z=\cfrac{\overline{X}-\mu_0}{\cfrac{\sigma}{\sqrt{n}}}\]

e o teste de hipóteses \[\left\{\begin{array}{l}H_0: \mu=\mu_0\\H_1:\mu\neq \mu_0\end{array}\right.\]

O Erro do tipo II é o erro cometido ao aceitar a hipótese nula H₀ quando esta é falsa (H₁ é verdadeira). \[\mathbb{P}(\text{Erro do tipo II}) = \mathbb{P}(\text{aceitar} \ H_0| H_1 \text{é verdadeira}) = \beta\]

Para que isto seja possível, suponha que a hipótese nula é falsa e que o verdadeiro valor da média é $\mu = \mu_0+\delta$. Então, a estatística do teste é \[Z_0=\frac{\overline{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}=\frac{\overline{X}-(\mu_0+\delta)}{\sigma/\sqrt{n}}+\frac{\delta}{\sigma/\sqrt{n}}.\]

Portanto, a distribuição de $Z_0$ quando $\mu=\mu_0+\delta$ é \[Z_0\sim N\left(\frac{\delta}{\sigma/\sqrt{n}},1\right).\]

E, com isso, para um teste bilateral, temos que a probabilidade de erro do tipo II é a probabilidade de que $Z_0$ esteja entre $-z_{\alpha/2}$ e $z_{\alpha/2}$ dado que $H_1$ é verdadeira. Esta probabilidade é calculada da seguinte maneira \[\beta=\Phi\left(z_{\alpha/2}-\frac{\delta\sqrt{n}}{\sigma}\right)-\Phi\left(-z_{\alpha/2}-\frac{\delta\sqrt{n}}{\sigma}\right)\]

onde $\Phi$ é a função distribuição acumulada da distribuição normal padrão.

Para os testes unilaterais à direita e à esquerda, temos que as probabilidades de erro do tipo II são dadas, respectivamente por \[\Phi\left(z_{\alpha}-\frac{\delta\sqrt{n}}{\sigma}\left) \quad \hbox{e} \quad 1-\Phi\left(-z_{\alpha}-\frac{\delta\sqrt{n}}{\sigma}\right).\]

O Poder do Teste é calculado como sendo 1 menos a probabilidade do erro do tipo II, ou seja, $1-\beta$. Neste caso, as fórmulas utilizadas para o cálculo do poder são \[\text{Poder} \ =1-\Phi\left(z_{\alpha/2}-\frac{\delta}{\sigma}\sqrt{n}\right)+\Phi\left(-z_{\alpha/2}-\frac{\delta}{\sigma}\sqrt{n}\right)\]

se o teste é bilateral. Se o teste é unilateral à esquerda, a fórmula utilizada é \[\text{Poder} \ =\Phi\left(-z_{\alpha}-\frac{\delta}{\sigma}\sqrt{n}\right)\]

e se é unilateral à direita, então \[\text{Poder} \ =1-\Phi\left(z_{\alpha}-\frac{\delta}{\sigma}\sqrt{n}\right)\]

onde $\Phi$ é a função distribuição acumulada de uma variável aleatória com distribuição normal padrão.

Considere novamente o Exemplo 5.1.1.1. Suponha que queiramos calcular o poder do teste de hipóteses em detectar uma diferença $\detla = 1$ entre as hipóteses nula e alternativa. Como $n = 35$, $\alpha = 0,05$ e $\sigma = 2,1$, temos que a probabilidade de erro do tipo II é dada por \[\beta=\Phi\left(z_{\alpha/2}-\frac{\delta\sqrt{n}}{\sigma}\right)-\Phi\left(-z_{\alpha/2}-\frac{\delta\sqrt{n}}{\sigma}\right)=\Phi(-0,8572)-\Phi(-4,7772)=0,1957.\]

Deste modo, temos que o poder do teste de hipóteses em detectar uma diferença $\delta = 1$ entre as hipóteses nula e alternativa é dado por \[\text{Poder} \ =1-\beta=1-0,1957=0,8043,\]

ou seja, o poder é de, aproximadamente, 80,43%.