5.1.3 - Poder do teste

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Seja $ T $ um teste estatístico com região crítica $ C $ para avaliarmos hipóteses a respeito do parâmetro $ \theta $. A função poder do teste é a probabilidade de rejeitarmos $ H_0 $ dado o valor de $ \theta $. Neste caso, temos que 

\[\pi(\theta)=\mathbb{P}[\hbox{rejeitar} \ H_0|\theta]=\mathbb{P}[T\in C|\theta],\]

para todo valor de $ \theta $.

Suponha que queremos testar a hipótese \mu=\mu_0 $ contra a hipótese alternativa \mu\neq\mu_0 $. De forma ideal, nós gostaríamos de rejeitar a hipótese $ H_0 $ para todo valor de $ \mu $ em $ H_1 $ com probabilidade 1, e da mesma forma, nós gostaríamos de não rejeitar (aceitar) a hipótese $ H_0 $ para todo valor de $ \mu $ em $ H_0 $ com probabilidade 1 (figura a seguir).

O Poder do Teste tem como objetivo conhecer o quanto o teste de hipóteses controla um erro do tipo II, ou qual a probabilidade de rejeitar a hipótese nula se realmente for falsa. Na prática, é importante que se tenham testes com nível de significância próximos do nível de significância nominal e que o poder seja alto, mesmo em situações de amostras pequenas.

O poder de um teste de hipóteses é afetado por três fatores:

  • Tamanho da amostra: Mantendo todos os outros parâmetros iguais, quanto maior o tamanho da amostra, maior o poder do teste.
  • Nível de Significância: Quanto maior o nível de significância, maior o poder do teste. Se você aumenta o nível de significância, você reduz a região de aceitação. Como resultado, você tem maior chance de rejeitar a hipótese nula. Isto significa que você tem menos chance de aceitar a hipótese nula quando ela é falsa, isto é, menor chance de cometer um erro do tipo II. Então, o poder do teste aumenta.
  • O verdadeiro valor do parâmetro a ser testado: Quanto maior a diferença entre o "verdadeiro" valor do parâmetro e o valor especificado pela hipótese nula, maior o poder do teste.

Novamente, consideremos a estatística  

\[Z=\cfrac{\overline{X}-\mu_0}{\cfrac{\sigma}{\sqrt{n}}}\]

e o teste de hipóteses 

\mu\neq \mu_0\end{array}\right.\]

O Erro do tipo II é o erro cometido ao aceitar a hipótese nula H0 quando esta é falsa (H1 é verdadeira). 

\[\mathbb{P}(\text{Erro do tipo II}) = \mathbb{P}(\text{aceitar} \ H_0| H_1 \text{é verdadeira}) = \beta\]

Para que isto seja possível, suponha que a hipótese nula é falsa e que o verdadeiro valor da média é $ \mu = \mu_0+\delta $. Então, a estatística do teste é 

\[Z_0=\frac{\overline{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}=\frac{\overline{X}-(\mu_0+\delta)}{\sigma/\sqrt{n}}+\frac{\delta}{\sigma/\sqrt{n}}.\]

Portanto, a distribuição de $ Z_0 $ quando $ \mu=\mu_0+\delta $ é 

\[Z_0\sim N\left(\frac{\delta}{\sigma/\sqrt{n}},1\right).\]

E, com isso, para um teste bilateral, temos que a probabilidade de erro do tipo II é a probabilidade de que $ Z_0 $ esteja entre $ -z_{\alpha/2} $ e $ z_{\alpha/2} $ dado que $ H_1 $ é verdadeira. Esta probabilidade é calculada da seguinte maneira 

\[\beta=\Phi\left(z_{\alpha/2}-\frac{\delta\sqrt{n}}{\sigma}\right)-\Phi\left(-z_{\alpha/2}-\frac{\delta\sqrt{n}}{\sigma}\right)\]

onde $ \Phi $ é a função distribuição acumulada da distribuição normal padrão.

Para os testes unilaterais à direita e à esquerda, temos que as probabilidades de erro do tipo II são dadas, respectivamente por 

\[\Phi\left(z_{\alpha}-\frac{\delta\sqrt{n}}{\sigma}\left) \quad \hbox{e} \quad 1-\Phi\left(-z_{\alpha}-\frac{\delta\sqrt{n}}{\sigma}\right).\]

O Poder do Teste é calculado como sendo 1 menos a probabilidade do erro do tipo II, ou seja, $ 1-\beta $. Neste caso, as fórmulas utilizadas para o cálculo do poder são 

\[\text{Poder} \ =1-\Phi\left(z_{\alpha/2}-\frac{\delta}{\sigma}\sqrt{n}\right)+\Phi\left(-z_{\alpha/2}-\frac{\delta}{\sigma}\sqrt{n}\right)\]

se o teste é bilateral. Se o teste é unilateral à esquerda, a fórmula utilizada é 

\[\text{Poder} \ =\Phi\left(-z_{\alpha}-\frac{\delta}{\sigma}\sqrt{n}\right)\]

e se é unilateral à direita, então 

\[\text{Poder} \ =1-\Phi\left(z_{\alpha}-\frac{\delta}{\sigma}\sqrt{n}\right)\]

onde $ \Phi $ é a função distribuição acumulada de uma variável aleatória com distribuição normal padrão.

Considere novamente o Exemplo 5.1.1.1. Suponha que queiramos calcular o poder do teste de hipóteses em detectar uma diferença $ \detla = 1 $ entre as hipóteses nula e alternativa. Como $ n = 35 $, $ \alpha = 0,05 $ e $ \sigma = 2,1 $, temos que a probabilidade de erro do tipo II é dada por 

\[\beta=\Phi\left(z_{\alpha/2}-\frac{\delta\sqrt{n}}{\sigma}\right)-\Phi\left(-z_{\alpha/2}-\frac{\delta\sqrt{n}}{\sigma}\right)=\Phi(-0,8572)-\Phi(-4,7772)=0,1957.\]

Deste modo, temos que o poder do teste de hipóteses em detectar uma diferença $ \delta = 1 $ entre as hipóteses nula e alternativa é dado por 

\[\text{Poder} \ =1-\beta=1-0,1957=0,8043,\]

ou seja, o poder é de, aproximadamente, 80,43%.

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