5.1.4 - Teste da razão de verossimilhanças

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Seja $X_1, \ldots, X_n$ uma amostra aleatória independente e igualmente distribuída de uma população com função de probabilidade ou função densidade de probabilidade $f(x|\theta)$ em que $\theta$ é o parâmetro ou vetor paramétrico de interesse. Neste caso, a função de verossimilhança é dada por \[L(\theta|\textbf{x}) = f(\textbf{x}|\theta) = \prod_{i=1}^nf(x_i|\theta).\]

Definição 3.1.4.1:

A estatística do teste da razão de verossimilhanças para testar $H_0: \theta\in\Theta_0$ contra $H_1:\theta\in\Theta_1$ é dada por \[\lambda(\textbf{x}) = \frac{\sup_{\theta\in\Theta_0}L(\theta|\textbf{x})}{\sup_{\theta\in\Theta}L(\theta|\textbf{x})}\]

em que $\Theta$ é o espaço paramétrico irrestrito e $\Theta_0$ é o espaço paramétrico restrito à hipótese nula. O teste da razão de verossimilhanças tem uma região crítica da forma $\{\textbf{x};\lambda(\textbf{x})\leq c\}$ com $0\leq c\leq 1$. Denotando $\hat{\theta}$ como o estimador de máxima verossimilhança de $\theta$ sobre o espaço $\Theta$ e $\hat{\theta}_0$ o estimador de máxima verossimilhança de $\theta$ sobre o espaço $\Theta_0$, a estatística do teste da razão de verossimilhanças pode ser escrito como \[\lambda(\textbf{x}) = \frac{L(\hat{\theta}_0|\textbf{x})}{L(\hat{\theta}|\textbf{x})}.\]

Exemplo 3.1.4.1:

Seja $X_1,\ldots,X_n$ uma amostra aleatória independente e igualmente distribuída da população com distribuição normal $N(\theta,1)$. Considere as hipóteses $H_0:\theta = \theta_0$ versus $H_1:\theta\neq\theta_0$. Como há apenas um valor de $\theta$ especificado por $H_0$, a hipótese é simples e o numerador de $\lambda(\textbf{x})$ é $L(\theta_0|\textbf{x})$. Agora, sabemos que $\hat{\theta} = \bar{X}$ é o estimador de máxima verossimilhança de $\theta$ sobre o espaço paramétrico irrestrito $\Theta$. Logo, o denominador de $\lambda(\textbf{x})$ é $L(\bar{x}|\textbf{x})$ e a estatística do teste da razão de verossimilhanças é \[\lambda(\textbf{x}) = \frac{L(\theta_0|\textbf{x})}{L(\bar{x}|\textbf{x})}=\frac{\exp\left[-\sum_{i=1}^n(x_i-\theta_0)^2/2\right]}{\exp\left[-\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2/2\right]}=\exp\left\{\left(-\sum_{i=1}^n(x_i-\theta_0)^2+\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2\right)/2\right\}\]

e como $\sum_{i=1}^n(x_i-\theta_0)^2 = \sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2+n(\bar{x}-\theta_0)^2$, a estatística do teste da razão de verossimilhanças é dada por \[\lambda(\textbf{x}) = \exp\left\{\frac{-n(\bar{x}-\theta_0)^2}{2}\right\}.\]

Como a região crítica é dada por $RC = \{\textbf{x}: \lambda(\textbf{x})\leq c\}$, segue que \[\lambda(\textbf{x})\leq c \Leftrightarrow\exp\left\{\frac{-n(\bar{x}-\theta_0)^2}{2}\right\}\leq c \Leftrightarrow |\bar{x}-\theta_0|\geq\sqrt{-2\log(c)/n}.\]

Portanto, a região crítica é dada por $RC = \{\textbf{x};|\bar{x}-\theta_0|\geq\sqrt{-2\log(c)/n}\}$ e, como $0\leq c\leq 1$, temos que $0\leq \sqrt{-2\log(c)/n} \ \textless \ \infty$. Fixando o nível de significância $\alpha$, podemos determinar o valor de $c$. Suponho que $\alpha = 0,05$, temos que \[\mathbb{P}\left(\textbf{x}\in RC|H_0 \ \hbox{é verdadeira}\right) = \alpha \Rightarrow\mathbb{P} \left(|\bar{X}-\theta_0|\geq\sqrt{-2\log(c)/n}\right) = 0,05\]

de onde segue que \[\Rightarrow\mathbb{P}\left(\left| \frac{\bar{X}-\theta_0}{1/\sqrt{n}}\right|\geq \frac{\sqrt {-2\log(c)/n}}{1/\sqrt{n}}\right) = 0,05\Rightarrow\mathbb{P}\left(\sqrt{n}|\bar{X}-\theta_0|\geq\1,96\right) = 0,05\]

onde consideramos que $z_{\alpha/2}=1,96$ e, portanto, a região crítica do teste é \[RC = \{\textbf{x};\sqrt{n}|\bar{x}-\theta_0|\geq 1,96\}.\]

Inferência

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