5.1.4 - Teste da razão de verossimilhanças

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Seja $ X_1, \ldots, X_n $ uma amostra aleatória independente e igualmente distribuída de uma população com função de probabilidade ou função densidade de probabilidade $ f(x|\theta) $ em que $ \theta $ é o parâmetro ou vetor paramétrico de interesse. Neste caso, a função de verossimilhança é dada por 

\[L(\theta|\textbf{x}) = f(\textbf{x}|\theta) = \prod_{i=1}^nf(x_i|\theta).\]

Definição 3.1.4.1:

A estatística do teste da razão de verossimilhanças para testar  \theta\in\Theta_0 $ contra \theta\in\Theta_1 $ é dada por 

\[\lambda(\textbf{x}) = \frac{\sup_{\theta\in\Theta_0}L(\theta|\textbf{x})}{\sup_{\theta\in\Theta}L(\theta|\textbf{x})}\]

em que $ \Theta $ é o espaço paramétrico irrestrito e $ \Theta_0 $ é o espaço paramétrico restrito à hipótese nula. O teste da razão de verossimilhanças tem uma região crítica da forma $ \{\textbf{x};\lambda(\textbf{x})\leq c\} $ com $ 0\leq c\leq 1 $. Denotando $ \hat{\theta} $ como o estimador de máxima verossimilhança de $ \theta $ sobre o espaço $ \Theta $ e $ \hat{\theta}_0 $ o estimador de máxima verossimilhança de $ \theta $ sobre o espaço $ \Theta_0 $, a estatística do teste da razão de verossimilhanças pode ser escrito como 

\[\lambda(\textbf{x}) = \frac{L(\hat{\theta}_0|\textbf{x})}{L(\hat{\theta}|\textbf{x})}.\]

Exemplo 3.1.4.1:

Seja $ X_1,\ldots,X_n $ uma amostra aleatória independente e igualmente distribuída da população com distribuição normal $ N(\theta,1) $. Considere as hipóteses \theta = \theta_0 $ versus \theta\neq\theta_0 $. Como há apenas um valor de $ \theta $ especificado por $ H_0 $, a hipótese é simples e o numerador de $ \lambda(\textbf{x}) $ é $ L(\theta_0|\textbf{x}) $. Agora, sabemos que $ \hat{\theta} = \bar{X} $ é o estimador de máxima verossimilhança de $ \theta $ sobre o espaço paramétrico irrestrito $ \Theta $. Logo, o denominador de $ \lambda(\textbf{x}) $ é $ L(\bar{x}|\textbf{x}) $ e a estatística do teste da razão de verossimilhanças é 

\[\lambda(\textbf{x}) = \frac{L(\theta_0|\textbf{x})}{L(\bar{x}|\textbf{x})}=\frac{\exp\left[-\sum_{i=1}^n(x_i-\theta_0)^2/2\right]}{\exp\left[-\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2/2\right]}=\exp\left\{\left(-\sum_{i=1}^n(x_i-\theta_0)^2+\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2\right)/2\right\}\]

e como $ \sum_{i=1}^n(x_i-\theta_0)^2 = \sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2+n(\bar{x}-\theta_0)^2 $, a estatística do teste da razão de verossimilhanças é dada por 

\[\lambda(\textbf{x}) = \exp\left\{\frac{-n(\bar{x}-\theta_0)^2}{2}\right\}.\]

Como a região crítica é dada por  \lambda(\textbf{x})\leq c\} $, segue que 

\[\lambda(\textbf{x})\leq c \Leftrightarrow\exp\left\{\frac{-n(\bar{x}-\theta_0)^2}{2}\right\}\leq c \Leftrightarrow |\bar{x}-\theta_0|\geq\sqrt{-2\log(c)/n}.\]

Portanto, a região crítica é dada por $ RC = \{\textbf{x};|\bar{x}-\theta_0|\geq\sqrt{-2\log(c)/n}\} $ e, como $ 0\leq c\leq 1 $, temos que $ 0\leq \sqrt{-2\log(c)/n} \ \textless \ \infty $. Fixando o nível de significância $ \alpha $, podemos determinar o valor de $ c $. Suponho que $ \alpha = 0,05 $, temos que 

\[\mathbb{P}\left(\textbf{x}\in RC|H_0 \ \hbox{é verdadeira}\right) = \alpha \Rightarrow\mathbb{P} \left(|\bar{X}-\theta_0|\geq\sqrt{-2\log(c)/n}\right) = 0,05\]

de onde segue que 

\[\Rightarrow\mathbb{P}\left(\left| \frac{\bar{X}-\theta_0}{1/\sqrt{n}}\right|\geq \frac{\sqrt {-2\log(c)/n}}{1/\sqrt{n}}\right) = 0,05\Rightarrow\mathbb{P}\left(\sqrt{n}|\bar{X}-\theta_0|\geq\1,96\right) = 0,05\]

onde consideramos que $ z_{\alpha/2}=1,96 $ e, portanto, a região crítica do teste é 

\[RC = \{\textbf{x};\sqrt{n}|\bar{x}-\theta_0|\geq 1,96\}.\]

Inferência

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