5.1.5 - Testes uniformemente mais poderosos

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O objetivo desta seção é, fixado o nível de significância (erro do tipo I) $\alpha$, encontrar uma região crítica $R_C$ que tenha a menor probabilidade de erro do tipo II e, desta forma, um maior poder para o teste de hipóteses dentre todos os testes com nível menor ou igual a $\alpha$. O seguinte resultado, conhecido como Lema de Neyman-Pearson considera o teste mais poderoso de nível $\alpha$ para testar $H_0:\theta=\theta_0$ versus $H_1:\theta = \theta_1$.

Teorema 5.1.5.1 (Lema de Neyman-Pearson):  

Suponha que as hipóteses $H_0:\theta=\theta_0$ e $H_1:\theta=\theta_1$ (hipóteses simples), com um função de probabilidade ou função densidade de probabilidade correspondente a $\theta_i$, $f(\textbf{x}|\theta_i)$, $i = 0,1$. Considere um teste com região crítica $RC$ satisfazendo \[\textbf{x}\in R_C \ \hbox{se} \ f(\textbf{x}|\theta_1) \ \textgreater \ kf(\textbf{x}|\theta_0) \ \hbox{e} \ \textbf{x}\notin R_C \ \hbox{se} \ f(\textbf{x}|\theta_1) \ \textless \ \ kf(\textbf{x}|\theta_0)\]

De forma análoga, 

$$\lambda(\textbf{x})=\frac{f(\textbf{x}|\theta_1)}{f(\textbf{x}|\theta_0)}\textgreater k$$

para algum $k\geq 0$ e $\alpha = \mathbb{P}(\textbf{X}\in \ R_C|H_0 \ \hbox{é verdadeira})$. Então o teste é o mais poderoso.

Observação 5.1.5.1:  

Se $f(\textbf{x}|\theta_1) = kf(\textbf{x}|\theta_0)$ qualquer decisão pode ser tomada. Note que o teste com região crítica \[R_C = \left\{\textbf{x}:f(\textbf{x}|\theta_1) \ \textgreater \ kf(\textbf{x}|\theta_0)\right\}=\left\{ \textbf{x}; \lambda(\textbf{x})=\frac{f(\textbf{x}|\theta_1)}{f(\textbf{x}|\theta_0)} \ \textgreater \ k\right\}\]

é o teste de razão de verossimilhanças. Colocando a função de verossimilhança sob $H_0$, $L(\theta_0|\textbf{x})$, e sob $H_1$, $L(\theta_1|\textbf{x})$, o teste mais poderoso rejeita $H_0$ quando $L(\theta_1|\textbf{x})|L(\theta_0|\textbf{x})\geq k$.

Exemplo 5.1.5.1:

Seja $X_1,\ldots,X_n$ uma amostra aleatória independente e igualmente distribuída de tamanho $n$ da variável aleatória $X\sim N(\mu,\sigma^2)$ com $\mu$ conhecido. Vamos encontrar o teste mais poderoso para testar $H_0:\sigma^2=\sigma_0^2$ versus $H_1:\sigma^2 = \sigma_1^2$ ($\sigma_1^2 \ \textgreater \ \sigma_0^2$)

Pelo Lema de Neyman-Pearson, temos que o teste mais poderoso rejeita $H_0$ quando $\frac{L_1(\textbf{x})}{L_0(\textbf{x})} \ \textgreater \ 0$. Então: \[\frac{L_1(\textbf{x})}{L_0(\textbf{x})}=\frac{(1/\sqrt{2\pi\sigma_1^2})\exp[-\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^2/2\sigma_1^2]}{(1/\sqrt{2\pi\sigma_0^2})\exp[-\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^2/2\sigma_0^2]}\]

que é equivalente a \[\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^2 \ \textgreater \ \frac{\log\left(k\left(\frac{\sigma_1}{\sigma_0}\right)^n\right)}{\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sigma_0^2}+\frac{1}{\sigma_1^2}\right)}=c.\]

Portanto, a região crítica do teste mais poderoso é dada por \[R_C^\ast = \left\{\textbf{x};\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^2 \ \textgreater \ c\right\}.\]

Agora, fixando $\alpha$, determinamos o valor de $c$ pela solução da equação \[\alpha = \mathbb{P}\left(\textbf{X}\in \ R_C^\ast |H_0 \ \hbox{é verdadeira}\right) \Rightarrow \alpha = \mathbb{P}\left(\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)^2 \ \textgreater \ c\right) = \mathbb{P}\left(\sum_{i=1}^n\frac{(X_i-\mu)^2}{\sigma_0^2} \ \textgreater \ \frac{c}{\sigma_0^2}\right).\]

Mas, sob $H_0$, temos que \[\frac{X_i-\mu}{\sigma_0}\sim N(0,1) \Rightarrow \frac{(X_i-\mu)^2}{\sigma_0^2}\sim\chi_1^2\Rightarrow \sum_{i=1}^n\frac{(X_i-\mu)^2}{\sigma_0^2}\sim\chi^2_n\]

e então, fixando $n$, $\alpha$ e $\sigma_0^2$ podemos obter o valor $c$ a partir de uma distribuição qui-quadrado com $n$ graus de liberdade.

Definição 5.1.5.1:

Um teste com região crítica $RC^\ast$ é dito ser uniformemente mais poderoso (UMP) para testar $H_0:\theta=\theta_0$ versus $H_1:\theta\in\Theta_1$, se ele é mais poderoso de nível $\alpha$ para testar $H_0:\theta=\theta_0$ versus $H_1:\theta=\theta_1$ para qualquer $\theta_1\in\Theta_1$.

Portanto, já verificamos as seguintes situações:

1) Testes mais poderosos (MP) de $H_0$ simples versus $H_1$ simples.

2) Testes uniformemente mais poderosos (UMP) de $H_0$ simples versus $H_1$ composta.

Considere agora as hipóteses $H_0:\theta\in\Theta_0$ versus $H_1:\theta\in\Theta_1$. O resultado a seguir estabelece condições para que se tenha o teste uniformemente mais poderoso para testar estas hipóteses.

Teorema 5.1.5.2:

Se $X_1,\ldots,X_n$ segue uma distribuição da família exponencial, então o teste uniformemente mais poderoso para testar $H_0:\theta=\theta_0$ versus $H_1:\theta \ \textgreater \ \theta_0$ é também mais poderoso para testar $H_0:\theta\leq\theta_0$ versus $H_1:\theta \ \textgreater \ \theta_0$. Temos também que o teste uniformemente mais poderoso para testar $H_0:\theta=\theta_0$ versus $H_1:\theta \ \textless \ \theta_0$ é uniformemente mais poderoso para testar $H_0:\theta\geq \theta_0$ versus $H_1:\theta \ \textless \ \theta_0$. 

Outra propriedade importante dos testes uniformemente mais poderosos é que, se uma família de distribuições pertence à família exponencial, ou seja, \[f(\textbf{x}|\theta) = h(\textbf{x})\exp\{T(\textbf{x})c(\theta)+d(\theta)\}\]

então $T(\textbf{X})$ é uma estatística suficiente. Se a função $c(\theta)$ for estritamente crescente em $\theta$, então o teste UMP de nível $\alpha$ tem região crítica dada por $RC = \{\textbf{x}:T(\textbf{x}\geq c\}$ para testar as hipóteses $H_0:\theta\leq\theta_0$ versus $H_1:\theta \ \textgreater \ \theta_0$. Se as hipóteses forem invertidas, $H_0:\theta\geq\theta_0$ versus $H_1:\theta \ \textless \ \theta_0$ então o teste uniformemente mais poderoso com nível $\alpha$ tem $R_C = \{\textbf{x}; T(\textbf{x}) \ \textless \ c\}$.

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