5.1.5 - Testes uniformemente mais poderosos

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O objetivo desta seção é, fixado o nível de significância (erro do tipo I) $ \alpha $, encontrar uma região crítica $ R_C $ que tenha a menor probabilidade de erro do tipo II e, desta forma, um maior poder para o teste de hipóteses dentre todos os testes com nível menor ou igual a $ \alpha $. O seguinte resultado, conhecido como Lema de Neyman-Pearson considera o teste mais poderoso de nível $ \alpha $ para testar \theta=\theta_0 $ versus \theta = \theta_1 $.

Teorema 5.1.5.1 (Lema de Neyman-Pearson):  

Suponha que as hipóteses \theta=\theta_0 $ e \theta=\theta_1 $ (hipóteses simples), com um função de probabilidade ou função densidade de probabilidade correspondente a $ \theta_i $, $ f(\textbf{x}|\theta_i) $, $ i = 0,1 $. Considere um teste com região crítica $ RC $ satisfazendo 

\[\textbf{x}\in R_C \ \hbox{se} \ f(\textbf{x}|\theta_1) \ \textgreater \ kf(\textbf{x}|\theta_0) \ \hbox{e} \ \textbf{x}\notin R_C \ \hbox{se} \ f(\textbf{x}|\theta_1) \ \textless \ \ kf(\textbf{x}|\theta_0)\]

De forma análoga, 

$$\lambda(\textbf{x})=\frac{f(\textbf{x}|\theta_1)}{f(\textbf{x}|\theta_0)}\textgreater k$$

para algum $ k\geq 0 $ e $ \alpha = \mathbb{P}(\textbf{X}\in \ R_C|H_0 \ \hbox{é verdadeira}) $. Então o teste é o mais poderoso.

Observação 5.1.5.1:  

Se $ f(\textbf{x}|\theta_1) = kf(\textbf{x}|\theta_0) $ qualquer decisão pode ser tomada. Note que o teste com região crítica 

f(\textbf{x}|\theta_1) \ \textgreater \ kf(\textbf{x}|\theta_0)\right\}=\left\{ \textbf{x}; \lambda(\textbf{x})=\frac{f(\textbf{x}|\theta_1)}{f(\textbf{x}|\theta_0)} \ \textgreater \ k\right\}\]

é o teste de razão de verossimilhanças. Colocando a função de verossimilhança sob $ H_0 $, $ L(\theta_0|\textbf{x}) $, e sob $ H_1 $, $ L(\theta_1|\textbf{x}) $, o teste mais poderoso rejeita $ H_0 $ quando $ L(\theta_1|\textbf{x})|L(\theta_0|\textbf{x})\geq k $.

Exemplo 5.1.5.1:

Seja $ X_1,\ldots,X_n $ uma amostra aleatória independente e igualmente distribuída de tamanho $ n $ da variável aleatória $ X\sim N(\mu,\sigma^2) $ com $ \mu $ conhecido. Vamos encontrar o teste mais poderoso para testar \sigma^2=\sigma_0^2 $ versus \sigma^2 = \sigma_1^2 $ ($ \sigma_1^2 \ \textgreater \ \sigma_0^2 $)

Pelo Lema de Neyman-Pearson, temos que o teste mais poderoso rejeita $ H_0 $ quando $ \frac{L_1(\textbf{x})}{L_0(\textbf{x})} \ \textgreater \ 0 $. Então: 

\[\frac{L_1(\textbf{x})}{L_0(\textbf{x})}=\frac{(1/\sqrt{2\pi\sigma_1^2})\exp[-\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^2/2\sigma_1^2]}{(1/\sqrt{2\pi\sigma_0^2})\exp[-\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^2/2\sigma_0^2]}\]

que é equivalente a 

\[\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^2 \ \textgreater \ \frac{\log\left(k\left(\frac{\sigma_1}{\sigma_0}\right)^n\right)}{\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sigma_0^2}+\frac{1}{\sigma_1^2}\right)}=c.\]

Portanto, a região crítica do teste mais poderoso é dada por 

\[R_C^\ast = \left\{\textbf{x};\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^2 \ \textgreater \ c\right\}.\]

Agora, fixando $ \alpha $, determinamos o valor de $ c $ pela solução da equação 

\[\alpha = \mathbb{P}\left(\textbf{X}\in \ R_C^\ast |H_0 \ \hbox{é verdadeira}\right) \Rightarrow \alpha = \mathbb{P}\left(\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)^2 \ \textgreater \ c\right) = \mathbb{P}\left(\sum_{i=1}^n\frac{(X_i-\mu)^2}{\sigma_0^2} \ \textgreater \ \frac{c}{\sigma_0^2}\right).\]

Mas, sob $ H_0 $, temos que 

\[\frac{X_i-\mu}{\sigma_0}\sim N(0,1) \Rightarrow \frac{(X_i-\mu)^2}{\sigma_0^2}\sim\chi_1^2\Rightarrow \sum_{i=1}^n\frac{(X_i-\mu)^2}{\sigma_0^2}\sim\chi^2_n\]

e então, fixando $ n $, $ \alpha $ e $ \sigma_0^2 $ podemos obter o valor $ c $ a partir de uma distribuição qui-quadrado com $ n $ graus de liberdade.

Definição 5.1.5.1:

Um teste com região crítica $ RC^\ast $ é dito ser uniformemente mais poderoso (UMP) para testar \theta=\theta_0 $ versus \theta\in\Theta_1 $, se ele é mais poderoso de nível $ \alpha $ para testar \theta=\theta_0 $ versus \theta=\theta_1 $ para qualquer $ \theta_1\in\Theta_1 $.

Portanto, já verificamos as seguintes situações:

1) Testes mais poderosos (MP) de $ H_0 $ simples versus $ H_1 $ simples.

2) Testes uniformemente mais poderosos (UMP) de $ H_0 $ simples versus $ H_1 $ composta.

Considere agora as hipóteses \theta\in\Theta_0 $ versus \theta\in\Theta_1 $. O resultado a seguir estabelece condições para que se tenha o teste uniformemente mais poderoso para testar estas hipóteses.

Teorema 5.1.5.2:

Se $ X_1,\ldots,X_n $ segue uma distribuição da família exponencial, então o teste uniformemente mais poderoso para testar \theta=\theta_0 $ versus \theta \ \textgreater \ \theta_0 $ é também mais poderoso para testar \theta\leq\theta_0 $ versus \theta \ \textgreater \ \theta_0 $. Temos também que o teste uniformemente mais poderoso para testar \theta=\theta_0 $ versus \theta \ \textless \ \theta_0 $ é uniformemente mais poderoso para testar \theta\geq \theta_0 $ versus \theta \ \textless \ \theta_0 $

Outra propriedade importante dos testes uniformemente mais poderosos é que, se uma família de distribuições pertence à família exponencial, ou seja, 

\[f(\textbf{x}|\theta) = h(\textbf{x})\exp\{T(\textbf{x})c(\theta)+d(\theta)\}\]

então $ T(\textbf{X}) $ é uma estatística suficiente. Se a função $ c(\theta) $ for estritamente crescente em $ \theta $, então o teste UMP de nível $ \alpha $ tem região crítica dada por T(\textbf{x}\geq c\} $ para testar as hipóteses \theta\leq\theta_0 $ versus \theta \ \textgreater \ \theta_0 $. Se as hipóteses forem invertidas, \theta\geq\theta_0 $ versus \theta \ \textless \ \theta_0 $ então o teste uniformemente mais poderoso com nível $ \alpha $ tem $ R_C = \{\textbf{x}; T(\textbf{x}) \ \textless \ c\} $.

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