5.2 - Teste para média (teste t)

Considere uma população da qual retiramos uma amostra $X_1,X_2,\ldots,X_n$. Estamos interessados em realizar inferência sobre a média populacional $\mu$.

Se não conhecemos o valor do desvio padrão populacional $\sigma$ e a amostra é pequena, $n \ \textless \ 30$, devemos substituir a expressão \[Z=\frac{\overline{X}-\mu_0}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\]

pela expressão \[T=\frac{\overline{X}-\mu_0}{\frac{s}{\sqrt{n}}}\]

onde $T$ tem distribuição t de Student com $n-1$ graus de liberdade. Para facilitar a execução do teste, podemos seguir os passos:

1. Estabelecer as hipóteses:

Fixamos $H_0:\mu=\mu_0$. Dependendo da informação que fornece o problema que estamos estudando, a hipótese alternativa pode ter uma das três formas abaixo:

• $H_1:\mu\neq\mu_0 \quad \text{(teste bilateral)}$;
• $H_1:\mu \ \textgreater \ \mu_0 \quad \text{(teste unilateral à direita)}$;
• $H_1:\mu \ \textless \ \mu_0 \quad \text{(teste unilateral à esquerda)}$.

2. Fixar o nível de significância $\alpha$.

3. Determinar a região crítica.

• Se o teste é bilateral, determinamos os pontos críticos $-t_{\alpha/2}$ e $t_{\alpha/2}$ tais que $\mathbb{P}[T \ \textgreater \ t_{\alpha/2}]=\mathbb{P}[T \ \textless -t_{\alpha/2}]=\alpha/2$ a partir da distribuição t de Student com $n-1$ graus de liberdade.

• Se o teste é unilateral, determinamos o ponto crítico $t_{\alpha}$ tal que $\mathbb{P}[T \ \textgreater \ t_{\alpha}]=\alpha$.

• Se o teste é unilateral à esquerda, determinamos o ponto $-t_{\alpha}$ tal que $\mathbb{P}[T \ \textless \ -t_{\alpha}]=\alpha$. 

4. Calcular, sob a hipótese nula, o valor: \[T_{\text{obs}}=\frac{\overline{x}-\mu_0}{\frac{s}{\sqrt{n}}}\]

onde

• $\overline{x}$: valor da média amostral.
• $\mu_0$: valor da média populacional sob a hipótese nula.
• $s$: valor do desvio padrão amostral.
• $n$: tamanho da amostra.

5. Critério: 

• Teste bilateral: se $T_{\text{obs}} \ \textgreater \ t_{\alpha/2}$ ou se $T_{\text{obs}} \ \textless \ -t_{-\alpha/2}$, rejeitamos $H_0$. Caso contrário, não rejeitamos $H_0$.

• Teste unilateral à direita: se $T_{\text{obs}} \ \textgreater t_{\alpha}$, rejeitamos $H_0$. Caso contrário, não rejeitamos $H_0$.
• Teste unilateral à esquerda: se $T_{\text{obs}} \ \textless \ -t_{\alpha}$, rejeitamos $H_0$. Caso contrário, não rejeitamos $H_0$.

6. O p-valor no teste bilateral é dado por  \[\text{p-valor} = \mathbb{P}[|t| \ \textgreater \ |T_{\text{obs}}||H_0]=2\mathbb{P}[T \ \textgreater \ |T_{\text{obs}}| | H_0].\] 

Se o teste é unilateral à direita, o p-valor é dado por  \[\text{p-valor} = \mathbb{P}[T \ \textgreater \ T_{\text{obs}}|H_0]\]

e, se o teste é unilateral à esquerda, o p-valor é dado por \[\text{p-valor} = \mathbb{P}[T\ \textless \ T_{\text{obs}}|H_0].\] 

7. Como vimos na Seção 4.1.2 o intervalo de confiança é dado por \[IC(\mu,1-\alpha)=\left(\overline{X}-t_{\alpha/2}\frac{s}{\sqrt{n}};\overline{X}+t_{\alpha/2}\frac{s}{\sqrt{n}}\right)\]

se o teste é bilateral. Se o teste é unilateral à direita, então o intervalo de confiança para o parâmetro $\mu$ é dado por \[IC(\mu,1-\alpha)=\left(\overline{X}-t_{\alpha}\frac{s}{\sqrt{n}};\infty\right)\]

e, se o teste é unilateral à esquerda, então o intervalo de confiança para o parâmetro $\mu$ é dado por \[IC(\mu,1-\alpha)=\left(-\infty;\overline{X}+t_{\alpha}\frac{s}{\sqrt{n}}\right).\]

8. O Erro do tipo II é cometido ao aceitar $H_0$ quando esta é falsa ($H_1$ é verdadeira). \[\mathbb{P}[\hbox{erro do tipo II}]=\mathbb{P}[\hbox{Aceitar} \ H_0 | H_1 \ \hbox{é verdadeira}]=\beta.\]

Para isto, suponha que a hipótese nula é falsa e que o verdadeiro valor da média é $\mu = \mu_0+\delta$. Então, a estatística do teste é \[T_0=\frac{\overline{X}-\mu_0}{S/\sqrt{n}}=\frac{\overline{X}-(\mu_0+\delta)+\delta}{s/\sqrt{n}}.\]

que pode ser escrita na forma \[T_0=\frac{\overline{X}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}=\frac{\frac{\overline{X}-(\mu_0+\delta)+\delta}{\sigma/\sqrt{n}}}{\sqrt{\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2(n-1)}}}.\]

Como \[\frac{\overline{X}-(\mu_0+\delta)+\delta)}{\sigma/\sqrt{n}}\sim N\left(\frac{\delta}{\sigma/\sqrt{n}},1\right) \quad \hbox{e} \quad \frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}\sim\chi_{n-1}^2\]

segue que $T_0$ tem distribuição t de Student não central com parâmetro de não-centralidade $\frac{\delta\sqrt{n}}{\sigma}$ e $n - 1$ graus de liberdade. Então, temos que para o teste bilateral, a probabilidade de erro do tipo II é a probabilidade de $T_0$ estar entre $-t_{\alpha/2}$ e $t_{\alpha/2}$, isto é \[\beta=\Psi(t_{\alpha/2})-\Psi(-t_{\alpha/2})\]

e, para os casos unilaterais à direita e à esquerda, as probabilidades de erro do tipo II são dadas, respectivamente, por \[\Psi(t_{\alpha}) \quad \hbox{e} \quad 1-\Psi(-t_{\alpha})\]

onde $\Psi$ é a função distribuição acumulada da variável aleatória  t não central com parâmetro de não-centralidade $\frac{\delta\sqrt{n}}{\sigma}$ e $n-1$ graus de liberdade.

9. O poder do teste é calculado como 1 menos a probabilidade de erro do tipo II, ou seja, $1-\beta$.

Podemos também utilizar o software Action para calcular o poder (dado o tamanho amostral) ou o tamanho amostral necessário para detectar determinada diferença, com um poder previamente especificado. No Action, temos como parâmetros o tamanho da amostra ($n$), a diferença entre as hipóteses nula e alternativa ($\delta$), o valor do poder ($P$), o nível de significância do teste ($\alpha$) e o desvio-padrão ($\sigma$). Para calcular o poder, fornecemos os valores de $n,\delta,\alpha$ e $\sigma$. As fórmulas utilizadas são \[\text{Poder} \ =1-\Psi(t_{\alpha/2})+\Psi(-t_{\alpha/2})\]

se o teste é bilateral. Se o teste é unilateral à esquerda, então \[\text{Poder} \ =\Psi(-t_{\alpha})\]

e se o teste é unilateral à direita, então \[\text{Poder} \ = 1-\Psi(t_{\alpha})\]

onde $\Psi$ é a função distribuição acumulada da variável aleatória contínua com distribuição t de Student não central com  $n - 1$ graus de liberdade e parâmetro de não-centralidade $\frac{\delta}{\sigma}\sqrt{n}$.

Já para o cálculo do tamanho da amostra necessária para que o teste detecte uma diferença pré-determinada entre as hipóteses nula e alternativa, com um determinado poder, basta lançarmos os valores da diferença $\delta$, do desvio-padrão $\sigma$, do nível de significância $\alpha$ e do poder $P$. Com isso, o Action nos fornece o valor do tamanho amostral $n$. As fórmulas utilizadas para cada teste são as mesmas acima, basta resolvê-las isolando $n$.

Exemplo 5.2.1:

Um engenheiro de produção quer testar, com base nos dados da tabela a seguir, e para um nível de significância $\alpha = 0,05$, se a altura média de uma haste está próxima do valor nominal de $1055$ mm. Uma amostra de $20$ hastes foi analisada as medidas obtidas são dadas a seguir.

903,88	1036,92	1098,04	1011,26
1020,70	915,38	1014,53	1097,79
934,52	1214,08	993,45	1120,19
860,41	1039,19	950,38	941,83
936,78	1086,98	1144,94	1066,12

^{clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo}

Usando o software Action temos os seguintes resultados:

 

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

A partir dos dados, temos que $\overline{x} = 1019,37$ e $s = 91,37$. Para $\alpha = 0,05$ e $n= 20$ temos, pela tabela da distribuição t de Student que $t_{\alpha/2} = 2,093$. Com isso, rejeitamos $H_0$ se $t_{\text{obs}} \ \textless \ -2,093$ ou se $t_{\text{obs}} \ \textgreater \ 2,093$, onde \[t_{\text{obs}}=\frac{\overline{x}-\mu_0}{\frac{s}{\sqrt{n}}}.\]

Substituindo $\mu_0 = 1055$, $\overline{x} = 1019,37$, $n = 20$ e $s = 91,37$ na equação obtemos: \[t_{\text{obs}}=\frac{1019,37-1055}{\frac{91,37}{\sqrt{20}}}=-1,74.\]

Assim, como $t_{\text{obs}}$ é maior que $-2,093$ e menor que $2,093$, a hipótese nula não deve ser rejeitada. Em outras palavras, a diferença entre $\overline{x}=1019,37$ e $\mu = 1055$ não é significativa.

O p-valor é dado por \[\text{p-valor} = \mathbb{P}[|t| \ \textgreater \ |t_{\text{obs}}| \ | \ H_0]=\mathbb{P}[t \ \textgreater \ 1,74 \ | \ H_0]+\mathbb{P}[t \ \textless \ -1,74 \ | \ H_0]=0,097\]

Como $\overline{x} = 1019,37$, $s = 91,37$, $n = 20$ e $\alpha = 0,05$, o intervalo de confiança é dado por \[\left(1019,37-2,093\frac{91,37}{\sqrt{20}};1019,37+2,093\frac{91,37}{\sqrt{20}}\right)=(976,60;1062,13).\]

Usando o software Action temos os seguintes resultados:

 

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

Para calcular o poder do teste em detectar uma diferença $\delta = 35,63$, utilizamos o software Action. Neste caso, temos como valores $n = 20$ $\delta = 35,63$, $\alpha = 0,05$, desvio-padrão $\hat{\sigma} = s = 91,37$ e tipo do teste bilateral. Então, lançando esses valores no Action, nos é fornecido o resultado do poder como sendo $0,38069$. Os resultados calculados e o gráfico são dados a seguir

^{clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo}

Poder do teste	N	Diferença	Nível de significância	Desvio	Hipótese
0,380692	20	35,63	0,05	91,37	Bilateral

Suponha que neste exercício queremos calcular o tamanho da amostra necessário para garantir a rejeição da hipótese nula com probabilidade no mínimo $0,9$ quando a diferença entre o valor verdadeiro da média e seu valor hipotético é no máximo $35,63$, dado um desvio padrão $\hat{\sigma} = s = 91,37$. Para resolver este problema, utilizamos o Action, fornecendo os valores $\alpha = 0,05$, $\delta = 35,63$, $\sigma = 91,37$ e poder igual a $0,9$. Como resultado temos $n = 72$.

Os resultados calculados e o gráfico são dados a seguir

Poder do teste	N	Diferença	Nível de significância	Desvio	Hipótese
0,90385	72	35,63	0,05	91,37	Bilateral

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.