5.2 - Teste para média (teste t)

Considere uma população da qual retiramos uma amostra $X_1,X_2,\ldots,X_n$ . Estamos interessados em realizar inferência sobre a média populacional $\mu$ .

Se não conhecemos o valor do desvio padrão populacional $\sigma$ e a amostra é pequena, $n \ \textless \ 30$ , devemos substituir a expressão

$Z=\frac{\overline{X}-\mu_0}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$

pela expressão

$T=\frac{\overline{X}-\mu_0}{\frac{s}{\sqrt{n}}}$

onde $T$ tem distribuição t de Student com $n-1$ graus de liberdade. Para facilitar a execução do teste, podemos seguir os passos:

1. Estabelecer as hipóteses:

Fixamos $\mu=\mu_0 $$ . Dependendo da informação que fornece o problema que estamos estudando, a hipótese alternativa pode ter uma das três formas abaixo:

$\mu\neq\mu_0 \quad \text{(teste bilateral)} $$ ;
$\mu \ \textgreater \ \mu_0 \quad \text{(teste unilateral à direita)} $$ ;
$\mu \ \textless \ \mu_0 \quad \text{(teste unilateral à esquerda)} $$ .

2. Fixar o nível de significância $\alpha$ .

3. Determinar a região crítica.

Se o teste é bilateral, determinamos os pontos críticos $-t_{\alpha/2}$ e $t_{\alpha/2}$ tais que $\mathbb{P}[T \ \textgreater \ t_{\alpha/2}]=\mathbb{P}[T \ \textless -t_{\alpha/2}]=\alpha/2$ a partir da distribuição t de Student com $n-1$ graus de liberdade.

Se o teste é unilateral, determinamos o ponto crítico $t_{\alpha}$ tal que $\mathbb{P}[T \ \textgreater \ t_{\alpha}]=\alpha$ .

Se o teste é unilateral à esquerda, determinamos o ponto $-t_{\alpha}$ tal que $\mathbb{P}[T \ \textless \ -t_{\alpha}]=\alpha$ .

4. Calcular, sob a hipótese nula, o valor:

$T_{\text{obs}}=\frac{\overline{x}-\mu_0}{\frac{s}{\sqrt{n}}}$

onde

$\overline{x}$ : valor da média amostral.
$\mu_0$ : valor da média populacional sob a hipótese nula.
$s$ : valor do desvio padrão amostral.
$n$ : tamanho da amostra.

5. Critério:

Teste bilateral: se $T_{\text{obs}} \ \textgreater \ t_{\alpha/2}$ ou se $T_{\text{obs}} \ \textless \ -t_{-\alpha/2}$ , rejeitamos $H_0$ . Caso contrário, não rejeitamos $H_0$ .

Teste unilateral à direita: se $T_{\text{obs}} \ \textgreater t_{\alpha}$ , rejeitamos $H_0$ . Caso contrário, não rejeitamos $H_0$ .
Teste unilateral à esquerda: se $T_{\text{obs}} \ \textless \ -t_{\alpha}$ , rejeitamos $H_0$ . Caso contrário, não rejeitamos $H_0$ .

6. O p-valor no teste bilateral é dado por

$\text{p-valor} = \mathbb{P}[|t| \ \textgreater \ |T_{\text{obs}}||H_0]=2\mathbb{P}[T \ \textgreater \ |T_{\text{obs}}| | H_0].$

Se o teste é unilateral à direita, o p-valor é dado por

$\text{p-valor} = \mathbb{P}[T \ \textgreater \ T_{\text{obs}}|H_0]$

e, se o teste é unilateral à esquerda, o p-valor é dado por

$\text{p-valor} = \mathbb{P}[T\ \textless \ T_{\text{obs}}|H_0].$

7. Como vimos na Seção 4.1.2 o intervalo de confiança é dado por

$IC(\mu,1-\alpha)=\left(\overline{X}-t_{\alpha/2}\frac{s}{\sqrt{n}};\overline{X}+t_{\alpha/2}\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$

se o teste é bilateral. Se o teste é unilateral à direita, então o intervalo de confiança para o parâmetro $\mu$ é dado por

$IC(\mu,1-\alpha)=\left(\overline{X}-t_{\alpha}\frac{s}{\sqrt{n}};\infty\right)$

e, se o teste é unilateral à esquerda, então o intervalo de confiança para o parâmetro $\mu$ é dado por

$IC(\mu,1-\alpha)=\left(-\infty;\overline{X}+t_{\alpha}\frac{s}{\sqrt{n}}\right).$

8. O Erro do tipo II é cometido ao aceitar $H_0$ quando esta é falsa ( $H_1$ é verdadeira).

$\mathbb{P}[\hbox{erro do tipo II}]=\mathbb{P}[\hbox{Aceitar} \ H_0 | H_1 \ \hbox{é verdadeira}]=\beta.$

Para isto, suponha que a hipótese nula é falsa e que o verdadeiro valor da média é $\mu = \mu_0+\delta$ . Então, a estatística do teste é

$T_0=\frac{\overline{X}-\mu_0}{S/\sqrt{n}}=\frac{\overline{X}-(\mu_0+\delta)+\delta}{s/\sqrt{n}}.$

que pode ser escrita na forma

$T_0=\frac{\overline{X}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}=\frac{\frac{\overline{X}-(\mu_0+\delta)+\delta}{\sigma/\sqrt{n}}}{\sqrt{\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2(n-1)}}}.$

Como

$\frac{\overline{X}-(\mu_0+\delta)+\delta)}{\sigma/\sqrt{n}}\sim N\left(\frac{\delta}{\sigma/\sqrt{n}},1\right) \quad \hbox{e} \quad \frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}\sim\chi_{n-1}^2$

segue que $T_0$ tem distribuição t de Student não central com parâmetro de não-centralidade $\frac{\delta\sqrt{n}}{\sigma}$ e $n - 1$ graus de liberdade. Então, temos que para o teste bilateral, a probabilidade de erro do tipo II é a probabilidade de $T_0$ estar entre $-t_{\alpha/2}$ e $t_{\alpha/2}$ , isto é

$\beta=\Psi(t_{\alpha/2})-\Psi(-t_{\alpha/2})$

e, para os casos unilaterais à direita e à esquerda, as probabilidades de erro do tipo II são dadas, respectivamente, por

$\Psi(t_{\alpha}) \quad \hbox{e} \quad 1-\Psi(-t_{\alpha})$

onde $\Psi$ é a função distribuição acumulada da variável aleatória t não central com parâmetro de não-centralidade $\frac{\delta\sqrt{n}}{\sigma}$ e $n-1$ graus de liberdade.

9. O poder do teste é calculado como 1 menos a probabilidade de erro do tipo II, ou seja, $1-\beta$ .

Podemos também utilizar o software Action para calcular o poder (dado o tamanho amostral) ou o tamanho amostral necessário para detectar determinada diferença, com um poder previamente especificado. No Action, temos como parâmetros o tamanho da amostra ( $n$ ), a diferença entre as hipóteses nula e alternativa ( $\delta$ ), o valor do poder ( $P$ ), o nível de significância do teste ( $\alpha$ ) e o desvio-padrão ( $\sigma$ ). Para calcular o poder, fornecemos os valores de $n,\delta,\alpha$ e $\sigma$ . As fórmulas utilizadas são

$\text{Poder} \ =1-\Psi(t_{\alpha/2})+\Psi(-t_{\alpha/2})$

se o teste é bilateral. Se o teste é unilateral à esquerda, então

$\text{Poder} \ =\Psi(-t_{\alpha})$

e se o teste é unilateral à direita, então

$\text{Poder} \ = 1-\Psi(t_{\alpha})$

onde $\Psi$ é a função distribuição acumulada da variável aleatória contínua com distribuição t de Student não central com $n - 1$ graus de liberdade e parâmetro de não-centralidade $\frac{\delta}{\sigma}\sqrt{n}$ .

Já para o cálculo do tamanho da amostra necessária para que o teste detecte uma diferença pré-determinada entre as hipóteses nula e alternativa, com um determinado poder, basta lançarmos os valores da diferença $\delta$ , do desvio-padrão $\sigma$ , do nível de significância $\alpha$ e do poder $P$ . Com isso, o Action nos fornece o valor do tamanho amostral $n$ . As fórmulas utilizadas para cada teste são as mesmas acima, basta resolvê-las isolando $n$ .

Exemplo 5.2.1:

Um engenheiro de produção quer testar, com base nos dados da tabela a seguir, e para um nível de significância $\alpha = 0,05$ , se a altura média de uma haste está próxima do valor nominal de $1055$ mm. Uma amostra de $20$ hastes foi analisada as medidas obtidas são dadas a seguir.

903,88	1036,92	1098,04	1011,26
1020,70	915,38	1014,53	1097,79
934,52	1214,08	993,45	1120,19
860,41	1039,19	950,38	941,83
936,78	1086,98	1144,94	1066,12

^{clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo}

Usando o software Action temos os seguintes resultados:

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

A partir dos dados, temos que $\overline{x} = 1019,37$ e $s = 91,37$ . Para $\alpha = 0,05$ e $n= 20$ temos, pela tabela da distribuição t de Student que $t_{\alpha/2} = 2,093$ . Com isso, rejeitamos $H_0$ se $t_{\text{obs}} \ \textless \ -2,093$ ou se $t_{\text{obs}} \ \textgreater \ 2,093$ , onde

$t_{\text{obs}}=\frac{\overline{x}-\mu_0}{\frac{s}{\sqrt{n}}}.$

Substituindo $\mu_0 = 1055$ , $\overline{x} = 1019,37$ , $n = 20$ e $s = 91,37$ na equação obtemos:

$t_{\text{obs}}=\frac{1019,37-1055}{\frac{91,37}{\sqrt{20}}}=-1,74.$

Assim, como $t_{\text{obs}}$ é maior que $-2,093$ e menor que $2,093$ , a hipótese nula não deve ser rejeitada. Em outras palavras, a diferença entre $\overline{x}=1019,37$ e $\mu = 1055$ não é significativa.

O p-valor é dado por

$\text{p-valor} = \mathbb{P}[|t| \ \textgreater \ |t_{\text{obs}}| \ | \ H_0]=\mathbb{P}[t \ \textgreater \ 1,74 \ | \ H_0]+\mathbb{P}[t \ \textless \ -1,74 \ | \ H_0]=0,097$

Como $\overline{x} = 1019,37$ , $s = 91,37$ , $n = 20$ e $\alpha = 0,05$ , o intervalo de confiança é dado por

$\left(1019,37-2,093\frac{91,37}{\sqrt{20}};1019,37+2,093\frac{91,37}{\sqrt{20}}\right)=(976,60;1062,13).$

Usando o software Action temos os seguintes resultados:

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

Para calcular o poder do teste em detectar uma diferença $\delta = 35,63$ , utilizamos o software Action. Neste caso, temos como valores $n = 20$ $\delta = 35,63$ , $\alpha = 0,05$ , desvio-padrão $\hat{\sigma} = s = 91,37$ e tipo do teste bilateral. Então, lançando esses valores no Action, nos é fornecido o resultado do poder como sendo $0,38069$ . Os resultados calculados e o gráfico são dados a seguir

^{clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo}

Poder do teste	N	Diferença	Nível de significância	Desvio	Hipótese
0,380692	20	35,63	0,05	91,37	Bilateral

Suponha que neste exercício queremos calcular o tamanho da amostra necessário para garantir a rejeição da hipótese nula com probabilidade no mínimo $0,9$ quando a diferença entre o valor verdadeiro da média e seu valor hipotético é no máximo $35,63$ , dado um desvio padrão $\hat{\sigma} = s = 91,37$ . Para resolver este problema, utilizamos o Action, fornecendo os valores $\alpha = 0,05$ , $\delta = 35,63$ , $\sigma = 91,37$ e poder igual a $0,9$ . Como resultado temos $n = 72$ .

Os resultados calculados e o gráfico são dados a seguir

Poder do teste	N	Diferença	Nível de significância	Desvio	Hipótese
0,90385	72	35,63	0,05	91,37	Bilateral

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

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