5.2 - Teste para média (teste t)

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Considere uma população da qual retiramos uma amostra $ X_1,X_2,\ldots,X_n $. Estamos interessados em realizar inferência sobre a média populacional $ \mu $.

Se não conhecemos o valor do desvio padrão populacional $ \sigma $ e a amostra é pequena, $ n \ \textless \ 30 $, devemos substituir a expressão 

\[Z=\frac{\overline{X}-\mu_0}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\]

pela expressão 

\[T=\frac{\overline{X}-\mu_0}{\frac{s}{\sqrt{n}}}\]

onde $ T $ tem distribuição t de Student com $ n-1 $ graus de liberdade. Para facilitar a execução do teste, podemos seguir os passos:

1. Estabelecer as hipóteses:

Fixamos \mu=\mu_0 $. Dependendo da informação que fornece o problema que estamos estudando, a hipótese alternativa pode ter uma das três formas abaixo:

  • \mu\neq\mu_0 \quad \text{(teste bilateral)} $;
  • \mu \ \textgreater \ \mu_0 \quad \text{(teste unilateral à direita)} $;
  • \mu \ \textless \ \mu_0 \quad \text{(teste unilateral à esquerda)} $.

2. Fixar o nível de significância $ \alpha $.

3. Determinar a região crítica.

  • Se o teste é unilateral, determinamos o ponto crítico $ t_{\alpha} $ tal que $ \mathbb{P}[T \ \textgreater \ t_{\alpha}]=\alpha $.

  • Se o teste é unilateral à esquerda, determinamos o ponto $ -t_{\alpha} $ tal que $ \mathbb{P}[T \ \textless \ -t_{\alpha}]=\alpha $

4. Calcular, sob a hipótese nula, o valor: 

\[T_{\text{obs}}=\frac{\overline{x}-\mu_0}{\frac{s}{\sqrt{n}}}\]

onde

  • $ \overline{x} $: valor da média amostral.
  • $ \mu_0 $: valor da média populacional sob a hipótese nula.
  • $ s $: valor do desvio padrão amostral.
  • $ n $: tamanho da amostra.

5. Critério: 

  • Teste bilateral: se $ T_{\text{obs}} \ \textgreater \ t_{\alpha/2} $ ou se $ T_{\text{obs}} \ \textless \ -t_{-\alpha/2} $, rejeitamos $ H_0 $. Caso contrário, não rejeitamos $ H_0 $.
  • Teste unilateral à direita: se $ T_{\text{obs}} \ \textgreater t_{\alpha} $, rejeitamos $ H_0 $. Caso contrário, não rejeitamos $ H_0 $.
  • Teste unilateral à esquerda: se $ T_{\text{obs}} \ \textless \ -t_{\alpha} $, rejeitamos $ H_0 $. Caso contrário, não rejeitamos $ H_0 $.

6. O p-valor no teste bilateral é dado por  

\[\text{p-valor} = \mathbb{P}[|t| \ \textgreater \ |T_{\text{obs}}||H_0]=2\mathbb{P}[T \ \textgreater \ |T_{\text{obs}}| | H_0].\]

 

Se o teste é unilateral à direita, o p-valor é dado por  

\[\text{p-valor} = \mathbb{P}[T \ \textgreater \ T_{\text{obs}}|H_0]\]

e, se o teste é unilateral à esquerda, o p-valor é dado por 

\[\text{p-valor} = \mathbb{P}[T\ \textless \ T_{\text{obs}}|H_0].\]

 

7. Como vimos na Seção 4.1.2 o intervalo de confiança é dado por 

\[IC(\mu,1-\alpha)=\left(\overline{X}-t_{\alpha/2}\frac{s}{\sqrt{n}};\overline{X}+t_{\alpha/2}\frac{s}{\sqrt{n}}\right)\]

se o teste é bilateral. Se o teste é unilateral à direita, então o intervalo de confiança para o parâmetro $ \mu $ é dado por 

\[IC(\mu,1-\alpha)=\left(\overline{X}-t_{\alpha}\frac{s}{\sqrt{n}};\infty\right)\]

e, se o teste é unilateral à esquerda, então o intervalo de confiança para o parâmetro $ \mu $ é dado por 

\[IC(\mu,1-\alpha)=\left(-\infty;\overline{X}+t_{\alpha}\frac{s}{\sqrt{n}}\right).\]

8. O Erro do tipo II é cometido ao aceitar $ H_0 $ quando esta é falsa ($ H_1 $ é verdadeira). 

\[\mathbb{P}[\hbox{erro do tipo II}]=\mathbb{P}[\hbox{Aceitar} \ H_0 | H_1 \ \hbox{é verdadeira}]=\beta.\]

Para isto, suponha que a hipótese nula é falsa e que o verdadeiro valor da média é $ \mu = \mu_0+\delta $. Então, a estatística do teste é 

\[T_0=\frac{\overline{X}-\mu_0}{S/\sqrt{n}}=\frac{\overline{X}-(\mu_0+\delta)+\delta}{s/\sqrt{n}}.\]

que pode ser escrita na forma 

\[T_0=\frac{\overline{X}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}=\frac{\frac{\overline{X}-(\mu_0+\delta)+\delta}{\sigma/\sqrt{n}}}{\sqrt{\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2(n-1)}}}.\]

Como 

\[\frac{\overline{X}-(\mu_0+\delta)+\delta)}{\sigma/\sqrt{n}}\sim N\left(\frac{\delta}{\sigma/\sqrt{n}},1\right) \quad \hbox{e} \quad \frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}\sim\chi_{n-1}^2\]

segue que $ T_0 $ tem distribuição t de Student não central com parâmetro de não-centralidade $ \frac{\delta\sqrt{n}}{\sigma} $ e $ n - 1 $ graus de liberdade. Então, temos que para o teste bilateral, a probabilidade de erro do tipo II é a probabilidade de $ T_0 $ estar entre $ -t_{\alpha/2} $ e $ t_{\alpha/2} $, isto é 

\[\beta=\Psi(t_{\alpha/2})-\Psi(-t_{\alpha/2})\]

e, para os casos unilaterais à direita e à esquerda, as probabilidades de erro do tipo II são dadas, respectivamente, por 

\[\Psi(t_{\alpha}) \quad \hbox{e} \quad 1-\Psi(-t_{\alpha})\]

onde $ \Psi $ é a função distribuição acumulada da variável aleatória  t não central com parâmetro de não-centralidade $ \frac{\delta\sqrt{n}}{\sigma} $ e $ n-1 $ graus de liberdade.

9. O poder do teste é calculado como 1 menos a probabilidade de erro do tipo II, ou seja, $ 1-\beta $.

Podemos também utilizar o software Action para calcular o poder (dado o tamanho amostral) ou o tamanho amostral necessário para detectar determinada diferença, com um poder previamente especificado. No Action, temos como parâmetros o tamanho da amostra ($ n $), a diferença entre as hipóteses nula e alternativa ($ \delta $), o valor do poder ($ P $), o nível de significância do teste ($ \alpha $) e o desvio-padrão ($ \sigma $). Para calcular o poder, fornecemos os valores de $ n,\delta,\alpha $ e $ \sigma $. As fórmulas utilizadas são 

\[\text{Poder} \ =1-\Psi(t_{\alpha/2})+\Psi(-t_{\alpha/2})\]

se o teste é bilateral. Se o teste é unilateral à esquerda, então 

\[\text{Poder} \ =\Psi(-t_{\alpha})\]

e se o teste é unilateral à direita, então 

\[\text{Poder} \ = 1-\Psi(t_{\alpha})\]

onde $ \Psi $ é a função distribuição acumulada da variável aleatória contínua com distribuição t de Student não central com  $ n - 1 $ graus de liberdade e parâmetro de não-centralidade $ \frac{\delta}{\sigma}\sqrt{n} $.

Já para o cálculo do tamanho da amostra necessária para que o teste detecte uma diferença pré-determinada entre as hipóteses nula e alternativa, com um determinado poder, basta lançarmos os valores da diferença $ \delta $, do desvio-padrão $ \sigma $, do nível de significância $ \alpha $ e do poder $ P $. Com isso, o Action nos fornece o valor do tamanho amostral $ n $. As fórmulas utilizadas para cada teste são as mesmas acima, basta resolvê-las isolando $ n $.

Exemplo 5.2.1:

Um engenheiro de produção quer testar, com base nos dados da tabela a seguir, e para um nível de significância $ \alpha = 0,05 $, se a altura média de uma haste está próxima do valor nominal de $ 1055 $ mm. Uma amostra de $ 20 $ hastes foi analisada as medidas obtidas são dadas a seguir.

903,88 1036,92 1098,04 1011,26
1020,70 915,38 1014,53 1097,79
934,52 1214,08 993,45 1120,19
860,41 1039,19 950,38 941,83
936,78 1086,98 1144,94 1066,12

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

Usando o software Action temos os seguintes resultados:

 

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

A partir dos dados, temos que $ \overline{x} = 1019,37 $ e $ s = 91,37 $. Para $ \alpha = 0,05 $ e $ n= 20 $ temos, pela tabela da distribuição t de Student que $ t_{\alpha/2} = 2,093 $. Com isso, rejeitamos $ H_0 $ se $ t_{\text{obs}} \ \textless \ -2,093 $ ou se $ t_{\text{obs}} \ \textgreater \ 2,093 $, onde 

\[t_{\text{obs}}=\frac{\overline{x}-\mu_0}{\frac{s}{\sqrt{n}}}.\]

Substituindo $ \mu_0 = 1055 $, $ \overline{x} = 1019,37 $, $ n = 20 $ e $ s = 91,37 $ na equação obtemos: 

\[t_{\text{obs}}=\frac{1019,37-1055}{\frac{91,37}{\sqrt{20}}}=-1,74.\]

Assim, como $ t_{\text{obs}} $ é maior que $ -2,093 $ e menor que $ 2,093 $, a hipótese nula não deve ser rejeitada. Em outras palavras, a diferença entre $ \overline{x}=1019,37 $ e $ \mu = 1055 $ não é significativa.

O p-valor é dado por 

\[\text{p-valor} = \mathbb{P}[|t| \ \textgreater \ |t_{\text{obs}}| \ | \ H_0]=\mathbb{P}[t \ \textgreater \ 1,74 \ | \ H_0]+\mathbb{P}[t \ \textless \ -1,74 \ | \ H_0]=0,097\]

Como $ \overline{x} = 1019,37 $, $ s = 91,37 $, $ n = 20 $ e $ \alpha = 0,05 $, o intervalo de confiança é dado por 

\[\left(1019,37-2,093\frac{91,37}{\sqrt{20}};1019,37+2,093\frac{91,37}{\sqrt{20}}\right)=(976,60;1062,13).\]

Usando o software Action temos os seguintes resultados:

 

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

Para calcular o poder do teste em detectar uma diferença $ \delta = 35,63 $, utilizamos o software Action. Neste caso, temos como valores $ n = 20 $$ \delta = 35,63 $, $ \alpha = 0,05 $, desvio-padrão $ \hat{\sigma} = s = 91,37 $ e tipo do teste bilateral. Então, lançando esses valores no Action, nos é fornecido o resultado do poder como sendo $ 0,38069 $. Os resultados calculados e o gráfico são dados a seguir

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

Poder do teste N Diferença Nível de significância Desvio Hipótese
0,380692 20 35,63 0,05 91,37 Bilateral

Suponha que neste exercício queremos calcular o tamanho da amostra necessário para garantir a rejeição da hipótese nula com probabilidade no mínimo $ 0,9 $ quando a diferença entre o valor verdadeiro da média e seu valor hipotético é no máximo $ 35,63 $, dado um desvio padrão $ \hat{\sigma} = s = 91,37 $. Para resolver este problema, utilizamos o Action, fornecendo os valores $ \alpha = 0,05 $, $ \delta = 35,63 $, $ \sigma = 91,37 $ e poder igual a $ 0,9 $. Como resultado temos $ n = 72 $.

Os resultados calculados e o gráfico são dados a seguir

Poder do teste N Diferença Nível de significância Desvio Hipótese
0,90385 72 35,63 0,05 91,37 Bilateral

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

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