5.3.1 - Teste para proporção utilizando o Teorema Central do Limite

Você está aqui

Aproximação normal

Pelo teorema central do limite, $\overline{X}$ terá distribuição aproximadamente normal, com média p e variância $\frac{p(1-p)}{n}$, ou seja, \[\overline{X}\sim N\left(p,\frac{p(1-p)}{n}\right).\]

Observamos que $\overline{X}$ é um estimador de máxima verossimilhança para $p$, a proporção populacional, e, desse modo, para $n$ suficientemente grande podemos considerar a distribuição amostral de $\hat{p}=\overline{X}$ como aproximadamente normal\[\hat{p}\sim N\left(p,\frac{p(1-p)}{n}\right).\]

Daí, temos que \[Z=\frac{\hat{p}-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}\sim N(0,1).\]

Vejamos os passos para a construção do teste para proporção.

1. Estabelecer as hipóteses \[\left\{\begin{array}{l}H_0: p=p_0\\H_1: p\neq p_0\end{array}\right. \quad \left\{\begin{array}{l}H_0:p=p_0\\H_1: p \ \textless \ p_0\end{array}\right. \quad \left\{\begin{array}{l} H_0:p=p_0 \\ H_1: p \ \textgreater \ p_0\end{array}\right.\]

se o teste é bilateral, unilateral à esquerda ou unilateral à direita, respectivamente.

2. Fixar o nível de significância $\alpha$.

3. Determinar a região crítica.

  • Se o teste é bilateral, determinamos os pontos $-Z_{\alpha/2}$ e $Z_{\alpha/2}$ usando a tabela da distribuição normal, tais que $\mathbb{P}[Z \ \textgreater \ Z_{\alpha/2}]=\mathbb{P}[Z \ \textless \ -Z_{\alpha/2}]=\alpha/2$.

  • Se o teste é unilateral à direita, determinamos o ponto crítico $Z_{\alpha}$ tal que $\mathbb{P}[Z \ \textgreater \ Z_{\alpha}]=\alpha$.

  • Se o teste é unilateral à esquerda, determinamos o ponto crítico $-Z_{\alpha}$ tal que $\mathbb{P}[Z \ \textless \ -Z_{\alpha}]=\alpha$.

4. Calcular, sob a hipótese nula, o valor \[Z_{\text{obs}}=\frac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}.\]

5. Critério:

  • Se o teste é bilateral e $Z_{\text{obs}} \ \textgreater \ Z_{\alpha/2}$ ou $Z_{\text{obs}} \ \textless \ -Z_{\alpha/2}$, rejeitamos $H_0$. Caso contrário, não rejeitamos $H_0$.
  • Se o teste é unilateral à direita e $Z_{\text{obs}} \ \textgreater \ Z_{\alpha}$, rejeitamos $H_0$. Caso contrário, não rejeitamos $H_0$.
  • Se o teste é unilateral à esquerda e $Z_{\text{obs}} \ \textless \ -Z{\alpha}$, rejeitamos $H_0$. Caso contrário, não rejeitamos $H_0$.

6. O p-valor é determinado por \[\hbox{p-valor} = \mathbb{P}[|Z| \ \textgreater \ |Z_{\text{obs}}| |H_0]=2\mathbb{P}[Z \ \textgreater \ |Z_{\text{obs}}| | H_0]\]

no teste bilateral. Se o teste é unilateral à direita, o p-valor é determinado por \[\hbox{p-valor} = \mathbb{P}[Z \ \textgreater \ Z_{\text{obs}} | H_0]\]

e, se o teste é unilateral à esquerda \[\hbox{p-valor} = \mathbb{P}[Z \ \textless \ Z_{\text{obs}} | H_0].\]

7. Como foi visto na Seção 4.2.1 , o intervalo de confiança é dado por \[IC(p,1-\alpha)=\left(\hat{p}-Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}};\hat{p}+Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\right)\]

se o teste é bilateral. Observamos aqui que o limite inferior do intervalo de confiança não pode ser inferior a zero e o limite superior não deve ser superior a um, uma vez que estamos calculando o intervalo de confiança para uma proporção e não faz sentido considerar uma proporção negativa ou maior do que um neste caso. No caso em que o teste é unilateral à direita, o intervalo de confiança para o parâmetro $p$ é dado por \[IC(p,1-\alpha)=\left(\hat{p}-Z_{\alpha}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p}}{n}};1\right)\]

e, se o teste é unilateral à esquerda, o intervalo de confiança para o parâmetro $p$ é dado por \[IC(p,1-\alpha)=\left(0;\hat{p}+Z_{\alpha}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\right).\]

8. Para se calcular o poder (dado um tamanho amostral) ou o tamanho amostral necessário para se obter determinado poder para o teste de uma proporção, utilizamos o software Action. O Action recebe como parâmetros o tamanho da amostra ($n$), a proporção da hipótese nula ($p_0$), a proporção da hipótese alternativa ($p$), o valor do poder ($P$) e o nível de significância ($\alpha$). Então, para se calcular o poder de um teste de proporção em detectar uma diferença entre a proporção da hipótese nula ($p_0$) e uma proporção $p$ diferente da hipótese nula, a um nível de significância $\alpha$ específico, as fórmulas utilizadas pelo Action são dadas por \[P=1-\Phi(Z_{\alpha/2}-(2\arcsin(\sqrt{p_0})-2\arcsin(\sqrt{p}))\sqrt{n})+\Phi(-Z_{\alpha/2}-(2\arcsin(\sqrt{p_0})-2\arcsin(\sqrt{p}))\sqrt{n})\]

para o teste bilateral. Se o teste é unilateral à esquerda, \[P=\Phi(-Z_{\alpha}-(2\arcsin(\sqrt{p_0})-2\arcsin(\sqrt{p}))\sqrt{n})\]

e se o teste é unilateral à direita, \[P=1-\Phi(Z_{\alpha}-(2\arcsin(\sqrt{p_0})-2\arcsin(\sqrt{p}))\sqrt{n})\]

onde $\Phi$ é a função de distribuição acumulada de uma variável aleatória com distribuição normal padrão. A transformação não-linear $\phi=2\arcsin(\sqrt{p})$ é utilizada na tentativa de detectar poderes iguais para diferenças iguais entre as proporções $p$ e $p_0$.

Já para o cálculo do tamanho da amostra necessária para que o teste detecte uma diferença entre a proporção hipotética $p_0$ e a proporção real $p$, com determinado poder, basta lançarmos os valores das proporções $p_0$ e $p$, do poder $P$ e do nível de significância $\alpha$. Com isso, o Action nos fornece o valor do tamanho da amostra.

Exemplo 5.3.1.1:

Um fabricante garante que $90\%$ das peças que fornece à linha de produção de uma determinada fábrica estão de acordo com as especificações exigidas. A análise de uma amostra de $200$ peças revelou $25$ defeituosas. A um nível de $5\%$, podemos dizer que é verdadeira a afirmação do fabricante?

1. Estabelecemos as hipóteses \[\left\{\begin{array}{l}H_0: p=0,9\\H_1: p \ \textless \ 0,9\end{array}\right.\]

2. Fixemos o nível de significância $\alpha = 0,05$.

3. Como $\alpha = 0,05$, $-Z_{\alpha}=-1,64$.

4. Temos que $\hat{p}=0,875$ e, sob a hipótese nula, $p_0=0,9$. Assim, \[Z_{\text{obs}}=\frac{0,875-0,9}{\sqrt{(0,9)(0,1)/200}}=-1,178.\]

5. Conclusão: como $-1,64 = -Z_{\alpha} \ \textless \ Z_{\text{obs}}= -1,178$, não rejeitamos $H_0$. Portanto, temos evidências de que a afirmação do fabricante é verdadeira.

6. Vamos agora calcular o P-valor: \[\text{P-valor} \ = \mathbb{P}[Z \ \textless \ Z_{\text{obs}}| H_0]=\mathbb{P}[Z \ \textless \ -1,178 | H_0]=0,1192.\]

7. Como $n = 200$, $\hat{p} = 0,875$, $-Z_{\alpha} = -1,64$, temos que o intervalo de confiança é \[\left(0;0,875+1,64\sqrt{\frac{0,875(1-0,875)}{200}}\right)=(0;0,9134).\]

Usando o software Action temos os seguintes resultados:

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

8. Se queremos calcular o poder do teste em detectar a diferença entre a proporção hipotética $p_0 = 0,9$ e uma proporção real $p=0,8$ a um nível de significância $\alpha = 0,05$, lançamos os valores correspondentes no software Action, escolhendo o teste unilateral à esquerda (Menor que), donde obtemos que $\text{Poder} \ = 0,9910$ aproximadamente. Os resultados estão calculados na tabela a seguir

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

Suponha que estivéssemos no teste unilateral à esquerda e quiséssemos calcular o tamanho amostral necessário para se detectar a diferença entre a proporção hipotética $p_0 = 0,9$ e uma proporção real $p= 0,8$ a um nível de significância $\alpha = 0,05$ e com um poder de $0,9$. Então, usando o Action, nos seria fornecido um tamanho amostral $n = 106,3$. Ou seja, seria necessário uma amostra de tamanho $107$.

Os resultados podem ser conferidos na tabela abaixo

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

Aproximação Normal com Correção de Continuidade

Sugere-se que seja feita uma correção de continuidade ao se realizar um teste de uma proporção pelo fato de se aproximar a distribuição Binomial, que é discreta, por uma Normal, que é contínua. Essa correção consiste em substituir a equação \[Z=\frac{\hat{p}-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}\sim N(0,1)\]

por \[Z_c=\left\{\begin{array}{l}\dfrac{(\hat{p}-p_0)+1/(2n)}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}} \ \hbox{se} \ \hat{p}- p_0 \ \textless \ 0\\\dfrac{(\hat{p}-p_0)-1/(2n)}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}} \hbox{se} \ \hat{p}-p_0 \ \textgreater \ 0\end{array}\right.\]

 A ideia é evitar que a rejeição de $H_0$ seja resultante da aproximação feita, o que poderia ocorrer eventualmente quando $Z$ fosse bastante próximo do valor crítico.

Observação:

O teste é realizado de maneira análoga ao visto anteriormente.

Exemplo 5.3.1.2:

Considerando o Exemplo 5.3.1.1, vamos realizar o teste para proporção utilizando a aproximação Normal com correção de continuidade.

1. Estabelecemos as hipóteses \[\left\{\begin{array}{l}H_0: p=0,9\\H_1: p \ \textless \ 0,9\end{array}\right.\]

2. Fixamos o nível de significância $\alpha = 0,05$.

3. Como $\alpha = 0,05$, temos que $-Z_{0,05} = -1,64$.  

4. $\hat{p} = 0,875$ e, sob a hipótese nula, $p_0 = 0,9$. Assim, como $\hat{p} - p_0 = 0,875 - 0,9 = -0,025 \ \textless \ 0$, temos pela equação de $Z_c$ que \[Z_c=\frac{(0,875-0,9)+1/400}{\sqrt{(0,9)(0,1)/200}}=-1,061.\]

5. Conclusão: como $Z_c = -1,061 \ \textgreater \ -1,64$, não rejeitamos $H_0$. Portanto, temos evidências de que a afirmação do fabricante é verdadeira.

6. Vamos agora calcular o p-valor: \[\text{p-valor} = \mathbb{P}[Z \ \textless \ -1,061 | H_0]=0,1444.\]

7. Temos que $n = 200$, $\hat{p} = 0,875$, $Z_{\alpha} = 1,64$. Além disso, $\hat{p} = 0,875 \ \textgreater \ 0,5$ o que implica que $p_c = 0,875+1/400 = 0,8775$. Assim, temos que o intervalo de confiança é dado por \[\left(0;0,8775+1,64\sqrt{\frac{0,8775(1-0,8775)}{200}}\right)=(0;0,9156).\]

Usando o software Action temos os seguintes resultados:

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

Inferência

Sobre o Portal Action

O Portal Action é mantido pela Estatcamp - Consultoria Estatística e Qualidade, com o objetivo de disponibilizar uma ferramenta estatística em conjunto com uma fonte de informação útil aos profissionais interessados.

Facebook

CONTATO

  •  Maestro Joao Seppe, 900, São Carlos - SP | CEP 13561-180
  • Telefone: (16) 3376-2047
  • E-Mail: [email protected]