5.3.3 - Teste binomial exata

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Consideremos, como nos casos anteriores, uma amostra aleatória simples $X_1,\ldots,X_n$ onde cada $X_i$, com $i = 1,\ldots,n$, tem distribuição de $\text{Bernoulli}(p)$, isto é, \[X_1,\ldots,X_n\sim \hbox{Bernoulli(p)}.\]

Consideremos \[Y = \hbox{número de sucessos}.\]

Neste caso, $Y$ é uma variável aleatória com distribuição $\text{Binomial}(n,p)$. O teste de proporções binomial exata é um teste de proporções composto das seguintes etapas:

1. Para os testes bilateral e unilaterais à esquerda e à diretia estabelecemos uma das seguintes hipóteses, respectivamente. \[\left\{\begin{array}{l}H_0: p = p_0\\H_1: p\neq p_0\end{array}\right. \qquad \left\{\begin{array}{l}H_0:p = p_0\\H_1:p \ \textless \ p_0\end{array}\right. \qquad \left\{\begin{array}{l}H_0: p = p_0 \\H_1:p \ \textgreater \ p_0\end{array}\right.\]

2. Fixamos o nível de significância $\alpha$.

3. Determinamos a região crítica.

  • Se o teste é bilateral, determinamos os valores $t_1$ e $t_2$ da tabela da distribuição Binomial tais que $\mathbb{P}(X \ \textless \ t_1) = \mathbb{P}(X \ \textgreater \ t_2)\approx\frac{\alpha}{2}$.
  • Se o teste é unilateral à esquerda, determinamos o valor $t$ na tabela da distribuição Binomial tal que $\mathbb{P}(X \ \textless \ t)\approx\alpha$.
  • Se o teste é unilateral à direita, determinamos o valor $t$ na tabela da distribuição Binomial tal que $\mathbb{P}(X \ \textgreater \ t)\approx\alpha$.

4. Determinar a estatística $Y = \text{número de sucessos}$.

5. Utilizamos os seguintes critérios para rejeitar ou não o teste de hipóteses:

  • Se o teste é bilateral e $Y \ \textgreater \ t_2$ ou $Y \ \textless \ t_1$ rejeitamos $H_0$. Caso contrário, não rejeitamos $H_0$.
  • Se o teste é unilateral à esquerda e $Y \ \textless \ t$, rejeitamos $H_0$. Caso contrário, não rejeitamos $H_0$.
  • Se o teste é unilateral à direita e $Y \ \textgreater \ t$, rejeitamos $H_0$. Caso contrário, não rejeitamos $H_0$.

6. O p-valor é dado por $\text{p-valor} \ = \mathbb{P}[X\leq Y|H_0]=\mathbb{P}[X\leq Y|p = p_0].$

Exemplo 5.3.3.1:

Um industrial afirma que seu processo de fabricação produz $90\%$ de peças dentro das especificações. Deseja-se investigar se este processo de fabricação ainda está sob controle. Uma amostra de $15$ peças foi analisada e foram constatadas $10$ peças dentro das especificações. Ao nível de $5\%$ de significância, podemos dizer ser verdadeira essa afirmação?

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

1. As hipóteses a serem testadas são \[\left\{\begin{array}{l}H_0: p = 0,9\\H_1: p \ \textless \ 0,9\end{array}\right.\]

2. fixar o nível de significância $\alpha = 0,05$.

3. Determinar a região crítica. Neste caso, determinar o valor $t$, tal que $\mathbb{P}(X \ \textless \ t)\approx\alpha$, tendo $p_0 = 0,9$ e $n= 15$. Desta forma, temos que $t = 11$.

4. A estatística $Y = \text{número de sucessos}$ é igual a 10.

5. Conclusão: como $Y = 10 \ \textless \ 11 = t$, rejeitamos $H_0$. Assim, há evidências de que a afirmação não é verdadeira.

6. O p-valor é dado por \[\text{p-valor} \ = \mathbb{P}[X\leq Y |H_0]=\mathbb{P}[X\leq 10|p=0,9]=0,0127.\]

Usando o software Action temos os seguintes resultados:

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

Inferência

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