5.3.3 - Teste binomial exata

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Consideremos, como nos casos anteriores, uma amostra aleatória simples $ X_1,\ldots,X_n $ onde cada $ X_i $, com $ i = 1,\ldots,n $, tem distribuição de $ \text{Bernoulli}(p) $, isto é, 

\[X_1,\ldots,X_n\sim \hbox{Bernoulli(p)}.\]

Consideremos 

\[Y = \hbox{número de sucessos}.\]

Neste caso, $ Y $ é uma variável aleatória com distribuição $ \text{Binomial}(n,p) $. O teste de proporções binomial exata é um teste de proporções composto das seguintes etapas:

1. Para os testes bilateral e unilaterais à esquerda e à diretia estabelecemos uma das seguintes hipóteses, respectivamente. 

p \ \textgreater \ p_0\end{array}\right.\]

2. Fixamos o nível de significância $ \alpha $.

3. Determinamos a região crítica.

  • Se o teste é bilateral, determinamos os valores $ t_1 $ e $ t_2 $ da tabela da distribuição Binomial tais que $ \mathbb{P}(X \ \textless \ t_1) = \mathbb{P}(X \ \textgreater \ t_2)\approx\frac{\alpha}{2} $.
  • Se o teste é unilateral à esquerda, determinamos o valor $ t $ na tabela da distribuição Binomial tal que $ \mathbb{P}(X \ \textless \ t)\approx\alpha $.
  • Se o teste é unilateral à direita, determinamos o valor $ t $ na tabela da distribuição Binomial tal que $ \mathbb{P}(X \ \textgreater \ t)\approx\alpha $.

4. Determinar a estatística $ Y = \text{número de sucessos} $.

5. Utilizamos os seguintes critérios para rejeitar ou não o teste de hipóteses:

  • Se o teste é bilateral e $ Y \ \textgreater \ t_2 $ ou $ Y \ \textless \ t_1 $ rejeitamos $ H_0 $. Caso contrário, não rejeitamos $ H_0 $.
  • Se o teste é unilateral à esquerda e $ Y \ \textless \ t $, rejeitamos $ H_0 $. Caso contrário, não rejeitamos $ H_0 $.
  • Se o teste é unilateral à direita e $ Y \ \textgreater \ t $, rejeitamos $ H_0 $. Caso contrário, não rejeitamos $ H_0 $.

6. O p-valor é dado por $ \text{p-valor} \ = \mathbb{P}[X\leq Y|H_0]=\mathbb{P}[X\leq Y|p = p_0]. $

Exemplo 5.3.3.1:

Um industrial afirma que seu processo de fabricação produz $ 90\% $ de peças dentro das especificações. Deseja-se investigar se este processo de fabricação ainda está sob controle. Uma amostra de $ 15 $ peças foi analisada e foram constatadas $ 10 $ peças dentro das especificações. Ao nível de $ 5\% $ de significância, podemos dizer ser verdadeira essa afirmação?

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

1. As hipóteses a serem testadas são 

 p \ \textless \ 0,9\end{array}\right.\]

2. fixar o nível de significância $ \alpha = 0,05 $.

3. Determinar a região crítica. Neste caso, determinar o valor $ t $, tal que $ \mathbb{P}(X \ \textless \ t)\approx\alpha $, tendo $ p_0 = 0,9 $ e $ n= 15 $. Desta forma, temos que $ t = 11 $.

4. A estatística $ Y = \text{número de sucessos} $ é igual a 10.

5. Conclusão: como $ Y = 10 \ \textless \ 11 = t $, rejeitamos $ H_0 $. Assim, há evidências de que a afirmação não é verdadeira.

6. O p-valor é dado por 

\[\text{p-valor} \ = \mathbb{P}[X\leq Y |H_0]=\mathbb{P}[X\leq 10|p=0,9]=0,0127.\]

Usando o software Action temos os seguintes resultados:

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

Inferência

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