5.4 - Teste para taxa

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Consideremos uma população e $X$ uma variável aleatória que representa determinada característica desta população com distribuição de Poisson com parâmetro $\lambda$. Retiremos uma amostra aleatória $X_1,\ldots,X_n$ desta população. Cada $X_i = 1,\ldots,n$ tem distribuição de Poisson com parâmetro $\lambda$, isto é, \[X_1,\ldots,X_n \sim \ \text{Poisson}(\lambda).\]

Como \[\hat{\lambda}=\sum_{i=1}^n\frac{X_i}{n}\]

é um estimador de máxima verossimilhança para $\lambda$, então, utilizando o Teorema Central do Limite, temos que \[\hat{\lambda}=\sum_{i=1}^n\frac{X_i}{n}\sim N\left(\lambda,\frac{\lambda}{n}\right)\]

o que implica que \[Z=\frac{\hat{\lambda}-\lambda}{\sqrt{\lambda/n}}\sim N(0,1).\]

Agora vamos ver os passos para se realizar o teste para taxa:

1. Estabelecer as hipóteses.

Fixamos $H_0: \lambda = \lambda_0$. Dependendo da informação que fornece o problema que estivermos estudando, a hipótese alternativa pode ter uma das três formas abaixo: \[H_1:\lambda\neq\lambda_0 \quad \text{(teste bilateral)};\]

\[H_1:\lambda \ \textgreater \ \lambda_0 \quad \text{(teste unilateral à direita)};\]

\[H_1:\lambda \ \textless \ \lambda_0 \quad \text{(teste unilateral à esquerda)};\]

2. Fixar o nível de significância $\alpha$.

3. Determinar a região crítica.

  • Se o teste é bilateral, determinamos os pontos críticos $Z_{\alpha/2}$ e $-Z_{\alpha/2}$ tais que \[\mathbb{P}[Z \ \textgreater \ Z_{\alpha/2}] = \mathbb{P}[Z\ \textless \ -Z_{\alpha/2}]=\frac{\alpha}{2}\]

  • Se o teste é unilateral à direita, determinamos o valor crítico $Z_{\alpha}$ tal que \[\mathbb{P}[Z \ \textgreater \ Z_{\alpha}]=\alpha\]

  • Se o teste é unilateral à esquerda, determinamos o valor crítico $-Z_{\alpha}$ tal que \[\mathbb{P}[Z \ \textless \ -Z_{\alpha}]=\alpha\]

4. Calcular, sob a hipótese nula, o valor \[Z_{\text{obs}}=\frac{\hat{\lambda}-\lambda_0}{\sqrt{\lambda_0/n}}.\]

5. Critério:

  • Teste bilateral: Se $Z_{\text{obs}} \ \textgreater \ Z_{\alpha/2}$ ou se $Z_{\text{obs}} \ \textless \ -Z_{\alpha/2}$, rejeitamos $H_0$. Caso contrário, não rejeitamos $H_0$.
  • Teste unilateral à direita: Se $Z_{\text{obs}} \ \textgreater \ Z_{\alpha}$, rejeitamos $H_0$. Caso contrário, não rejeitamos $H_0$.
  • Teste unilateral à esquerda: Se $Z_{\text{obs}} \ \textless \ -Z_{\alpha}$, rejeitamos $H_0$. Caso contrário, não rejeitamos $H_0$.

6. O p-valor é dado por \[\text{p-valor} = \mathbb{P}[|Z| \ \textgreater \ |Z_{\text{obs}}||H_0]=2\mathbb{P}[Z \ \textgreater \ |Z_{\text{obs}}| |H_0]\]

no caso bilateral.

No caso unilateral à direita é determinado por \[\text{p-valor} = \mathbb{P}[Z \ \textgreater \ Z_{\text{obs}}| H_0]\]

e no caso unilateral à esquerda, por \[\text{p-valor} = \mathbb{P}[Z \ \textless \ Z_{\text{obs}} | H_0].\]

7. Como vimos na Seção 4.3 , o intervalo de confiança para o parâmetro $\lambda$ é dado por \[IC(\lambda,1-\alpha)=\left(\hat{\lambda}-Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{\lambda}}{n}};\hat{\lambda}+Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{\lambda}}{n}}\right).\]

se o teste é bilateral. Caso o teste seja unilateral à direita, então o intervalo de confiança para o parâmetro $\lambda$ é dado por \[IC(\lambda,1-\alpha)=\left(\hat{\lambda}-Z_{\alpha}\sqrt{\frac{\hat{\lambda}}{n}};\infty\right)\]

e se o teste é unilateral à esquerda, então o intervalo de confiança para o parâmetro é dado por \[IC(\lambda,1-\alpha)=\left(0;\hat{\lambda}+Z_{\alpha}\sqrt{\frac{\hat{\lambda}}{n}}\right)\]

8. O erro do tipo II é calculado ao se aceitar $H_0$ quando esta é falsa ($H_1$ é verdadeira). \[\mathbb{P}[\hbox{Erro do tipo II}]=\mathbb{P}[\hbox{Aceitar} H_0| H_1 \hbox{é verdadeira}]=\beta.\]

9. O poder do teste é calculado por: 1 menos a probabilidade de erro do tipo II, ou seja \[\text{Poder} \ = 1-\beta.\]

Como trata-se de um teste normal, para o cálculo do poder ou do tamanho amostral, utilizamos as mesmas técnicas utilizadas para o teste para a média com variância conhecida, ou seja, no Action, se queremos calcular o poder do teste, lançamos como parâmetro o tamanho da amostra ($n$), a diferença ($\delta$), o nível de significância ($\alpha$) e o desvio-padrão ($\sigma$). Analogamente, podemos calcular o tamanho amostral necessário para que o teste detecte uma diferença específica com determinado poder.

Exemplo 5.4.1:

O gerente de produção de uma empresa tem como objetivo avaliar a performance de uma nova metodologia de ensino para novos operários contratados. Com a metodologia antiga, tem-se uma taxa média de $4$ erros por operário na primeira semana de trabalho. Em uma amostra de $25$ operários foi aplicada a nova metodologia e observou-se que a média foi de $5$ erros por semana. Com essas informações podemos falar que há diferença significativa entre a antiga e a nova metodologia?

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

1. Primeiro, vamos estabelecer as hipóteses: \[\left\{\begin{array}{l}H_0: \lambda = 4\\H_1: \lambda \ \textless \ 4\end{array}\right.\]

uma vez que estamos querendo testar se a nova metodologia é melhor que a antiga, isto é, se ela possui uma taxa média de erros menor que a antiga.

2. Fixemos o nível de significância $\alpha = 0,05$.

3. Como $\alpha = 0,05$, $-Z_{\alpha}=-Z_{0,05}=-1,64$.

4. Temos que $\hat{\lambda} = 5$ e, sob a hipótese nula, $\lambda_0=4$. Assim, \[Z_{\text{obs}}=\frac{5-4}{\sqrt{4/25}}=2,5.\]

5. Conclusão: como $Z_{\text{obs}} = 2,5 \ \textgreater \ -1,64$, não rejeitamos $H_0$. Assim, não temos evidências de que a taxa média de erros da nova metodologia é menor que a antiga.

6. Vamos agora calcular o p-valor: \[\text{p-valor} \ = \mathbb{P}[Z \ \textless \ Z_{\text{obs}}|H_0]=\mathbb{P}[Z \ \textless \ 2,5|H_0]=0,9937903.\]

7. Como $n=25$, $\hat{\lambda} = 5$ e $Z_{\alpha/2} = 1,64$, temos que o intervalo de confiança é dado por \[\left(0;5+1,64\sqrt{\frac{5}{25}}\right)=(0;5,735601).\]

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

Utilizando o software Action, vamos calcular o poder do teste em detectar uma diferença $\delta = -1$. Como o desvio padrão é $\sigma = 2$, o tamanho da amostra é $n= 25$ e o nível de significância é $\alpha = 0,05$, temos os seguintes resultados.

O gráfico é mostrado na figura abaixo

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo 

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

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