5.4 - Teste para taxa

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Consideremos uma população e $ X $ uma variável aleatória que representa determinada característica desta população com distribuição de Poisson com parâmetro $ \lambda $. Retiremos uma amostra aleatória $ X_1,\ldots,X_n $ desta população. Cada $ X_i = 1,\ldots,n $ tem distribuição de Poisson com parâmetro $ \lambda $, isto é

\[X_1,\ldots,X_n \sim \ \text{Poisson}(\lambda).\]

Como

\[\hat{\lambda}=\sum_{i=1}^n\frac{X_i}{n}\]

é um estimador de máxima verossimilhança para $ \lambda $, então, utilizando o Teorema Central do Limite, temos que 

\[\hat{\lambda}=\sum_{i=1}^n\frac{X_i}{n}\sim N\left(\lambda,\frac{\lambda}{n}\right)\]

o que implica que 

\[Z=\frac{\hat{\lambda}-\lambda}{\sqrt{\lambda/n}}\sim N(0,1).\]

Agora vamos ver os passos para se realizar o teste para taxa:

1. Estabelecer as hipóteses.

Fixamos  \lambda = \lambda_0 $. Dependendo da informação que fornece o problema que estivermos estudando, a hipótese alternativa pode ter uma das três formas abaixo: 

\lambda\neq\lambda_0 \quad \text{(teste bilateral)};\]

\lambda \ \textgreater \ \lambda_0 \quad \text{(teste unilateral à direita)};\]

\lambda \ \textless \ \lambda_0 \quad \text{(teste unilateral à esquerda)};\]

2. Fixar o nível de significância $ \alpha $.

3. Determinar a região crítica.

  • Se o teste é bilateral, determinamos os pontos críticos $ Z_{\alpha/2} $ e $ -Z_{\alpha/2} $ tais que 
    \[\mathbb{P}[Z \ \textgreater \ Z_{\alpha/2}] = \mathbb{P}[Z\ \textless \ -Z_{\alpha/2}]=\frac{\alpha}{2}\]

  • Se o teste é unilateral à direita, determinamos o valor crítico $ Z_{\alpha} $ tal que 
    \[\mathbb{P}[Z \ \textgreater \ Z_{\alpha}]=\alpha\]

  • Se o teste é unilateral à esquerda, determinamos o valor crítico $ -Z_{\alpha} $ tal que 
    \[\mathbb{P}[Z \ \textless \ -Z_{\alpha}]=\alpha\]

4. Calcular, sob a hipótese nula, o valor 

\[Z_{\text{obs}}=\frac{\hat{\lambda}-\lambda_0}{\sqrt{\lambda_0/n}}.\]

5. Critério:

  • Teste bilateral: Se $ Z_{\text{obs}} \ \textgreater \ Z_{\alpha/2} $ ou se $ Z_{\text{obs}} \ \textless \ -Z_{\alpha/2} $, rejeitamos $ H_0 $. Caso contrário, não rejeitamos $ H_0 $.
  • Teste unilateral à direita: Se $ Z_{\text{obs}} \ \textgreater \ Z_{\alpha} $, rejeitamos $ H_0 $. Caso contrário, não rejeitamos $ H_0 $.
  • Teste unilateral à esquerda: Se $ Z_{\text{obs}} \ \textless \ -Z_{\alpha} $, rejeitamos $ H_0 $. Caso contrário, não rejeitamos $ H_0 $.

6. O p-valor é dado por 

\[\text{p-valor} = \mathbb{P}[|Z| \ \textgreater \ |Z_{\text{obs}}||H_0]=2\mathbb{P}[Z \ \textgreater \ |Z_{\text{obs}}| |H_0]\]

no caso bilateral.

No caso unilateral à direita é determinado por 

\[\text{p-valor} = \mathbb{P}[Z \ \textgreater \ Z_{\text{obs}}| H_0]\]

e no caso unilateral à esquerda, por 

\[\text{p-valor} = \mathbb{P}[Z \ \textless \ Z_{\text{obs}} | H_0].\]

7. Como vimos na Seção 4.3 , o intervalo de confiança para o parâmetro $ \lambda $ é dado por 

\[IC(\lambda,1-\alpha)=\left(\hat{\lambda}-Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{\lambda}}{n}};\hat{\lambda}+Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{\lambda}}{n}}\right).\]

se o teste é bilateral. Caso o teste seja unilateral à direita, então o intervalo de confiança para o parâmetro $ \lambda $ é dado por 

\[IC(\lambda,1-\alpha)=\left(\hat{\lambda}-Z_{\alpha}\sqrt{\frac{\hat{\lambda}}{n}};\infty\right)\]

e se o teste é unilateral à esquerda, então o intervalo de confiança para o parâmetro é dado por 

\[IC(\lambda,1-\alpha)=\left(0;\hat{\lambda}+Z_{\alpha}\sqrt{\frac{\hat{\lambda}}{n}}\right)\]

8. O erro do tipo II é calculado ao se aceitar $ H_0 $ quando esta é falsa ($ H_1 $ é verdadeira). 

\[\mathbb{P}[\hbox{Erro do tipo II}]=\mathbb{P}[\hbox{Aceitar} H_0| H_1 \hbox{é verdadeira}]=\beta.\]

9. O poder do teste é calculado por: 1 menos a probabilidade de erro do tipo II, ou seja 

\[\text{Poder} \ = 1-\beta.\]

Como trata-se de um teste normal, para o cálculo do poder ou do tamanho amostral, utilizamos as mesmas técnicas utilizadas para o teste para a média com variância conhecida, ou seja, no Action, se queremos calcular o poder do teste, lançamos como parâmetro o tamanho da amostra ($ n $), a diferença ($ \delta $), o nível de significância ($ \alpha $) e o desvio-padrão ($ \sigma $). Analogamente, podemos calcular o tamanho amostral necessário para que o teste detecte uma diferença específica com determinado poder.

Exemplo 5.4.1:

O gerente de produção de uma empresa tem como objetivo avaliar a performance de uma nova metodologia de ensino para novos operários contratados. Com a metodologia antiga, tem-se uma taxa média de $ 4 $ erros por operário na primeira semana de trabalho. Em uma amostra de $ 25 $ operários foi aplicada a nova metodologia e observou-se que a média foi de $ 5 $ erros por semana. Com essas informações podemos falar que há diferença significativa entre a antiga e a nova metodologia?

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

1. Primeiro, vamos estabelecer as hipóteses: 

 \lambda \ \textless \ 4\end{array}\right.\]

uma vez que estamos querendo testar se a nova metodologia é melhor que a antiga, isto é, se ela possui uma taxa média de erros menor que a antiga.

2. Fixemos o nível de significância $ \alpha = 0,05 $.

3. Como $ \alpha = 0,05 $, $ -Z_{\alpha}=-Z_{0,05}=-1,64 $.

4. Temos que $ \hat{\lambda} = 5 $ e, sob a hipótese nula, $ \lambda_0=4 $. Assim, 

\[Z_{\text{obs}}=\frac{5-4}{\sqrt{4/25}}=2,5.\]

5. Conclusão: como $ Z_{\text{obs}} = 2,5 \ \textgreater \ -1,64 $, não rejeitamos $ H_0 $. Assim, não temos evidências de que a taxa média de erros da nova metodologia é menor que a antiga.

6. Vamos agora calcular o p-valor: 

\[\text{p-valor} \ = \mathbb{P}[Z \ \textless \ Z_{\text{obs}}|H_0]=\mathbb{P}[Z \ \textless \ 2,5|H_0]=0,9937903.\]

7. Como $ n=25 $, $ \hat{\lambda} = 5 $ e $ Z_{\alpha/2} = 1,64 $, temos que o intervalo de confiança é dado por 

\[\left(0;5+1,64\sqrt{\frac{5}{25}}\right)=(0;5,735601).\]

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

Utilizando o software Action, vamos calcular o poder do teste em detectar uma diferença $ \delta = -1 $. Como o desvio padrão é $ \sigma = 2 $, o tamanho da amostra é $ n= 25 $ e o nível de significância é $ \alpha = 0,05 $, temos os seguintes resultados.

O gráfico é mostrado na figura abaixo

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo 

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

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