5.5 - Teste para variância

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Seja $X_1,X_2,\ldots,X_n$ uma amostra aleatória de tamanho $n$ retirada de uma população normal $N(\mu,\sigma^2)$. Suponha que desejamos testar uma hipótese sobre a variância $\sigma^2$ desta população.

Usando o Corolário 2.3.3, sabemos que a estatística \[Q=\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}\]

tem distribuição qui-quadrado com $n-1$ graus de liberdade. Denotamos $Q \sim \chi_{(n-1)}^2$. Para executar este tipo de teste, podemos seguir os passos:

1. Estabelecer uma das hipóteses (bilateral, unilateral à direita ou unilateral à esquerda) \[\left\{\begin{array}{l}H_0:\sigma^2=\sigma_0^2\\H_1:\sigma^2\neq\sigma_0^2\end{array}\right. \quad \left\{\begin{array}{l}H_0:\sigma^2=\sigma_0^2\\H_1:\sigma^2 \ \textgreater \ \sigma_0^2\end{array}\right. \ \hbox{ou} \ \left\{\begin{array}{l}H_0:\sigma^2=\sigma_0^2\\H_1:\sigma^2 \ \textless \ \sigma_0^2\end{array}\right.\]

OBS: As hipóteses $H_0$ podem ser substituídas por $H_0:\sigma^2 \geq \sigma_0^2$, $H_0:\sigma^2\leq\sigma_0^2$, $H_0:\sigma^2 \ \textgreater \ \sigma_0^2$ ou $H_0:\sigma^2 \ \textless \ \sigma_0^2$.

2. Fixar o nível de significância $\alpha$.

3. Determinar a região crítica.

  • Se o teste é bilateral, devemos determinar os pontos críticos $Q_{\alpha/2}$ e $Q_{1-\alpha/2}$ tais que $\mathbb{P}[Q \ \textless \ Q_{\alpha/2}]=\alpha/2$ e $\mathbb{P}[Q \ \textgreater \ Q_{1-\alpha/2}]=\alpha/2$ utilizando a tabela da distribuição qui-quadrado com $n-1$ graus de liberdade.

  • Se o teste é unilateral à direita, devemos determinar o ponto crítico $Q_{1-\alpha}$ tal que $\mathbb{P}[Q \ \textgreater \ Q_{1-\alpha}]=\alpha$. 

  • Se o teste é unilateral à esquerda, devemos determinar o ponto crítico $Q_{\alpha}$ tal que $\mathbb{P}[Q \ \textless \ Q_{\alpha}]=\alpha$.

4. Calcular, sob a hipótese nula, o valor \[Q_{\text{obs}}=\frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2}\]

5. Critério:

  • Teste bilateral: Se $Q_{\text{obs}} \ \textgreater \ Q_{\alpha/2}$ ou se $Q_{\text{obs}} \ \textless \ Q_{1-\alpha/2}$, rejeitamos $H_0$. Caso contrário, não rejeitamos $H_0$.
  • Teste unilateral à direita: se $Q_{\text{obs}} \ \textgreater \ Q_{1-\alpha}$, rejeitamos $H_0$. Caso contrário, não rejeitamos $H_0$.
  • Teste unilateral à esquerda: se $Q_{\text{obs}} \ \textless \ Q_{\alpha}$, rejeitamos $H_0$. Caso contrário, não rejeitamos $H_0$.

6. O p-valor é dado por \[\text{p-valor} = 2\min(\mathbb{P}[Q \ \textgreater \ Q_{\text{obs}}|H_0],\mathbb{P}[Q \ \textless \ Q_{\text{obs}}|H_0])\]

no caso bilateral.

No caso unilateral à direita, o p-valor é dado por \[\text{p-valor} = \mathbb{P}[Q \ \textgreater \ Q_{\text{obs}}|H_0]\]

e, no caso unilateral à esquerda, o p-valor é dado por \[\text{p-valor} = \mathbb{P}[Q \ \textless \ Q_{\text{obs}}|H_0].\]

7. Como vimos na Seção 4.4, o intervalo de confiança para a variância populacional $\sigma^2$ é dado por \[IC(\sigma^2,1-\alpha)=\left(\frac{(n-1)s^2}{Q_{1-\alpha/2}};\frac{(n-1)s^2}{Q_{\alpha/2}}\right)\]

se o teste é bilateral. Se o teste é unilateral à direita, o intervalo de confiança é dado por \[IC(\sigma^2,1-\alpha)=\left(\frac{(n-1)s^2}{Q_{1-\alpha}};\infty\right)\]

e se o teste é unilateral à esquerda, o intervalo de confiança é dado por \[IC(\sigma^2,1-\alpha)=\left(0;\frac{(n-1)s^2}{Q_{\alpha}}\right).\]

Exemplo 5.5.1:

Uma máquina de preenchimento automático é utilizada para encher garrafas com detergente líquido. Uma amostra aleatória de $20$ garrafas resulta em uma variância da amostra do volume de enchimento de $s^2 = 0,0153 \ \text{onça fluída}^2$. Se a variância do volume de enchimento exceder $0,01 \ \text{onças fluídas}^2$, existirá uma proporção inaceitável de garrafas cujo enchimento não foi completo ou foi em demasia. Há evidência nos dados da amostra sugerindo que o fabricante tenha um problema com garrafas com falta ou excesso de detergente? Use $\alpha = 0,05$ e considere que o volume de enchimentos tem distribuição normal.

O parâmetro de interesse é a variância da população

1. Primeiro vamos estabelecer as hipóteses: \[\left\{\begin{array}{l}H_0:\sigma^2=0,01\\H_1:\sigma_2 \ \textgreater \ 0,01\end{array}\right.\]

2. Como $\alpha = 0,05$ temos que $Q_{0,95} = 30,14$.

3. Critério: Rejeitar $H_0$ se $Q_{\text{obs}} \ \textgreater \ 30,14$.

4. Calcular $Q_{\text{obs}}$, dado por \[Q_{\text{obs}}=\frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2}=\frac{19(0,0153)}{0,01}=29,07\]

5. Conclusão: como $Q_{\text{obs}} = 29,07 \ \textless \ 30,14$, a hipótese nula não deve ser rejeitada. Ou seja, não há evidências de que a variância do volume de enchimento exceda $0,01 \ \text{onça fluída}^2$.

6. Vamos agora calcular o p-valor: \[\text{p-valor} = \mathbb{P}[Q \ \textgreater \ Q_{\text{obs}}] = \mathbb{P}[Q \ \textgreater \ 29,07] = 0,064892.\]

7. Como $n = 20$, $s^2 = 0,0153$ e $Q_{0,95} = 30,14$, segue que o intervalo de confiança para $\sigma^2$ com 95% de confiança é dado por \[IC(\sigma^2,95\%)=\left(\frac{(n-1)s^2}{Q_{0,95}};\infty\right)=(0,00964,\infty).\]

Inferência

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