5.6 - Teste para comparação de duas variâncias (Teste F)

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Suponha que queremos comparar as variâncias $ \sigma_1^2 $ e $ \sigma_2^2 $ de duas populações Normais independentes. Para isso, retiramos uma amostra aleatória $ X_1,X_2,\ldots,X_{n_1} $ da população 1, com distribuição $ N(\mu_1,\sigma_1^2) $, e uma amostra $ Y_1,Y_2,\ldots,Y_{n_2} $ da população 2, com distribuição $ N(\mu_2,\sigma_2^2) $.

Como vimos anteriormente, 

\[Q_1=\frac{(n_1-1)}{\sigma_1^2}s_1^2\sim\chi_{n_1-1}^2 \quad \hbox{(Qui-quadrado com} \ n_1-1 \ \hbox{graus de liberdade)}\]

\[Q_2=\frac{(n_2-1)}{\sigma_2^2}s_2^2\sim\chi_{n_2-1}^2 \quad \hbox{(Qui-quadrado com} \ n_2-1 \ \hbox{graus de liberdade)}\]

onde $ s_1^2 $ é a variância amostral da população 1 e $ s_2^2 $ a variância amostral da população 2. Neste caso, a expressão $ F $ definida por 

\[F=\frac{\frac{Q_1}{n_1-1}}{\frac{Q_2}{n_2-1}}=\frac{\frac{s_1^2}{\sigma_1^2}}{\frac{s_2^2}{\sigma_2^2}}=\frac{s_1^2}{s_2^2}\frac{\sigma_2^2}{\sigma_1^2}\]

tem distribuição $ F $ de Snedecor com $ n_1-1 $ graus de liberdade no numerador e $ n_2-1 $ graus de liberdade no denominador, a qual denotamos por $ F_{(n_1-1;n_2-1)} $.

Para executar o teste, podemos realizar os seguintes passos:

1. Estabelecer uma das seguintes hipóteses 

\sigma_1^2 \ \textless \ \sigma_2^2\end{array}\right.\]

que são equivalentes às hipóteses 

\dfrac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2} \ \textless \ 1\end{array}\right.\]

2. Fixar o nível de significância $ \alpha $.

3. Determinar a região crítica.

  • Se o teste é bilateral, devemos determinar os pontos críticos $ F_{\alpha/2} $ e $ F_{1-\alpha/2} $ da distribuição $ F $ com $ n_1-1 $ graus de liberdade no numerador e $ n_2-1 $ graus de liberdade no denominador usando a tabela da distribuição Fisher-Snedecor de modo que $ \mathbb{P}[F \ \textless \ F_{\alpha/2}]=\mathbb{P}[F \ \textgreater \ F_{1-\alpha/2}]=\alpha/2 $.

  

  • Se o teste é unilateral à direita, determinamos o ponto $ F_{1-\alpha} $ tal que $ \mathbb{P}[F \ \textgreater \ F_{1-\alpha}]=\alpha $.

  • Se o teste é unilateral à esquerda, determinamos o ponto $ F_{\alpha} $ tal que $ \mathbb{P}[F \ \textless \ F_{\alpha}]=\alpha $.

4. Calcular, sob a hipótese nula, o valor 

\[F_{obs}=\frac{s_1^2}{s_2^2}\]

5. Critério:

  • Teste bilateral: Se $ F_{obs} \ \textgreater \ F_{1-\alpha/2} $ ou $ F_{obs} \ \textless \ F_{\alpha/2} $ devemos rejeitar $ H_0 $, caso contrário, não rejeitamos $ H_0 $.
  • Teste unilateral à esquerda: Se $ F_{obs} \ \textless \ F_{\alpha} $ devemos rejeitar $ H_0 $. Caso contrário, não rejeitamos $ H_0 $.
  • Teste unilateral à direita: Se $ F_{obs} \ \textgreater \ F_{1-\alpha} $ devemos rejeitar $ H_0 $. Caso contrário, não rejeitamos $ H_0 $.

6. O p-valor é dado por 

\[\text{p-valor} \ = 2\min\{\mathbb{P}[F \ \textgreater \ F_{\text{obs}}|H_0]; \mathbb{P}[F \ \textless \ F_{\text{obs}}|H_0]\}.\]

no teste bilateral. Já no teste unilateral à direita, o p-valor é dado por 

\[\text{p-valor} \ = \mathbb{P}[F \ \textgreater \ F_{\text{obs}}|H_0]\]

e, no teste unilateral à esquerda, o p-valor é dado por 

\[\text{p-valor} \ = \mathbb{P}[F \ \textless \ F_{\text{obs}}|H_0]\]

7. O intervalo de confiança para a razão entre as variâncias, como vimos na Seção 4.5, é dado por 

\[IC\left(\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2},1-\alpha\right)=\left(\frac{1}{F_{(1-\alpha/2)}}\frac{s_1^2}{s_2^2};\frac{1}{F_{(\alpha/2)}}\frac{s_1^2}{s_2^2}\right)\]

se o teste é bilateral. Caso o teste seja unilateral à direita, então o intervalo de confiança para a razão entre as variâncias é dado por 

\[IC\left(\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2},1-\alpha\right)=\left(\frac{1}{F_{1-\alpha}}\frac{s_1^2}{s_2^2};\infty\right)\]

e, se o teste é unilateral à esquerda, então o intervalo de confiança para a razão entre as variâncias é dado por 

\[IC\left(\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2},1-\alpha\right)=\left(0,\frac{1}{F_{\alpha}}\frac{s_1^2}{s_2^2}\right).\]

Exemplo 5.6.1:

Um analista da qualidade quer avaliar se existe diferença entre as variabilidades na produção de eixo comando desenvolvido por dois sistemas de usinagem. A Tabela a seguir apresenta as medições de duas populações independentes com distribuição Normal. Podemos dizer que as variâncias de ambas são iguais?

Sistema de usinagem 1   Sistema de usinagem 2  
18,7997 18,7545 19,1688 21,1609 24,7531 25,0589
20,5035 19,2026 19,2898 26,1371 25,7219 22,1119
18,6214 18,4187 22,0590 21,4737 22,6389 20,3069
19,9192 20,7641 18,5854 30,9934 26,2308 23,6758
21,117 21,0553 17,8896 22,8421 26,7998 27,1201
20,8353 17,5905   24,4133 28,4708 29,6136
17,527 18,7561   20,4137 26,9941 25,9948
17,078 18,9772   25,5475 25,1489 18,223
17,6197 20,3084   21,8791 24,6179 23,7336
21,4255 18,8988   22,6706 27,0194 22,4208

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

Da amostra 1, temos que 

\[\overline{x}_1=\frac{18,7997+\ldots+21,0553}{25}=19,3266\]

\[s_1=\sqrt{\frac{(18,7997-19,3266)^2+\ldots+(21,0553-19,3266)^2}{25-1}}=1,36234\]

Da amostra 2, temos que 

\[\overline{x}_2=\frac{21,1609+\ldots+22,4208}{30}=24,4729\]

\[s_2=\sqrt{\frac{(21,1609-24,4729)^2+\ldots+(22,4208-24,4729)^2}{30-1}}=2,88760\]

Vamos estabelecer as hipóteses 

\sigma_1^2\neq\sigma_2^2\end{array}\right.\]

Fixemos o nível de significância $ \alpha = 0,05 $.

Como $ s_1 = 1,36 $ e $ s_2 = 2,89 $ temos que 

\[F_{obs}=\frac{(1,36)^2}{(2,89)^2}=0,223.\]

Observando a tabela da distribuição Fisher-Snedecor com $ 24 $ graus de liberdade no numerador e $ 29 $ no denominador temos que $ F_{(24;29;0,975)} = 2,154 $ e $ F_{(24;29;0,025)} = 0,451 $.

Como $ F_{\text{obs}}=0,223 \ \textless \ F_{(24;29;0,025)} = 0,451 $, rejeitamos $ H_0 $.

Agora vamos calcular o p-valor. 

\[\text{p-valor} = 2\min\{\mathbb{P}[F \ \textgreater \ 0,223 | H_0];\mathbb{P}[F \ \textless \ 0,223 | H_0]\}=0,000358.\]

O intervalo de confiança é dado por 

\[IC(\sigma_1^2/\sigma_2^2,1-\alpha)=\left(\frac{1}{2,154}\times\frac{1,8496}{8,3347};\frac{1}{0,451}\times\frac{1,8496}{8,3347}\right)=(0,103;0,494).\]

uma vez que o teste é bilateral.

Veja a seguir os resultados obtidos pelo software Action.

 

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

Inferência

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