5.7 - Teste para comparação de duas médias (Teste t)

Suponha que queremos comparar duas médias de duas populações independentes e ambas com distribuição Normal. Da população 1 retiramos uma amostra aleatória $X_1,X_2,\ldots,X_{n_1}$ de tamanho $n_1$ e da população 2 retiramos uma amostra aleatória $Y_1,Y_2,\ldots,Y_{n_2}$ de tamanho $n_2$.

Vamos supor que $X\sim N(\mu_1,\sigma_1^2)$ e $Y\sim N(\mu_2,\sigma_2^2)$. Assim temos que \[\overline{X}\sim N\left(\mu_1,\frac{\sigma_1^2}{n_1}\right) \quad \hbox{e} \quad \overline{Y}\sim N\left(\mu_2,\frac{\sigma_2^2}{n_2}\right).\]

Além disso, \[\overline{X}-\overline{Y}\sim N\left(\mu_1-\mu_2,\frac{\sigma_1^2}{n_1}+ \frac{\sigma_2^2}{n_2} \right).\]

Consideramos dois casos distintos para o teste de hipóteses para comparação de duas médias. O primeiro caso em que temos as variâncias das populações desconhecidas, porém iguais e o segundo caso em que temos as variâncias desconhecidas e distintas.