5.7.2 - Comparação de médias: variâncias diferentes

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Vejamos agora como realizar um teste para igualdade das médias tendo variâncias desconhecidas e diferentes ($ \sigma_1^2\neq\sigma_2^2 $).

Para isto consideramos a variável $ T $ tal que 

\[T=\frac{(\overline{X}-\overline{Y})-(\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}}\sim t_{\nu}\]

ou seja, a variável $ T $ dada tem distribuição $ t $ de Student com $ \nu $ graus de liberdade, onde 

\[\nu=\frac{\left(\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{\frac{\left(\frac{s_1^2}{n_1}\right)^2}{n_1-1}+\frac{\left(\frac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{n_2-1}}.\]

Na prática, podemos seguir os passos

1. Estabelecer as hipóteses 

\mu_1 \ \textless \ \mu_2\end{array}\right.\]

ou as hipóteses equivalentes 

\mu_1-\mu_2 \ \textless \ 0\end{array}\right.\]

2. Fixar o nível de significância $ \alpha $.

3. Determinar a região crítica.

  • Se o teste é bilateral, devemos determinar os pontos críticos $ -t_{\alpha/2} $ e $ t_{\alpha/2} $ da distribuição $ t $ de Student com $ \nu $ graus de liberdade tais que $ \mathbb{P}[T \ \textgreater \ t_{\alpha/2}]=\mathbb{P}[T \ \textless \ -t_{\alpha/2}]=\alpha/2 $.

  • Se o teste é unilateral à direita, determinamos o ponto crítico $ t_{\alpha} $ tal que $ \mathbb{P}[T \ \textgreater \ t_{\alpha}]=\alpha $.

  • Se o teste é unilateral à esquerda, determinamos o ponto crítico $ -t_{\alpha} $ tal que $ \mathbb{P}[T \ \textless \ -t_{\alpha}] = \alpha $.

4. Calcular, sob $ H_0 $, 

\[T_{\text{obs}}=\frac{(\overline{x}-\overline{y})}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}}.\]

5. Conclusão:

  • Teste bilateral: Se $ T_{\text{obs}} \ \textless \ -t_{\alpha/2} $ ou $ T_{\text{obs}} \ \textgreater \ t_{\alpha/2} $, rejeitamos $ H_0 $. Caso contrário, não rejeitamos $ H_0 $.
  • Teste unilateral à esquerda: Se $ T_{\text{obs}} \ \textless \ -T_{\alpha} $ rejeitamos $ H_0 $. Caso contrário, não rejeitamos $ H_0 $.
  • Teste unilateral à direita: Se $ T_{\text{obs}} \ \textgreater \ T_{\alpha} $ rejeitamos $ H_0 $. Caso contrário, não rejeitamos $ H_0 $.

6. Temos que o p-valor é dado por 

\[\hbox{p-valor} = \mathbb{P}[|t| \ \textgreater \ |T_{\text{obs}}||H_0]=2\mathbb{P}[t \ \textgreater \ |T_{\text{obs}}| | H_0]\]

se o teste é bilateral. Se o teste é unilateral à direita o p-valor é dado por 

\[\hbox{p-valor} = \mathbb{P}[t \ \textgreater \ T_{\text{obs}}|H_0]\]

e se o teste é unilateral à esquerda, o p-valor é dado por 

\[\hbox{p-valor} = \mathbb{P}[t \ \textless \ T_{\text{obs}}|H_0]\]

onde $ t $ tem distribuição $ t $ de Student com $ \nu $ graus de liberdade.

7. O intervalo de confiança, como visto na Seção 4.6.3 é dado por 

\[IC(\mu_1-\mu_2,1-\alpha)=\left((\overline{X}-\overline{Y})-t_{(\nu,\alpha/2)}\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}};(\overline{X}-\overline{Y})+t_{(\nu,\alpha/2)}\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}\right)\]

se o teste é bilateral. Caso o teste seja unilateral à esquerda, o intervalo de confiança é dado por 

\[IC(\mu_1-\mu_2,1-\alpha)=\left(-\infty;(\overline{X}-\overline{Y})+t_{(\nu,\alpha)}\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}\right)\]

e, se o teste é unilateral à direita, então o intervalo de confiança é dado por 

\[IC(\mu_1-\mu_2,1-\alpha)=\left((\overline{X}-\overline{Y})-t_{(\nu,\alpha)}\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}};\infty\right).\]

Exemplo 5.7.2.1:

Compare as médias das amostras dadas no Exemplo 5.6.1, considerando que as variâncias são desconhecidas e diferentes.

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

1. Inicialmente estabelecemos as hipóteses 

\mu_1\neq\mu_2\end{array}\right.\]

que são equivalentes às hipóteses 

\mu_1-\mu_2\neq0\end{array}\right.\]

A partir dos dados, temos que a média e o desvio padrão da amostra 1 são $ \overline{x} = 19,3267 $ e $ s_1 = 1,36228 $, respectivamente. A média e o desvio padrão da amostra 2 são $ \overline{y} = 24,4729 $ e $ s_2 = 2,8876 $, respectivamente. O tamanho de cada amostra é $ n_1 = 25 $ e $ n_2 = 30 $. Com isso, temos que a quantidade de graus de liberdade é dada por: 

\[\nu=\frac{\left(\frac{(1,36228)^2}{25}+\frac{(2,8876)^2}{30}\right)^2}{\frac{\left(\frac{(1,36228)^2}{25}\right)^2}{25-1}+\frac{\left(\frac{(2,8876)^2}{30}\right)^2}{30-1}}=42,86563.\]

2. Fixamos o nível de significância $ \alpha = 0,05 $.

3. Como o teste é bilateral e temos $ \nu=42,86563 $ graus de liberdade, segue que os pontos críticos são $ -t_{0,025} = -2,017 $ e $ t_{0,025} = 2,017 $.

4. Calculamos a estatística $ T_{\text{obs}} $

\[T_{\text{obs}}=\frac{(19,3267-24,4729)}{\sqrt{\left(\frac{(1,36228)^2}{25}+\frac{(2,8876)^2}{30}\right)}}=-8,6734.\]

5. Como $ T_{\text{obs}} \ \textless \ -2,017 $, rejeitamos a hipótese de que as médias $ \mu_1 $ e $ \mu_2 $ são iguais.

O p-valor é dado por 

\[\text{p-valor}=\mathbb{P}[|t| \ \textgreater \ |T_{\text{obs}}||H_0]=2\mathbb{P}[t \ \textgreater \ |T_{\text{obs}}| |H_0]=5,53E - 11.\]

Já o intervalo de confiança é 

\[IC(\mu_1-\mu_2,1-\alpha)=\left((\overline{X}-\overline{Y})-t_{(\nu,\alpha/2)}\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}};(\overline{X}-\overline{Y})+t_{(\nu,\alpha/2)}\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}\right),\]

ou seja,  

\[IC(\mu_1-\mu_2,1-\alpha)=(-6,3432;-3,9494).\]

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

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