5.7.2 - Comparação de médias: variâncias diferentes

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Vejamos agora como realizar um teste para igualdade das médias tendo variâncias desconhecidas e diferentes ($\sigma_1^2\neq\sigma_2^2$).

Para isto consideramos a variável $T$ tal que \[T=\frac{(\overline{X}-\overline{Y})-(\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}}\sim t_{\nu}\]

ou seja, a variável $T$ dada tem distribuição $t$ de Student com $\nu$ graus de liberdade, onde \[\nu=\frac{\left(\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{\frac{\left(\frac{s_1^2}{n_1}\right)^2}{n_1-1}+\frac{\left(\frac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{n_2-1}}.\]

Na prática, podemos seguir os passos

1. Estabelecer as hipóteses \[\left\{\begin{array}{l}H_0:\mu_1 = \mu_2\\H_1:\mu_1\neq \mu_2\end{array}\right. \quad \left\{\begin{array}{l}H_0:\mu_1=\mu_2\\H_1:\mu_1 \ \textgreater \ \mu_2\end{array}\right. \ \hbox{ou} \ \left\{\begin{array}{l}H_0:\mu_1=\mu_2\\H_1:\mu_1 \ \textless \ \mu_2\end{array}\right.\]

ou as hipóteses equivalentes \[\left\{\begin{array}{l}H_0:\mu_1-\mu_2=0\\H_1:\mu_1-\mu_2\neq0\end{array}\right. \quad \left\{ \begin{array}{l}H_0:\mu_1-\mu_2=0\\H_1:\mu_1-\mu_2 \ \textgreater \ 0\end{array}\right. \ \hbox{ou} \ \left\{\begin{array}{l}H_0:\mu_1-\mu_2=0\\H_1:\mu_1-\mu_2 \ \textless \ 0\end{array}\right.\]

2. Fixar o nível de significância $\alpha$.

3. Determinar a região crítica.

  • Se o teste é bilateral, devemos determinar os pontos críticos $-t_{\alpha/2}$ e $t_{\alpha/2}$ da distribuição $t$ de Student com $\nu$ graus de liberdade tais que $\mathbb{P}[T \ \textgreater \ t_{\alpha/2}]=\mathbb{P}[T \ \textless \ -t_{\alpha/2}]=\alpha/2$.

  • Se o teste é unilateral à direita, determinamos o ponto crítico $t_{\alpha}$ tal que $\mathbb{P}[T \ \textgreater \ t_{\alpha}]=\alpha$.

  • Se o teste é unilateral à esquerda, determinamos o ponto crítico $-t_{\alpha}$ tal que $\mathbb{P}[T \ \textless \ -t_{\alpha}] = \alpha$.

4. Calcular, sob $H_0$, \[T_{\text{obs}}=\frac{(\overline{x}-\overline{y})}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}}.\]

5. Conclusão:

  • Teste bilateral: Se $T_{\text{obs}} \ \textless \ -t_{\alpha/2}$ ou $T_{\text{obs}} \ \textgreater \ t_{\alpha/2}$, rejeitamos $H_0$. Caso contrário, não rejeitamos $H_0$.
  • Teste unilateral à esquerda: Se $T_{\text{obs}} \ \textless \ -T_{\alpha}$ rejeitamos $H_0$. Caso contrário, não rejeitamos $H_0$.
  • Teste unilateral à direita: Se $T_{\text{obs}} \ \textgreater \ T_{\alpha}$ rejeitamos $H_0$. Caso contrário, não rejeitamos $H_0$.

6. Temos que o p-valor é dado por \[\hbox{p-valor} = \mathbb{P}[|t| \ \textgreater \ |T_{\text{obs}}||H_0]=2\mathbb{P}[t \ \textgreater \ |T_{\text{obs}}| | H_0]\]

se o teste é bilateral. Se o teste é unilateral à direita o p-valor é dado por \[\hbox{p-valor} = \mathbb{P}[t \ \textgreater \ T_{\text{obs}}|H_0]\]

e se o teste é unilateral à esquerda, o p-valor é dado por \[\hbox{p-valor} = \mathbb{P}[t \ \textless \ T_{\text{obs}}|H_0]\]

onde $t$ tem distribuição $t$ de Student com $\nu$ graus de liberdade.

7. O intervalo de confiança, como visto na Seção 4.6.3 é dado por \[IC(\mu_1-\mu_2,1-\alpha)=\left((\overline{X}-\overline{Y})-t_{(\nu,\alpha/2)}\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}};(\overline{X}-\overline{Y})+t_{(\nu,\alpha/2)}\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}\right)\]

se o teste é bilateral. Caso o teste seja unilateral à esquerda, o intervalo de confiança é dado por \[IC(\mu_1-\mu_2,1-\alpha)=\left(-\infty;(\overline{X}-\overline{Y})+t_{(\nu,\alpha)}\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}\right)\]

e, se o teste é unilateral à direita, então o intervalo de confiança é dado por \[IC(\mu_1-\mu_2,1-\alpha)=\left((\overline{X}-\overline{Y})-t_{(\nu,\alpha)}\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}};\infty\right).\]

Exemplo 5.7.2.1:

Compare as médias das amostras dadas no Exemplo 5.6.1, considerando que as variâncias são desconhecidas e diferentes.

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

1. Inicialmente estabelecemos as hipóteses \[\left\{\begin{array}{l}H_0:\mu_1=\mu_2\\H_1:\mu_1\neq\mu_2\end{array}\right.\]

que são equivalentes às hipóteses \[\left\{\begin{array}{l}H_0:\mu_1-\mu_2=0\\H_1:\mu_1-\mu_2\neq0\end{array}\right.\]

A partir dos dados, temos que a média e o desvio padrão da amostra 1 são $\overline{x} = 19,3267$ e $s_1 = 1,36228$, respectivamente. A média e o desvio padrão da amostra 2 são $\overline{y} = 24,4729$ e $s_2 = 2,8876$, respectivamente. O tamanho de cada amostra é $n_1 = 25$ e $n_2 = 30$. Com isso, temos que a quantidade de graus de liberdade é dada por: \[\nu=\frac{\left(\frac{(1,36228)^2}{25}+\frac{(2,8876)^2}{30}\right)^2}{\frac{\left(\frac{(1,36228)^2}{25}\right)^2}{25-1}+\frac{\left(\frac{(2,8876)^2}{30}\right)^2}{30-1}}=42,86563.\]

2. Fixamos o nível de significância $\alpha = 0,05$.

3. Como o teste é bilateral e temos $\nu=42,86563$ graus de liberdade, segue que os pontos críticos são $-t_{0,025} = -2,017$ e $t_{0,025} = 2,017$.

4. Calculamos a estatística $T_{\text{obs}}$. \[T_{\text{obs}}=\frac{(19,3267-24,4729)}{\sqrt{\left(\frac{(1,36228)^2}{25}+\frac{(2,8876)^2}{30}\right)}}=-8,6734.\]

5. Como $T_{\text{obs}} \ \textless \ -2,017$, rejeitamos a hipótese de que as médias $\mu_1$ e $\mu_2$ são iguais.

O p-valor é dado por \[\text{p-valor}=\mathbb{P}[|t| \ \textgreater \ |T_{\text{obs}}||H_0]=2\mathbb{P}[t \ \textgreater \ |T_{\text{obs}}| |H_0]=5,53E - 11.\]

Já o intervalo de confiança é \[IC(\mu_1-\mu_2,1-\alpha)=\left((\overline{X}-\overline{Y})-t_{(\nu,\alpha/2)}\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}};(\overline{X}-\overline{Y})+t_{(\nu,\alpha/2)}\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}\right),\]

ou seja,  \[IC(\mu_1-\mu_2,1-\alpha)=(-6,3432;-3,9494).\]

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

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