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Método gráfico é uma técnica utilizada para verificar a adequação de um determinado modelo estatístico aos dados. A técnica que iremos descrever é simples de utilizar e pode ser aplicada a inúmeros tipos de modelos estatísticos. Vamos considerar o modelo Normal com média $\mu$ e variância $\sigma^2$. Para maiores informações sobre a distribuição normal consultar o capítulo 6.2 - Distribuição normal. Se $X\sim N(\mu,\sigma^2)$, a transformação \[Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\]
tem distribuição normal padrão (média zero e variância 1). Vamos denotar a distribuição acumulada de $Z$ por $\Phi$. Se $F$ é a função distribuição acumulada da distribuição normal com média $\mu$ e variância $\sigma^2$, temos que \[F(x)=\mathbb{P}[X \leq x ]=\mathbb{P}\left[Z\leq \frac{x-\mu}{\sigma}\right]=\Phi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right).\]
Aplicando a função $\Phi^{-1}$ em ambos os lados, temos \[\Phi^{-1}(F(x))=\frac{x-\mu}{\sigma}\]
de onde obtemos que \[x=\sigma\Phi^{-1}(F(x))+\mu\]
onde $\Phi^{-1}(F(x))$ é o quantil da distribuição Normal padrão, calculado no ponto $F(x)$. Como a expressão acima tem o formato de uma expressão linear, ao fazermos o gráfico entre $x$ e $\Phi^{-1}(F(x))$ devemos esperar um comportamento linear dos pontos, se a distribuição Normal for realmente adequada. Com isso, podemos construir o Papel de Probabilidade ou QQ-Plot a partir das seguintes etapas:
1) Considere uma amostra $x_1,\ldots,x_n$;
2) Ordene os elementos da amostra, ou seja, $x_{(1)}\leq x_{(2)}\leq\ldots\leq x_{(n)}$;
3) Calcule $n$ valores $d_i = \dfrac{i-a}{n+1-2\cdot a}$, com $i = 1,\ldots,n. ~a= \dfrac{3}{8}$, se $n \leq 10; a= \dfrac{1}{2}$, caso contrário. A correção é necessário para que não tenhamos $d_i=1$, pois neste caso, teríamos que $\phi^{-1} (1) = \infty$. Estas constantes não são padrão, dependendo do autor (ou software de estatísticas) elas podem mudar.
4) Calcule os quantis da distribuição Normal padrão para cada um dos valores $d_i$, isto é, \[\Phi^{-1}(d_{i}),~~i=1, \ldots, n;\]
5.1) (Caso Papel de Probabilidade) Faça um gráfico com os pontos $(x_{(i)}, \Phi^{-1}(d_{i})),~i=1, \ldots, n;$ ou
5.2) (Caso QQ-plot) Faça um gráfico com os pontos $(\Phi^{-1}(d_{i}), x_{(i)}),~i=1, \ldots, n;$ e
avalie a normalidade dos dados. Para isto, devemos verificar o comportamento linear dos pontos. Qunato "mais linear" for o gráfico, melhor a normalidade dos dados.
Avaliar a normalidade dos dados referentes à medição de 10 peças.
1,90642 |
2,10288 |
1,52229 |
2,61826 |
1,42738 |
2,22488 |
1,69742 |
3,15435 |
1,98492 |
1,99568 |
clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo
Ordenando os elementos da amostra, temos que
$x_{(1)}$ | 1,42738 |
$x_{(2)}$ | 1,52229 |
$x_{(3)}$ | 1,69742 |
$x_{(4)}$ | 1,90642 |
$x_{(5)}$ | 1,98492 |
$x_{(6)}$ | 1,99568 |
$x_{(7)}$ | 2,10288 |
$x_{(8)}$ | 2,22488 |
$x_{(9)}$ | 2,61826 |
$x_{(10)}$ | 3,15435 |
Vamos agora calcular os valores $d_i$'s, para $i = 1,\ldots,10$. Temos que, $n=10, a=\frac{3}{8}=0,375$. Os resultados são os seguintes:
\[d_{1}=\frac{1-0,375}{10+1-2\cdot0,375}=0,060976\]
\[d_{2}=\frac{2-0,375}{10+1-2\cdot0,375}=0,158537\]
\[d_{3}=\frac{3-0,375}{10+1-2\cdot0,375}=0,256098\]
\[d_{4}=\frac{4-0,375}{10+1-2\cdot0,375}=0,353659\]
\[d_{5}=\frac{5-0,375}{10+1-2\cdot0,375}=0,451220\]
\[d_{6}=\frac{6-0,375}{10+1-2\cdot0,375}=0,548780\]
\[d_{7}=\frac{7-0,375}{10+1-2\cdot0,375}=0,646341\]
\[d_{8}=\frac{8-0,375}{10+1-2\cdot0,375}=0,743902\]
\[d_{9}=\frac{9-0,375}{10+1-2\cdot0,375}=0,841463\]
\[d_{10}=\frac{10-0,375}{10+1-2\cdot0,375}=0,939024\]
Desta forma, calculando os quantis $\Phi^{-1}(d_i)$ temos que
$x_{(i)}$ | $d_i$ | $\Phi^{-1}(d_i)$ |
1,42738 | 0,060976 | -1,54664 |
1,52229 | 0,158537 | -1,00049 |
1,69742 | 0,256098 | -0,65542 |
1,90642 | 0,353659 | -0,37546 |
1,98492 | 0,45122 | -0,12258 |
1,99568 | 0,54878 | 0,122581 |
2,10288 | 0,646341 | 0,375462 |
2,22488 | 0,743902 | 0,655424 |
2,61826 | 0,841463 | 1,000491 |
3,15435 | 0,939024 | 1,546635 |
Plotando os pontos da forma $(x_{(i)},\Phi^{-1}(d_i))$ temos o papel de probabilidade dado por
Também, se plotando os pontos da forma $(\Phi^{-1}(d_i), x_{(i)},)$ temos o QQ-plot dado por
Como demonstrado acima, a normalidade dos dados está relacionada com a linearidade do gráfico, quanto "mais linear" for o gráfico melhor a normalidade dos dados. No exemplo acima, os pontos estão próximos da reta o que é um bom indicativo da nornalidade dos dados.
Podemos comparar a histograma da distribuição dos dados com a função densidade teórica, neste caso, a distribuição normal com média e desvio padrão correspondentes.
Comparamos a função da distribuição empírica com a função da distribuição acumulada teórica.
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Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário. |
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