6.2 - Teste de Kolmogorov-Smirnov

Grande parte dos problemas que encontramos em estatística são tratados com a hipótese que os dados são retirados de uma população com uma distribuição de probabilidade específica. O formato desta distribuição pode ser um dos objetivos da análise. Por exemplo, suponha que um pequeno número de observações foram retiradas de uma população com distribuição desconhecida e que estamos interessados em testar hipóteses sobre a média desta população. O teste paramétrico tradicional, baseado na distribuição t-student, é obtido sob o hipótese de que a população tem distribuição normal. Nesse sentido, surge a necessidade de certificarmos se essa suposição pode ser assumida. Em alguns casos, assumir a normalidade dos dados é o primeiro passo que tomamos para simplificar nossas análise. Para dar suporte a esta suposição, consideramos, dentre outros, o teste de Kolmogorov - Smirnov.

O teste de Kolmogorov - Smirnov pode ser utilizado para avaliar as hipóteses: \[\left\{\begin{array}{l} H_0: \hbox{Os dados seguem uma distribuição normal} \\ H_1: \hbox{Os dados não seguem uma distribuição normal.}\end{array}\right.\]

Este teste observa a máxima diferença absoluta entre a função de distribuição acumulada assumida para os dados, no caso a Normal, e a função de distribuição empírica dos dados. Como critério, comparamos esta diferença com um valor crítico, para um dado nível de significância.

Considere uma amostra aleatória simples $X_1, X_2 , \cdots , X_n$ de uma população com função de distribuição acumulada contínua $F_X$ desconhecida. A estatística utilizada para o teste é: \[D_n=\sup_x|F(x)-F_n(x)|\]

Esta função corresponde a distância máxima vertical entre os gráficos de $F(x)$ e $F_n(x)$ sobre a amplitude dos possíveis valores de $x$. Em $D_n$ temos que

• $F(x)$ representa a função de distribuição acumulada assumida para os dados;
• $F_n(x)$ representa a função de distribuição acumulada empírica dos dados.

Neste caso, queremos testar a hipótese $H_0 : F_X = F$ contra a hipótese alternativa $H_1 : F_X \neq F$. Para isto, tomamos $X_{(1)}, X_{(2)}, \cdots , X_{(n)}$ as observações aleatórias ordenadas de forma crescente da população com função de distribuição contínua $F_X$. No caso de análise da normalidade dos dados, assumimos $F$ a função de distribuição da normal.

A função de distribuição acumulada assumida para os dados é definida por $F(x_{(i)}) = \mathbb{P}(X\leq x_{(i)})$ e a função de distribuição acumulada empírica é definida por uma função escada, dada pela fórmula: \[F_n(x)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n I_{\{(-\infty,x]\}}(x_{(i)})\]

onde $I_A$ é a função indicadora. A função indicadora é definida da seguinte forma: \[I_{A}=\left\{\begin{array}{l} 1; \ \hbox{se} \ x\in A \\ 0; \ \hbox{caso contrário}\end{array}\right.\]

Observe que a função da distribuição empírica $F_n(x)$ corresponde à proporção de valores menores ou iguais a $x$. Tal função também pode ser escrita da seguinte forma \[\begin{equation*}F_{n}(x)=\left\{\begin{array}{l}0,\mbox{se}~x\textless x_{(1)}\\\frac{k}{n},\mbox{se}~x_{(k)}\leq x\textless x_{(k + 1)}\\1,\hbox{se}~x\textgreater~x_{(n)}\end{array}~~(12)\right.\end{equation*}\]

Sob $H_0$, a distribuição assintótica da estatística de kolmogorov-Smirnov é dada por \[\lim_{n \rightarrow \infty}P\left[\sqrt{n} D_n \leq x\right] = 1-2 \sum_{j=1}^{\infty} (-1)^{j-1} exp^{-2j^2x^2}.\] 

Esta distribuição assintótica é válida quando temos conhecimento completo sobre a distribuição de $H_0$, entretanto, na prática, $H_0$ especifica uma famíla de distribuições de probabilidade. Neste caso, a distribuição assintótica da estatística de Kolmogorov-Smirnov não conhecida e foi determinada via simulação.

Como a função de distribuição empírica $F_n$ é descontínua e a função de distribuição hipotética é contínua, vamos considerar duas outras estatísticas: \[D^+=\sup_{x_{(i)}}|F(x_{(i)})-F_n(x_{(i)})|\]

\[D^-=\sup_{x_{(i)}}|F(x_{(i)})-F_n(x_{(i-1)})|\]

para calcularmos a estatística de kolmogorov-Smirnov. Essas estatísticas medem as distâncias (vertical) entre os gráficos das duas funções, teórica e empírica, nos pontos $x_{(i-1)}$ e $x_{(i)}$. Com isso, podemos utilizar como estatística de teste \[D_n=\max(D^+,D^-)\]

Se $D_n$ é maior que o valor crítico, rejeitamos a hipótese de normalidade dos dados com $(1-\alpha)100\%$ de confiança. Caso contrário, não rejeitamos a hipótese de normalidade.

Resumo das estatísticas de teste.

Tabela 6.2.1: Estatísticas de teste.

OBS: O valor de $\mathbb{P}\left(Z_{(i)}\leq\frac{x_{(i)}-\bar{x}}{s}\right)$ é encontrado na tabela da distribuição normal padrão.

A tabela de valores críticos para a estatística do teste de Komolgorov-Smirnov $(D_n)$ é dada a seguir.

Exemplo 6.2.1:

Avaliar a normalidade dos dados referente a medição de 10 peças.

^{clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo}

Solução:

Após ordenarmos os dados, obtemos o valor de $F_n(x_{(i)})$ fazendo a razão entre a posição $i$ e o valor total de dados, $n$. O valor de $F(x_{(i)})$ é encontrado na tabela da distribuição normal padrão, após transformarmos os dados pela relação \[Z_{(i)}=\frac{x_{(i)}-\overline{x}}{s}\]

onde $\overline{x}$ é a média aritmética e $s$ é o desvio padrão dos dados.

Com isso, \[D_n=\max(0,1770975;0,1086547)=0,1770975.\]

Considerando $\alpha = 0,05$ e $n = 10$, encontramos pela tabela  de valores críticos  o valor $0,41$. Como $D_n = 0,1770975 \ \textless \ 0,41$, não temos evidências para rejeitar a hipótese de normalidade dos dados.

Veja a seguir os resultados obtidos pelo software Action.

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.