3 - Estimadores

Você está aqui

Como já comentamos, a inferência estatística tem por objetivo extrair informações sobre uma população a partir de dados amostrais. Neste contexto, uma das etapas principais da obtenção dessas informações é a estimação dos parâmetros. Considere o seguinte exemplo.

Exemplo 3.1:

Considere novamente o problema em se determinar, em uma população, a proporção de pessoas acima de 40 anos que sofrem de artrite. Vamos imaginar que, de uma amostra de 200 pessoas acima de 40 anos, foi verificado que 12 pessoas têm artrite.

Desta forma, uma estimativa natural para a proporção seria de 12/200 = 6%. É claro que, neste caso, estamos supondo que a amostra representa a população e claro que, caso retirássemos outra amostra da população, possivelmente obteríamos uma estimativa diferente da anterior.

Considerando o caso geral em que temos uma amostra de $ n $ elementos, podemos definir a seguinte variável aleatória 

\[X_i = \left\{\begin{array}{l} 1, \ \hbox{se a i-ésima pessoa na amostra possui artrite} \\ 0, \ \hbox{caso contrário}\end{array}\right.\]

e seja $ p $ a probabilidade da pessoa possuir artrite na população, ou seja, o parâmetro de interesse do estudo. Neste caso, temos que 

\[Y_n = \sum_{i=1}^{n}X_i\]

tem distribuição binomial com parâmetros $ n $ e $ p $ e $ Y_n $ representa o total de indivíduos na amostra que possuem artrite. Desta forma, um possível estimador para a proporção é dado por  

\[\hat{p} = \frac{Y_n}{n} = \sum_{i=1}^{200}\frac{X_i}{200}=\frac{\hbox{pessoas com artrite na amostra}}{\hbox{tamanho amostral}}.\]

Desta forma, se $ Y_n = k $, temos que $ \hat{p} = \frac{k}{n} $ é uma estimativa para a proporção $ p $. Se considerarmos a amostra extraída acima, temos que a estimativa é dada por $ \frac{12}{200} = 6\% $.

Já vimos na Seção 2.2 que $ \hat{p} $ tem distribuição aproximadamente normal com média $ p $ e variância $ p(1-p)/n $, isto é, 

\[\mathbb{E}\left(\hat{p}\right) = p \qquad \text{Var}\left(\hat{p}\right) = \frac{p(1-p)}{n}.\]

Desta forma, podemos concluir que, em média, o estimador $ \hat{p} $ é "igual" (está bastante próximo) de $ p $ e então, dizemos que o $ \hat{p} $ é um estimador não viciado (ou não viesado) de $ p $. Além disso, para amostras grandes, a diferença entre o valor real $ p $ e o estimador $ \hat{p} $ tende a ser pequena, já que, quando $ n \rightarrow\infty $, $ \text{Var}\left(\hat{p}\right) \rightarrow 0 $ e, neste caso, dizemos que $ \hat{p} $ é um estimador consistente de p.

A seguir, verificaremos algumas propriedades das estatísticas utilizadas na inferência e métodos para calcular estimadores, entre eles os métodos de momentos, de mínimos quadrados e de máxima verossimilhança. Em seguida, estudaremos propriedades interessantes de estimadores.

Sobre o Portal Action

O Portal Action é mantido pela Estatcamp - Consultoria Estatística e Qualidade, com o objetivo de disponibilizar uma ferramenta estatística em conjunto com uma fonte de informação útil aos profissionais interessados.

Facebook

CONTATO

  •  Maestro Joao Seppe, 900, São Carlos - SP | CEP 13561-180
  • Telefone: (16) 3376-2047
  • E-Mail: [email protected]