4 - Intervalo de confiança

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Um intervalo de confiança (IC) é um intervalo estimado de um parâmetro de interesse de uma população. Em vez de estimar o parâmetro por um único valor, é dado um intervalo de estimativas prováveis. O quanto estas estimativas são prováveis será determinado pelo coeficiente de confiança $(1-\alpha)$, para $\alpha \in (0, 1)$.

Intervalos de confiança são usados para indicar a confiabilidade de uma estimativa. Por exemplo, um IC pode ser usado para descrever o quanto os resultados de uma pesquisa são confiáveis. Sendo todas as estimativas iguais, uma pesquisa que resulte num IC pequeno é mais confiável do que uma que resulte num IC maior.

Se $U$ e $V$ são estatísticas (isto é, funções da amostra) cuja distribuição de probabilidade dependa do parâmetro $\theta$, e \[\mathbb{P}(U \ \textless \ \theta \ \textless \ V|\theta) = 1-\alpha\]

então o intervalo aleatório $(U,V)$ é um intervalo de confiança com nível $100(1-\alpha)\%$ para $\theta$. Portanto, podemos interpretar o intervalo de confiança como um intervalo que contém os valores "plausíveis" que o parâmetro $\theta$ pode assumir. Assim, a amplitude do intervalo está associada a incerteza que temos a respeito do parâmetro.

Considere $X_1,X_2,\ldots,X_n$ uma amostra aleatória retirada de uma população com distribuição $f_{\theta}$ que depende do parâmetro $\theta$. Por exemplo, tomamos $X_1,X_2,\ldots,X_n$ uma amostra aleatória com distribuição normal com média $\mu$ desconhecida e desvio padrão conhecido $\sigma = 1$. Para propormos um intervalo de confiança para o parâmetro $\theta$, vamos introduzir o conceito de quantidade pivotal. Uma função $Q$ da amostra $(X_1,X_2,\ldots,X_n)$ e do parâmetro $\theta$ cuja distribuição de probabilidade não depende do parâmetro $\theta$ é denominada quantidade pivotal. Desta forma, dado o nível de confiança $1-\alpha$, tomamos \[1-\alpha=\mathbb{P}\left(q_1\leq Q(X_1,X_2,\ldots,X_n;\theta)\leq q_2\right)\]

Se a quantidade pivotal $Q$ for inversível, podemos resolver a inequação acima em relação a $\theta$ e obter um intervalo de confiança.

Motivação

Suponha que queiramos estimar a média $\mu$ de uma população com distribuição normal com variância $\sigma^2$ conhecida. O estimador de máxima verossimilhança para a média populacional $\mu$ é dado pela média amostral $\overline{X}$ de uma amostra de tamanho $n$. Assim, temos a seguinte quantidade pivotal $e=(\overline{X}-\mu)\sim N(0,\sigma^2/n)$. \[\mathbb{P}\left(|e| \ \textless \ 1,96\sigma/\sqrt{n}\right)=0,95\]

\[\mathbb{P}\left(|\overline{X}-\mu| \ \textless \ 1,96\sigma/\sqrt{n}\right)=0,95\]

\[\mathbb{P}\left(\overline{X}-1,96\sigma/\sqrt{n} \ \textless \ \mu \ \textless \ \overline{X}+1,96\sigma/\sqrt{n}\right)=0,95.\]

Para interpretar o intervalo de confiança da média, assumimos que os valores foram amostrados de forma independente e aleatória de um população com distribuição normal com média $\mu$ e variância $\sigma^2$. Dado que estas suposições são válidas, temos 95% de "chance" do intervalo conter o verdadeiro valor da média populacional. Em outras palavras, se produzirmos diversos intervalos de confiança provenientes de diferentes amostras independentes de mesmo tamanho, podemos esperar que aproximadamente 95% destes intervalos devem conter o verdadeiro valor da média populacional.

Inferência

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