Curva de Calibração para dureza de uma peça

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Manual da ferramenta Action sobre a Curva de Calibração

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Se estamos interessados na relação linear de apenas uma variável de entrada com a variável resposta, então temos o caso de Regressão Linear Simples, no caso específico da curva de calibração, quando os testes de diagnósticos não são satisfeitos, temos que adotar um modelo de regressão linear ponderado.

Exemplo: 

Em problemas de tratamento térmico deseja-se estabelecer uma relação entre a temperatura da estufa e uma característica da qualidade (dureza) de uma peça.

Observação Dureza Temperatura
1 137 220
2 137 220
3 137 220
4 136 220
5 135 220
6 135 225
7 133 225
8 132 225
9 133 225
10 133 225
11 128 230
12 124 230
13 126 230
14 129 230
15 126 230
16 122 235
17 122 235
18 122 235
19 119 235
20 122 235

 

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

 

Para ajustarmos uma  Curva de Calibração, vamos realizar os seguintes passos:

1. Primeiramente vamos acessar o menu como descrito a seguir:

Action  Stat $ \blacktriangleright $   Metrologia  $ \blacktriangleright $   Curva de Calibração.

 

2. Após clicarmos em Curva de calibração, será exibida a seguinte tela:

 

3. Com o cursor no campo Conjunto de Dados, selecionamos na planilha de dados as duas colunas contendo os valores das variáveis incluindo os nomes das variáveis. Para fazermos esta seleção, utilizamos o mouse, como mostrado na figura abaixo. Caso desejarmos ler os dados sem os nomes das variáveis, é preciso desabilitar a opção Colunas com Nome, que fica abaixo do campo Conjunto de Dados

 

4. Após selecionarmos o conjunto de dados, clicamos no botão Ler. Consequentemente, os nomes das variáveis lidas aparecerão no campo Variável Resposta como visto na figura abaixo.

 

5. Devemos indicar para o programa qual é a variável resposta. Para isso, no campo Variável Resposta, selecionamos dentre as variáveis lidas qual é a variável resposta. No nosso exemplo específico selecionaremos Dureza.

 

6. Indicado a variável resposta, devemos informar a fórmula do modelo. Como o modelo linear simples possui apenas uma variável explicativa, podemos montar a fórmula de duas maneiras. Modelo linear nos parâmetros, ou seja, $ Y=\beta_0+\beta_1X $ ou polinomial. Caso a escolha seja pelo modelos polinomial de grau 2, o modelo será $ Y=\beta_0+\beta_1 X+\beta_2 X^2. $ Neste caso, selecioamos linear.

 

 

Obs: Neste caso, o intercepto é considerado no modelo. Entretanto podemos considerar o modelo linear simples sem o intercepto. Para isto, basta habilitarmos a opção Sem Intercepto no campo Opções, como mostrado na figura abaixo.

 

7. Em Valores de Predição, podemos calcular os valores de predição (opcional) e consequentemente os intervalos de confiança e os desvios padrão desses valores preditos. Para isto, basta habilitarmos no campo Opções a opção Valores de Predição como mostrado na figura abaixo. Quando habilitarmos esta opção é liberado a seleção das incertezas devido a curva de calibração.

 

8. No campo Incerteza da Curva de Calibração, podemos selecionar dentre as opções Método Ingênuo, Método (Intervalo de Predição), Método da Projeção, Método Delta, Método Fieller. Neste caso, selecionamos todas.

 

9. Para calcularmos o Valor de Previsão de uma nova observação, devemos inicialmente habilitar a opção Valores de Previsão (Novos Dados) como visto na tela abaixo.

 

10. Depois de habilitado, é necessário ler o(s) valor(es) da covariável (Temperatura) para o qual queremos prever a Dureza. Para isso, clicamos com o mouse na janela abaixo de Valores de Previsão (Novos Dados). Com o mouse, selecionamos o(s) valor(es) da covariável incluindo o nome da covariável, como mostrado a seguir.

Obs: Nível de Confiança será o mesmo adotado para os cálculos dos Valores de Predição.

11. Na opção tolerância limite (opcional), podemos calcular a tolerância limite (para limite superior).

12. Na opção LMR (limite máximo residual), podemos definir o valor do limite máximo residual. Neste caso, digitamos 130.

12. Na opção Diagrama de Dispersão (opcional), podemos contruir o gráfico dos valores ajustados e do diagrama de dispersão.

13. Em Nível de confiança, podemos definir o nível de confiança. Neste caso definimos como 0,95 (95%).

14. Clicando no botão Pesos aparecerá uma janela como a seguir. Em seguida, vamos selecionar um peso para ajustarmos a curva de regressão, no nosso exemplo, $ w=\frac{1}{x}. $

15. Clicando no botão Diagnosticar Erros aparecerá uma janela com as opções da análise de diagnóstico dos erros (resíduos). Em seguida, vamos selecionar as análises desejadas, no nosso exemplo, Análise dos Resíduos, Teste de Falta de Ajuste e Pontos Influentes.

 

16. Após indicarmos os passos a serem executado pelo programa, devemos escolher o local onde os resultados serão mostrados. No campo Mostrar Resultados, escolhemos uma das opções. Sugerimos a opção Nova Planilha, como visto na figura abaixo pois o Action não possui o comando desfazer. Ao escolher a opção Célula Atual, os resultados serão impressos a partir da célula em que se encontra o cursor na janela do Excel. Neste caso, o usuário deve posicionar previamente (antes do passo 1) o cursor em uma posição apropriada.

 

 

17. Para finalizar e então ver os resultados, devemos clicar em Ok.

Resultados e Interpretação

Serão exibidos os seguintes resultados:

  • Temos na primeira caixa, a indicação do peso utilizado na análise.
  • Adotando um nível de significância $ \alpha $=5%, temos na primeira tabela (Tabela da ANOVA) que o p-valor$ \textless $0,05 indicando que $ \beta_{1}\neq0 $. Portanto, concluímos que a variável explicativa tem relação linear com a variável resposta ao nível de significância de 5%.  
  • A segunda tabela apresenta uma análise descritiva dos resíduos do modelo, contendo os valores dos quartis, máximos e mínimos, média e mediana. 
  • Na terceira tabela (Coeficientes) temos as estimativas do intercepto e do coeficiente relacionado à variável de entrada. Como o coeficiente da variável de entrada é negativo, concluímos que no intervalo da análise, um aumento na temperatura provoca diminuição na dureza do material. A tabela apresenta também os p-valores para cada coeficiente, em que a hipótese nula é que o coeficiente é não significativo. Como os valores são muito pequenos (aproximadamente 0), rejeitamos a hipótese nula para os coeficientes, indicando que eles são importantes (significativo) para o modelo.
  • A quarta tabela apresenta o $ R^2 $ Ajustado em que podemos ter uma ideia da qualidade do ajuste. Quanto mais próximo do valor 1, melhor. No exemplo, como $ R^2 $ Ajustado é próximo de 1, temos indícios de que o modelo foi capaz de explicar dos dados coletados.
  • Por fim, apresentamos os demais resultados como análise de resíduos, incertezas etc. Para mais detalhes consulte um estudo de caso descrito na seção curva de calibração.

 

Agora, temos o critério para o Diagnóstico dos Resíduos:

  • O primeiro gráfico é um histograma dos resíduos, para termos uma ideia de como eles estão distribuídos;
  • O segundo gráfico é para verificarmos se os resíduos aderem a uma distribuição normal. O gráfico também mostra um teste em que a hipótese nula é de que eles são normais. Nesse exemplo aceitamos a hipótese nula e com isso confirmamos a normalidade dos resíduos;
  • O terceiro gráfico é para verificarmos a homoscedasticidade dos dados em que nossa hipótese inicial para a construção do modelo é de que os erros são homoscedásticos. O critério para análise é que quanto mais aleatório os pontos no gráfico maior o indício de homoscedasticidade. Por outro lado se o gráfico apresentar uma tendência, geralmente em forma de cone, temos um indicativo de heteroscedasticidade. Nesse nosso exemplo temos indicativo de homoscedasticidade;
  • O quarto gráfico indica se os resíduos são independentes, já que para construção do modelo há essa suposição. O critério para análise é que se os pontos estiverem distribuídos no gráfico de forma aleatória é um indicativo de independência, por outro lado se apresentar um padrão é indicativo de dependência nos resíduos. Nesse nosso exemplo temos um indicativo de independência.

 

Temos, em seguida testes para a análise dos resíduos, como teste de normalidade, homoscedasticidade, independência e falta de ajuste.

Quanto à análise de Pontos Atípicos, temos gráficos como Valores Extremos (Outliers) em Y e o gráfico de Resíduos vs. Valor Ajustado e uma tabela com os pontos influentes segundo cada critério utilizado.

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