3.1.1 - Experimentos fatoriais 2^2

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Considere um experimento fatorial completo com somente 2 fatores.

Temos $2^2$ = 4 combinações entre os níveis dos fatores.

Considere o  Exemplo 3.1.1, onde deseja-se estudar o efeito no tempo de uma determinada reação química com a variação de temperatura e concentração de um reagente. Tínhamos que

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

Variável Resposta $Y$: Tempo de Reação
Fatores

$A$: Concentração do Reagente (níveis $V_{-1}=10\%$ e $V_{+1}=20\%$)

$B$: Temperatura (níveis $T_{-1}=80$ºC e $T_{+1}=90$ºC)

Tratamentos

$V_{-1} T_{-1}$ - concentração em $10\%$ e temperatura em $80$ºC $((0))$

$V_{+1} T_{-1} $- concentração em $20\%$ e temperatura em $80$ºC  $ (a)$

$V_{-1} T_{+1} $ - concentração em $10\%$ e temperatura em $90$ºC $(b)$

$V_{+1} T_{+1}$ - concentração em $20\%$ e temperatura em $90$ºC $ (ab)$

(O número de tratamentos é 2k, neste caso 22=4)

Unidade Experimental Período de tempo para cada reação
Réplicas

Repetições do experimento feitas sob as mesmas condições experimentais, no caso do exemplo sob o mesmo nível de temperatura e de reagente. Quanto mais réplicas, mais confiáveis os resultados do experimento.

Considere 3 réplicas deste experimento (completo), com os dados abaixo, e a ordem de execução entre parênteses:

Tratamento A B Y1 Y2 Y3 Y
0 -1 -1 26,6(1) 22,0(7) 22,8(10) 23,8
(a) 1 -1 40,9(4) 36,4(9) 36,7(12) 38
(b) -1 1 11,8(3) 15,9(8) 14,3(11) 14
(ab) 1 1 34,0(2) 29,0(5) 33,6(6) 32,2

Primeiramente fazemos um gráfico com as médias dos valores de $Y$ para os diferentes tratamentos:

Observamos que a melhor configuração seria A- e B+. No entanto, a interação entre A e B pode ser significativa, assim nada podemos concluir neste momento.

Sejam:

  • $\overline{Y}_{A+}$ a média de Y com o fator A no nível + (alto);
  • $\overline{Y}_{A-}$ a média de Y com o fator A no nível - (baixo); e assim para os demais fatores.

Calcula-se o efeito médio do fator A como sendo \[A=\overline{Y}_{A+}-\overline{Y}_{A-}=\frac{ab+a}{2}-\frac{b+(0)}{2}=\frac{32,2+38}{2}-\frac{23,8+14}{2}=16,2\]

e analogamente o efeito médio do fator B é dado por \[B=\overline{Y}_{B+}-\overline{Y}_{B-}=\frac{ab+b}{2}-\frac{a+(0)}{2}=\frac{14+32,2}{2}-\frac{23,8+38}{2}=-7,8.\]

Para encontrar o efeito da interação entre os fatores A e B fazemos \[AB=\frac{ab-a}{2}-\frac{b-(0)}{2}=\frac{32,2-38}{2}-\frac{14-23,8}{2}=-2,9-(-4,9)=2\]

Gráfico de Interações

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Gráfico de Efeitos principais

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