3.1.2 - Análise dos efeitos via ANOVA

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Na análise de um experimento usando a Tabela da ANOVA é possível quantificar a parcela da variabilidade total que é devida a cada fator e à interação entre eles.

Para isto, seja $y_{ijk}$ a k-ésima observação no nível i de A e j de B. Em geral, i = 1, ..., a; j = 1, ...,b; k = 1, ..., r; onde a e b são os números de níveis de A e B, respectivamente e r é o número de réplicas do experimento. No caso de experimentos com 2 níveis para cada fator, a = b = 2.

Fator A Fator B    
1 2  $\ldots$ b Média  
1

 $y_{111},\ldots,y_{11r}$

$s^2_{11}$

 $y_{121},\ldots,y_{12r}$

$s^2_{12}$

 $\ldots$

 $y_{1b1},\ldots,y_{1br}$

$s^2_{1b}$

 $\overline{y}_{1..}$  $s^2_A$
2

 $y_{211},\ldots,y_{21r}$

$s^2_{21}$

 $y_{221},\ldots,y_{22r}$

$s^2_{22}$

 $\ldots$

 $y_{2b1},\ldots,y_{2br}$

$s^2_{2b}$

 $\overline{y}_{2..}$

 

 $\vdots$  $\vdots$  $\vdots$  $\vdots$  $\vdots$  $\vdots$
a

 $y_{a11},\ldots,y_{a1r}$

$s^2_{a1}$

 $y_{a21},\ldots,y_{a2r}$

$s^2_{a2}$

 $\ldots$

 $y_{ab1},\ldots,y_{abr}$

$s^2_{ab}$

 $\overline{y}_{a..}$
Média  $\overline{y}_{.1.}$   $\overline{y}_{.2.}$  $\ldots$  $\overline{y}_{.b.}$  $\overline{y}_{...}$  
 
   $s^2_B$  

Os resultados da tabela são obtidos da seguinte forma:

  • $y_{i\cdot\cdot}=\displaystyle\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{r}y_{ijk}~$, a soma de todas as observações no nível i de A e $\overline{y}_{i\cdot\cdot}=\cfrac{y_{i\cdot\cdot}}{br},~$ a média destas observações, para i = 1, ..., a.
  • $y_{\cdot j\cdot}=\displaystyle\sum_{i=1}^{a}\sum_{k=1}^{r}y_{ijk}~$, a soma de todas as observações no nível j de B e $\overline{y}_{\cdot j\cdot}=\cfrac{y_{\cdot j\cdot} }{ar}$, a média destas observações, para j = 1, ..., b.
  • $y_{i j \cdot}=\displaystyle\sum_{k=1}^{r}y_{ijk}~$, a soma de todas as observações que têm nível i de A e j de B (ao mesmo tempo)  e $~\overline{y}_{i j \cdot}=\cfrac{y_{i j \cdot}}{r},~$ a média destas observações, para i = 1, ..., a; j = 1, ..., b.
  • $y_{\cdot\cdot\cdot}=\displaystyle\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{r} y_{ijk},~$ a soma de todas as observações e $~\overline{y}_{\cdot\cdot\cdot}=\cfrac{y_{\cdot\cdot\cdot}}{abr}~$ a média geral das observações.

Para quantificar a variação referente a cada fator e a interação entre eles é preciso separar a Soma de Quadrados Total (SQT), que representa a variação total. Para isso, vamos mostrar que \[SQ_T = SQ_A + SQ_B + SQ_{AB} + SQ_E\]

onde \[SQ_A=br\sum_{i=1}^{a}(\overline{y}_{i..}-\overline{y}_{...})^{2}=\displaystyle\cfrac{1}{br}\sum_{i=1}^{a}y_{i\cdot\cdot}^2-\cfrac{y_{\cdot\cdot\cdot}^2}{abr}\]

\[SQ_B=ar\sum_{j=1}^{b}(\overline{y}_{. j.}-\overline{y}_{...})^{2}=\displaystyle\cfrac{1}{ar}\sum_{j=1}^{b}y_{\cdot j\cdot}^2-\cfrac{y_{\cdot\cdot\cdot}^2}{abr}\]

e a soma de quadrados do efeito da interação \[SQ_{AB}=r\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(\overline{y}_{ij.}-\overline{y}_{i..}-\overline{y}_{.j.}-\overline{y}_{...})^{2}=\cfrac{1}{r}\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}y_{ij\cdot}^2-\cfrac{y_{\cdot\cdot\cdot}^2}{abr}-SQ_A-SQ_B.\]

Temos também que a Soma de Quadrados Total é dada por  \[SQ_{T}=\displaystyle\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{r}(y_{i j k }-\overline{y}_{\cdot\cdot\cdot})^2=\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{r}y_{ij k }^2-\cfrac{y_{\cdot\cdot\cdot}^2}{abr}\]

e finalmente a Soma de Quadrados dos Erros  \[SQ_{E}=\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{r}(y_{i j k}- \overline{y}_{i j\cdot})^2=\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{r}y_{i jk}^2-\cfrac{1}{r} \sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}y_{i j \cdot}^2.\]

Como estamos trabalhando com experimentos fatoriais $2^2$ então tomando $a=b=2$ temos \[SQ_A=br\displaystyle\sum_{i=1}^{a}(\overline{y}_{i..}-\overline{y}_{...})^2=2 r [(\overline{y}_{2..}-\overline{y}_{...})+(\overline{y}_{1..}-\overline{y}_{...})]^2\]

ou seja,  \[SQ_A= 2 r \left[\left(\overline{y}_{2..}-\frac{\overline{y}_{2..}+\overline{y}_{1..}}{2}\right)+\left(\overline{y}_{1..}-\frac{\overline{y}_{2..}+\overline{y}_{1..}}{2}\right)\right]^2= 2 r\left[\left(\frac{\overline{y}_{2..}-\overline{y}_{1..}}{2}\right)+\left(\cfrac{\overline{y}_{1..}-\overline{y}_{2..}}{2}\right)\right]^2\]

e então, concluímos que \[SQ_A=4 r\left(\displaystyle\cfrac{\overline{y}_{2..}-\overline{y}_{1..}}{2}\right)^2=r(\overline{y}_{2..}-\overline{y}_{1..})^2=r (\mbox{efeito de A})^2\]

Para os experimentos fatoriais $2^2,$ tem-se: \[SQ_A = r (\mbox{efeito de A})^2\]

\[SQ_B=r (\mbox{efeito de B})^2~~\mbox{ e }\]

\[SQ_{AB}=r(\mbox{efeito de AB})^2.\]

Assim, constrói-se a Tabela da ANOVA:

Fonte de Variação Graus de Liberdade Soma de Quadrados Quadrados Médios Estatística F
$A$ $a-1$ $SQ_A$ $QM_A=\displaystyle\frac{SQ_A}{a-1}$ $\displaystyle\frac{QM_A}{QM_E}$
$B$ $b-1$ $SQ_B$ $QM_B=\displaystyle\frac{SQ_B}{b-1}$ $\displaystyle\frac{QM_B}{QM_E}$
$AB$ $(a-1)(b-1)$ $SQ_{AB}$ $QM_{AB}=\displaystyle\frac{SQ_{AB}}{(a-1)(b-1)}$ $\displaystyle\frac{QM_{AB}}{QM_E}$
$Erro$ $ab(r-1)$ $SQ_E$ $QM_{E}=\displaystyle\frac{SQ_{E}}{ab(r-1)}$  
$Total$ $abr-1$ $SQ_T$    

Exemplo 3.2.1.1

Considerando novamente os dados do Exemplo 3.1.1, onde desejava-se estudar os efeitos da temperatura e concentração do reagente no tempo de reação, construiu-se a Tabela da ANOVA para verificar se os efeitos dos fatores e da interação entre eles são significativos.

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

Fonte G.L. Soma de Quadrados Quadrado Médio Estatística F P-valor
A 1 787,32 787,32 129,28 0
B 1 182,52 182,52 29,97 0,0006
A:B 1 12 12 1,97 0,198
Resíduos 8 48,72 6,09    
Total  11 1030,56      

Para o fator A, temos que $F_{obs} = 129,28\textgreater F_{0,95;1;8}=5,32$, portanto o fator A é significativo. Já para o fator B, temos que $F_{obs} = 29,97\textgreater F_{0,95;1;8}=5,32,$, portanto o fator B também é significativo. Mas a interação não é significativa, pois $F_{AB}=1,97\textless F_{0,95;1;8}=5,32$.

Vamos observar as mudanças quando passamos de um nível para o outro: \[\overline{y}_{1..}=(26,6+11,8+22+15,9+22,8+14,3)/6=18,9\]

\[\overline{y}_{2..}=(40,9+34+36,4+29+36,7+33,6)/6=35,1\]

\[\overline{y}_{.1.}=(26,6+40,9+22+36,4+22,8+36,7)/6=30,9\]

\[\overline{y}_{.2.}=(11,8+34+15,9+29+14,3+33,6)/6=23,1\]

Portanto, a melhor configuração para se obter o menor tempo de reação é $A_-$ e $B_+$, ou seja, a concentração em $10\%$ e a temperatura em $90$ºC.

Resultados obtidos pelo software Action.

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