3.1.2 - Análise dos efeitos via ANOVA

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Na análise de um experimento usando a Tabela da ANOVA é possível quantificar a parcela da variabilidade total que é devida a cada fator e à interação entre eles.

Para isto, seja $ y_{ijk} $ a k-ésima observação no nível i de A e j de B. Em geral, i = 1, ..., a; j = 1, ...,b; k = 1, ..., r; onde a e b são os números de níveis de A e B, respectivamente e r é o número de réplicas do experimento. No caso de experimentos com 2 níveis para cada fator, a = b = 2.

Fator A Fator B    
1 2  $ \ldots $ b Média  
1

 $ y_{111},\ldots,y_{11r} $

$ s^2_{11} $

 $ y_{121},\ldots,y_{12r} $

$ s^2_{12} $

 $ \ldots $

 $ y_{1b1},\ldots,y_{1br} $

$ s^2_{1b} $

 $ \overline{y}_{1..} $  $ s^2_A $
2

 $ y_{211},\ldots,y_{21r} $

$ s^2_{21} $

 $ y_{221},\ldots,y_{22r} $

$ s^2_{22} $

 $ \ldots $

 $ y_{2b1},\ldots,y_{2br} $

$ s^2_{2b} $

 $ \overline{y}_{2..} $

 

 $ \vdots $  $ \vdots $  $ \vdots $  $ \vdots $  $ \vdots $  $ \vdots $
a

 $ y_{a11},\ldots,y_{a1r} $

$ s^2_{a1} $

 $ y_{a21},\ldots,y_{a2r} $

$ s^2_{a2} $

 $ \ldots $

 $ y_{ab1},\ldots,y_{abr} $

$ s^2_{ab} $

 $ \overline{y}_{a..} $
Média  $ \overline{y}_{.1.} $   $ \overline{y}_{.2.} $  $ \ldots $  $ \overline{y}_{.b.} $  $ \overline{y}_{...} $  
 
   $ s^2_B $  

Os resultados da tabela são obtidos da seguinte forma:

  • $ y_{i\cdot\cdot}=\displaystyle\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{r}y_{ijk}~ $, a soma de todas as observações no nível i de A e $ \overline{y}_{i\cdot\cdot}=\cfrac{y_{i\cdot\cdot}}{br},~ $ a média destas observações, para i = 1, ..., a.
  • $ y_{\cdot j\cdot}=\displaystyle\sum_{i=1}^{a}\sum_{k=1}^{r}y_{ijk}~ $, a soma de todas as observações no nível j de B e $ \overline{y}_{\cdot j\cdot}=\cfrac{y_{\cdot j\cdot} }{ar} $, a média destas observações, para j = 1, ..., b.
  • $ y_{i j \cdot}=\displaystyle\sum_{k=1}^{r}y_{ijk}~ $, a soma de todas as observações que têm nível i de A e j de B (ao mesmo tempo)  e $ ~\overline{y}_{i j \cdot}=\cfrac{y_{i j \cdot}}{r},~ $ a média destas observações, para i = 1, ..., a; j = 1, ..., b.
  • $ y_{\cdot\cdot\cdot}=\displaystyle\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{r} y_{ijk},~ $ a soma de todas as observações e $ ~\overline{y}_{\cdot\cdot\cdot}=\cfrac{y_{\cdot\cdot\cdot}}{abr}~ $ a média geral das observações.

Para quantificar a variação referente a cada fator e a interação entre eles é preciso separar a Soma de Quadrados Total (SQT), que representa a variação total. Para isso, vamos mostrar que 

\[SQ_T = SQ_A + SQ_B + SQ_{AB} + SQ_E\]

onde 

\[SQ_A=br\sum_{i=1}^{a}(\overline{y}_{i..}-\overline{y}_{...})^{2}=\displaystyle\cfrac{1}{br}\sum_{i=1}^{a}y_{i\cdot\cdot}^2-\cfrac{y_{\cdot\cdot\cdot}^2}{abr}\]

\[SQ_B=ar\sum_{j=1}^{b}(\overline{y}_{. j.}-\overline{y}_{...})^{2}=\displaystyle\cfrac{1}{ar}\sum_{j=1}^{b}y_{\cdot j\cdot}^2-\cfrac{y_{\cdot\cdot\cdot}^2}{abr}\]

e a soma de quadrados do efeito da interação 

\[SQ_{AB}=r\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(\overline{y}_{ij.}-\overline{y}_{i..}-\overline{y}_{.j.}-\overline{y}_{...})^{2}=\cfrac{1}{r}\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}y_{ij\cdot}^2-\cfrac{y_{\cdot\cdot\cdot}^2}{abr}-SQ_A-SQ_B.\]

Temos também que a Soma de Quadrados Total é dada por  

\[SQ_{T}=\displaystyle\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{r}(y_{i j k }-\overline{y}_{\cdot\cdot\cdot})^2=\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{r}y_{ij k }^2-\cfrac{y_{\cdot\cdot\cdot}^2}{abr}\]

e finalmente a Soma de Quadrados dos Erros  

\[SQ_{E}=\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{r}(y_{i j k}- \overline{y}_{i j\cdot})^2=\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{r}y_{i jk}^2-\cfrac{1}{r} \sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}y_{i j \cdot}^2.\]

Como estamos trabalhando com experimentos fatoriais $ 2^2 $ então tomando $ a=b=2 $ temos 

\[SQ_A=br\displaystyle\sum_{i=1}^{a}(\overline{y}_{i..}-\overline{y}_{...})^2=2 r [(\overline{y}_{2..}-\overline{y}_{...})+(\overline{y}_{1..}-\overline{y}_{...})]^2\]

ou seja,  

\[SQ_A= 2 r \left[\left(\overline{y}_{2..}-\frac{\overline{y}_{2..}+\overline{y}_{1..}}{2}\right)+\left(\overline{y}_{1..}-\frac{\overline{y}_{2..}+\overline{y}_{1..}}{2}\right)\right]^2= 2 r\left[\left(\frac{\overline{y}_{2..}-\overline{y}_{1..}}{2}\right)+\left(\cfrac{\overline{y}_{1..}-\overline{y}_{2..}}{2}\right)\right]^2\]

e então, concluímos que 

\[SQ_A=4 r\left(\displaystyle\cfrac{\overline{y}_{2..}-\overline{y}_{1..}}{2}\right)^2=r(\overline{y}_{2..}-\overline{y}_{1..})^2=r (\mbox{efeito de A})^2\]

Para os experimentos fatoriais $ 2^2, $ tem-se: 

\[SQ_A = r (\mbox{efeito de A})^2\]

\[SQ_B=r (\mbox{efeito de B})^2~~\mbox{ e }\]

\[SQ_{AB}=r(\mbox{efeito de AB})^2.\]

Assim, constrói-se a Tabela da ANOVA:

Fonte de Variação Graus de Liberdade Soma de Quadrados Quadrados Médios Estatística F
$ A $ $ a-1 $ $ SQ_A $ $ QM_A=\displaystyle\frac{SQ_A}{a-1} $ $ \displaystyle\frac{QM_A}{QM_E} $
$ B $ $ b-1 $ $ SQ_B $ $ QM_B=\displaystyle\frac{SQ_B}{b-1} $ $ \displaystyle\frac{QM_B}{QM_E} $
$ AB $ $ (a-1)(b-1) $ $ SQ_{AB} $ $ QM_{AB}=\displaystyle\frac{SQ_{AB}}{(a-1)(b-1)} $ $ \displaystyle\frac{QM_{AB}}{QM_E} $
$ Erro $ $ ab(r-1) $ $ SQ_E $ $ QM_{E}=\displaystyle\frac{SQ_{E}}{ab(r-1)} $  
$ Total $ $ abr-1 $ $ SQ_T $    

Exemplo 3.2.1.1

Considerando novamente os dados do Exemplo 3.1.1, onde desejava-se estudar os efeitos da temperatura e concentração do reagente no tempo de reação, construiu-se a Tabela da ANOVA para verificar se os efeitos dos fatores e da interação entre eles são significativos.

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

Fonte G.L. Soma de Quadrados Quadrado Médio Estatística F P-valor
A 1 787,32 787,32 129,28 0
B 1 182,52 182,52 29,97 0,0006
A:B 1 12 12 1,97 0,198
Resíduos 8 48,72 6,09    
Total  11 1030,56      

Para o fator A, temos que $ F_{obs} = 129,28\textgreater F_{0,95;1;8}=5,32 $, portanto o fator A é significativo. Já para o fator B, temos que $ F_{obs} = 29,97\textgreater F_{0,95;1;8}=5,32, $, portanto o fator B também é significativo. Mas a interação não é significativa, pois $ F_{AB}=1,97\textless F_{0,95;1;8}=5,32 $.

Vamos observar as mudanças quando passamos de um nível para o outro: 

\[\overline{y}_{1..}=(26,6+11,8+22+15,9+22,8+14,3)/6=18,9\]

\[\overline{y}_{2..}=(40,9+34+36,4+29+36,7+33,6)/6=35,1\]

\[\overline{y}_{.1.}=(26,6+40,9+22+36,4+22,8+36,7)/6=30,9\]

\[\overline{y}_{.2.}=(11,8+34+15,9+29+14,3+33,6)/6=23,1\]

Portanto, a melhor configuração para se obter o menor tempo de reação é $ A_- $ e $ B_+ $, ou seja, a concentração em $ 10\% $ e a temperatura em $ 90 $ºC.

Resultados obtidos pelo software Action.

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