3.1.2 - Análise dos efeitos via ANOVA - Planejamento de Experimento

Na análise de um experimento usando a Tabela da ANOVA é possível quantificar a parcela da variabilidade total que é devida a cada fator e à interação entre eles.

Para isto, seja $y_{ijk}$ a k-ésima observação no nível i de A e j de B. Em geral, i = 1, ..., a; j = 1, ...,b; k = 1, ..., r; onde a e b são os números de níveis de A e B, respectivamente e r é o número de réplicas do experimento. No caso de experimentos com 2 níveis para cada fator, a = b = 2.

Fator A	Fator B
Fator A	1	2	$\ldots$	b	Média
1	$y_{111},\ldots,y_{11r}$ $s^2_{11}$	$y_{121},\ldots,y_{12r}$ $s^2_{12}$	$\ldots$	$y_{1b1},\ldots,y_{1br}$ $s^2_{1b}$	$\overline{y}_{1..}$	$s^2_A$
2	$y_{211},\ldots,y_{21r}$ $s^2_{21}$	$y_{221},\ldots,y_{22r}$ $s^2_{22}$	$\ldots$	$y_{2b1},\ldots,y_{2br}$ $s^2_{2b}$	$\overline{y}_{2..}$
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
a	$y_{a11},\ldots,y_{a1r}$ $s^2_{a1}$	$y_{a21},\ldots,y_{a2r}$ $s^2_{a2}$	$\ldots$	$y_{ab1},\ldots,y_{abr}$ $s^2_{ab}$	$\overline{y}_{a..}$
Média	$\overline{y}_{.1.}$	$\overline{y}_{.2.}$	$\ldots$	$\overline{y}_{.b.}$	$\overline{y}_{...}$
	$s^2_B$

Os resultados da tabela são obtidos da seguinte forma:

$y_{i\cdot\cdot}=\displaystyle\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{r}y_{ijk}~$ , a soma de todas as observações no nível i de A e $\overline{y}_{i\cdot\cdot}=\cfrac{y_{i\cdot\cdot}}{br},~$ a média destas observações, para i = 1, ..., a.
$y_{\cdot j\cdot}=\displaystyle\sum_{i=1}^{a}\sum_{k=1}^{r}y_{ijk}~$ , a soma de todas as observações no nível j de B e $\overline{y}_{\cdot j\cdot}=\cfrac{y_{\cdot j\cdot} }{ar}$ , a média destas observações, para j = 1, ..., b.
$y_{i j \cdot}=\displaystyle\sum_{k=1}^{r}y_{ijk}~$ , a soma de todas as observações que têm nível i de A e j de B (ao mesmo tempo) e $~\overline{y}_{i j \cdot}=\cfrac{y_{i j \cdot}}{r},~$ a média destas observações, para i = 1, ..., a; j = 1, ..., b.
$y_{\cdot\cdot\cdot}=\displaystyle\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{r} y_{ijk},~$ a soma de todas as observações e $~\overline{y}_{\cdot\cdot\cdot}=\cfrac{y_{\cdot\cdot\cdot}}{abr}~$ a média geral das observações.

Para quantificar a variação referente a cada fator e a interação entre eles é preciso separar a Soma de Quadrados Total (SQT), que representa a variação total. Para isso, vamos mostrar que

$SQ_T = SQ_A + SQ_B + SQ_{AB} + SQ_E$

onde

$SQ_A=br\sum_{i=1}^{a}(\overline{y}_{i..}-\overline{y}_{...})^{2}=\displaystyle\cfrac{1}{br}\sum_{i=1}^{a}y_{i\cdot\cdot}^2-\cfrac{y_{\cdot\cdot\cdot}^2}{abr}$

$SQ_B=ar\sum_{j=1}^{b}(\overline{y}_{. j.}-\overline{y}_{...})^{2}=\displaystyle\cfrac{1}{ar}\sum_{j=1}^{b}y_{\cdot j\cdot}^2-\cfrac{y_{\cdot\cdot\cdot}^2}{abr}$

e a soma de quadrados do efeito da interação

$SQ_{AB}=r\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(\overline{y}_{ij.}-\overline{y}_{i..}-\overline{y}_{.j.}-\overline{y}_{...})^{2}=\cfrac{1}{r}\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}y_{ij\cdot}^2-\cfrac{y_{\cdot\cdot\cdot}^2}{abr}-SQ_A-SQ_B.$

Temos também que a Soma de Quadrados Total é dada por

$SQ_{T}=\displaystyle\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{r}(y_{i j k }-\overline{y}_{\cdot\cdot\cdot})^2=\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{r}y_{ij k }^2-\cfrac{y_{\cdot\cdot\cdot}^2}{abr}$

e finalmente a Soma de Quadrados dos Erros

$SQ_{E}=\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{r}(y_{i j k}- \overline{y}_{i j\cdot})^2=\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{r}y_{i jk}^2-\cfrac{1}{r} \sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}y_{i j \cdot}^2.$

Como estamos trabalhando com experimentos fatoriais $2^2$ então tomando $a=b=2$ temos

$SQ_A=br\displaystyle\sum_{i=1}^{a}(\overline{y}_{i..}-\overline{y}_{...})^2=2 r [(\overline{y}_{2..}-\overline{y}_{...})+(\overline{y}_{1..}-\overline{y}_{...})]^2$

ou seja,

$SQ_A= 2 r \left[\left(\overline{y}_{2..}-\frac{\overline{y}_{2..}+\overline{y}_{1..}}{2}\right)+\left(\overline{y}_{1..}-\frac{\overline{y}_{2..}+\overline{y}_{1..}}{2}\right)\right]^2= 2 r\left[\left(\frac{\overline{y}_{2..}-\overline{y}_{1..}}{2}\right)+\left(\cfrac{\overline{y}_{1..}-\overline{y}_{2..}}{2}\right)\right]^2$

e então, concluímos que

$SQ_A=4 r\left(\displaystyle\cfrac{\overline{y}_{2..}-\overline{y}_{1..}}{2}\right)^2=r(\overline{y}_{2..}-\overline{y}_{1..})^2=r (\mbox{efeito de A})^2$

Para os experimentos fatoriais $2^2,$ tem-se:

$SQ_A = r (\mbox{efeito de A})^2$

$SQ_B=r (\mbox{efeito de B})^2~~\mbox{ e }$

$SQ_{AB}=r(\mbox{efeito de AB})^2.$

Assim, constrói-se a Tabela da ANOVA:

Fonte de Variação	Graus de Liberdade	Soma de Quadrados	Quadrados Médios	Estatística F
$A$	$a-1$	$SQ_A$	$QM_A=\displaystyle\frac{SQ_A}{a-1}$	$\displaystyle\frac{QM_A}{QM_E}$
$B$	$b-1$	$SQ_B$	$QM_B=\displaystyle\frac{SQ_B}{b-1}$	$\displaystyle\frac{QM_B}{QM_E}$
$AB$	$(a-1)(b-1)$	$SQ_{AB}$	$QM_{AB}=\displaystyle\frac{SQ_{AB}}{(a-1)(b-1)}$	$\displaystyle\frac{QM_{AB}}{QM_E}$
$Erro$	$ab(r-1)$	$SQ_E$	$QM_{E}=\displaystyle\frac{SQ_{E}}{ab(r-1)}$
$Total$	$abr-1$	$SQ_T$

Exemplo 3.2.1.1

Considerando novamente os dados do Exemplo 3.1.1, onde desejava-se estudar os efeitos da temperatura e concentração do reagente no tempo de reação, construiu-se a Tabela da ANOVA para verificar se os efeitos dos fatores e da interação entre eles são significativos.

^{clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo}

Fonte	G.L.	Soma de Quadrados	Quadrado Médio	Estatística F	P-valor
A	1	787,32	787,32	129,28	0
B	1	182,52	182,52	29,97	0,0006
A:B	1	12	12	1,97	0,198
Resíduos	8	48,72	6,09
Total	11	1030,56

Para o fator A, temos que $F_{obs} = 129,28\textgreater F_{0,95;1;8}=5,32$ , portanto o fator A é significativo. Já para o fator B, temos que $F_{obs} = 29,97\textgreater F_{0,95;1;8}=5,32,$ , portanto o fator B também é significativo. Mas a interação não é significativa, pois $F_{AB}=1,97\textless F_{0,95;1;8}=5,32$ .