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Na análise de um experimento usando a Tabela da ANOVA é possível quantificar a parcela da variabilidade total que é devida a cada fator e à interação entre eles.
Para isto, seja $y_{ijk}$ a k-ésima observação no nível i de A e j de B. Em geral, i = 1, ..., a; j = 1, ...,b; k = 1, ..., r; onde a e b são os números de níveis de A e B, respectivamente e r é o número de réplicas do experimento. No caso de experimentos com 2 níveis para cada fator, a = b = 2.
Fator A | Fator B | |||||
1 | 2 | $\ldots$ | b | Média | ||
1 |
$y_{111},\ldots,y_{11r}$ $s^2_{11}$ |
$y_{121},\ldots,y_{12r}$ $s^2_{12}$ |
$\ldots$ |
$y_{1b1},\ldots,y_{1br}$ $s^2_{1b}$ |
$\overline{y}_{1..}$ | $s^2_A$ |
2 |
$y_{211},\ldots,y_{21r}$ $s^2_{21}$ |
$y_{221},\ldots,y_{22r}$ $s^2_{22}$ |
$\ldots$ |
$y_{2b1},\ldots,y_{2br}$ $s^2_{2b}$ |
$\overline{y}_{2..}$
|
|
$\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | |
a |
$y_{a11},\ldots,y_{a1r}$ $s^2_{a1}$ |
$y_{a21},\ldots,y_{a2r}$ $s^2_{a2}$ |
$\ldots$ |
$y_{ab1},\ldots,y_{abr}$ $s^2_{ab}$ |
$\overline{y}_{a..}$ | |
Média | $\overline{y}_{.1.}$ | $\overline{y}_{.2.}$ | $\ldots$ | $\overline{y}_{.b.}$ | $\overline{y}_{...}$ | |
$s^2_B$ |
Os resultados da tabela são obtidos da seguinte forma:
Para quantificar a variação referente a cada fator e a interação entre eles é preciso separar a Soma de Quadrados Total (SQT), que representa a variação total. Para isso, vamos mostrar que \[SQ_T = SQ_A + SQ_B + SQ_{AB} + SQ_E\]
onde \[SQ_A=br\sum_{i=1}^{a}(\overline{y}_{i..}-\overline{y}_{...})^{2}=\displaystyle\cfrac{1}{br}\sum_{i=1}^{a}y_{i\cdot\cdot}^2-\cfrac{y_{\cdot\cdot\cdot}^2}{abr}\]
\[SQ_B=ar\sum_{j=1}^{b}(\overline{y}_{. j.}-\overline{y}_{...})^{2}=\displaystyle\cfrac{1}{ar}\sum_{j=1}^{b}y_{\cdot j\cdot}^2-\cfrac{y_{\cdot\cdot\cdot}^2}{abr}\]
e a soma de quadrados do efeito da interação \[SQ_{AB}=r\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(\overline{y}_{ij.}-\overline{y}_{i..}-\overline{y}_{.j.}-\overline{y}_{...})^{2}=\cfrac{1}{r}\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}y_{ij\cdot}^2-\cfrac{y_{\cdot\cdot\cdot}^2}{abr}-SQ_A-SQ_B.\]
Temos também que a Soma de Quadrados Total é dada por \[SQ_{T}=\displaystyle\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{r}(y_{i j k }-\overline{y}_{\cdot\cdot\cdot})^2=\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{r}y_{ij k }^2-\cfrac{y_{\cdot\cdot\cdot}^2}{abr}\]
e finalmente a Soma de Quadrados dos Erros \[SQ_{E}=\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{r}(y_{i j k}- \overline{y}_{i j\cdot})^2=\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{r}y_{i jk}^2-\cfrac{1}{r} \sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}y_{i j \cdot}^2.\]
Como estamos trabalhando com experimentos fatoriais $2^2$ então tomando $a=b=2$ temos \[SQ_A=br\displaystyle\sum_{i=1}^{a}(\overline{y}_{i..}-\overline{y}_{...})^2=2 r [(\overline{y}_{2..}-\overline{y}_{...})+(\overline{y}_{1..}-\overline{y}_{...})]^2\]
ou seja, \[SQ_A= 2 r \left[\left(\overline{y}_{2..}-\frac{\overline{y}_{2..}+\overline{y}_{1..}}{2}\right)+\left(\overline{y}_{1..}-\frac{\overline{y}_{2..}+\overline{y}_{1..}}{2}\right)\right]^2= 2 r\left[\left(\frac{\overline{y}_{2..}-\overline{y}_{1..}}{2}\right)+\left(\cfrac{\overline{y}_{1..}-\overline{y}_{2..}}{2}\right)\right]^2\]
e então, concluímos que \[SQ_A=4 r\left(\displaystyle\cfrac{\overline{y}_{2..}-\overline{y}_{1..}}{2}\right)^2=r(\overline{y}_{2..}-\overline{y}_{1..})^2=r (\mbox{efeito de A})^2\]
Para os experimentos fatoriais $2^2,$ tem-se: \[SQ_A = r (\mbox{efeito de A})^2\]
\[SQ_B=r (\mbox{efeito de B})^2~~\mbox{ e }\]
\[SQ_{AB}=r(\mbox{efeito de AB})^2.\]
Assim, constrói-se a Tabela da ANOVA:
Fonte de Variação | Graus de Liberdade | Soma de Quadrados | Quadrados Médios | Estatística F |
$A$ | $a-1$ | $SQ_A$ | $QM_A=\displaystyle\frac{SQ_A}{a-1}$ | $\displaystyle\frac{QM_A}{QM_E}$ |
$B$ | $b-1$ | $SQ_B$ | $QM_B=\displaystyle\frac{SQ_B}{b-1}$ | $\displaystyle\frac{QM_B}{QM_E}$ |
$AB$ | $(a-1)(b-1)$ | $SQ_{AB}$ | $QM_{AB}=\displaystyle\frac{SQ_{AB}}{(a-1)(b-1)}$ | $\displaystyle\frac{QM_{AB}}{QM_E}$ |
$Erro$ | $ab(r-1)$ | $SQ_E$ | $QM_{E}=\displaystyle\frac{SQ_{E}}{ab(r-1)}$ | |
$Total$ | $abr-1$ | $SQ_T$ |
Considerando novamente os dados do Exemplo 3.1.1, onde desejava-se estudar os efeitos da temperatura e concentração do reagente no tempo de reação, construiu-se a Tabela da ANOVA para verificar se os efeitos dos fatores e da interação entre eles são significativos.
clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo
Fonte | G.L. | Soma de Quadrados | Quadrado Médio | Estatística F | P-valor |
A | 1 | 787,32 | 787,32 | 129,28 | 0 |
B | 1 | 182,52 | 182,52 | 29,97 | 0,0006 |
A:B | 1 | 12 | 12 | 1,97 | 0,198 |
Resíduos | 8 | 48,72 | 6,09 | ||
Total | 11 | 1030,56 |
Para o fator A, temos que $F_{obs} = 129,28\textgreater F_{0,95;1;8}=5,32$, portanto o fator A é significativo. Já para o fator B, temos que $F_{obs} = 29,97\textgreater F_{0,95;1;8}=5,32,$, portanto o fator B também é significativo. Mas a interação não é significativa, pois $F_{AB}=1,97\textless F_{0,95;1;8}=5,32$.
Vamos observar as mudanças quando passamos de um nível para o outro: \[\overline{y}_{1..}=(26,6+11,8+22+15,9+22,8+14,3)/6=18,9\]
\[\overline{y}_{2..}=(40,9+34+36,4+29+36,7+33,6)/6=35,1\]
\[\overline{y}_{.1.}=(26,6+40,9+22+36,4+22,8+36,7)/6=30,9\]
\[\overline{y}_{.2.}=(11,8+34+15,9+29+14,3+33,6)/6=23,1\]
Portanto, a melhor configuração para se obter o menor tempo de reação é $A_-$ e $B_+$, ou seja, a concentração em $10\%$ e a temperatura em $90$ºC.
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