3.2.3 - Modelo Linear

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Outra forma de calcular os efeitos principais é utilizando o modelo de regressão:
Cálculo dos efeitos principais usando modelo linear:
  

$$Y=\beta_0+\beta_1 x_1+\beta_2x_2+\beta_3 x_3+\beta_{12}x_1x_2+\beta_{13}x_1x_3+ \beta_{23}x_2x_3+\beta_{123}x_1x_2x_3+\varepsilon,~~~~(3.2.1)$$

a) $ x_{1} $, $ x_{2} $ e $ x_{3} $ são variáveis correspondentes aos fatores A, B e C;

b) Os coeficientes da regressão são $ \beta_{0} $, $ \beta_{1} $, $ \beta_{2} $, $ \beta_{3} $, $ \beta_{12} $, $ \beta_{13} $, $ \beta_{23} $ e $ \beta_{123} $;

c) ε é um componente de erro aleatório envolvido no modelo (erro experimental).

Para os dados do Exemplo 3.2.1, obter as estimativas dos parâmetros do modelo linear.

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

Na forma matricial, temos que: 

\[Y=X\vg{\beta}+\vg{\varepsilon}\]

com 

\[X=\left(\begin{matrix}~~~~~(A)~~(B)~~(C)~~(AB)~~(AC)~~(BC)~~(ABC)\\1~~~-1~~~-1~~~-1~~~+1~~~+1~~~+1~~~-1\\1~~~+1~~~-1~~~-1~~~-1~~~-1~~~+1~~~+1\\1~~~-1~~~+1~~~-1~~~-1~~~+1~~~-1~~~+1\\1~~~+1~~~+1~~~-1~~~+1~~~-1~~~-1~~~-1\\1~~~-1~~~-1~~~+1~~~+1~~~-1~~~-1~~~+1\\1~~~+1~~~-1~~~+1~~~-1~~~+1~~~-1~~~-1 \\1~~~-1~~~+1~~~+1~~~-1~~~-1~~~+1~~~-1 \\1~~~+1~~~+1~~~+1~~~+1~~~+1~~~+1~~~+1 \\1~~~-1~~~-1~~~-1~~~+1~~~+1~~~+1~~~-1 \\1~~~+1~~~-1~~~-1~~~-1~~~-1~~~+1~~~+1 \\1~~~-1~~~+1~~~-1~~~-1~~~+1~~~-1~~~+1 \\1~~~+1~~~+1~~~-1~~~+1~~~-1~~~-1~~~-1 \\1~~~-1~~~-1~~~+1~~~+1~~~-1~~~-1~~~+1 \\1~~~+1~~~-1~~~+1~~~-1~~~+1~~~-1~~~-1 \\1~~~-1~~~+1~~~+1~~~-1~~~-1~~~+1~~~-1 \\1~~~+1~~~+1~~~+1~~~+1~~~+1~~~+1~~~+1\\\end{matrix}\right),~Y=\left(\begin{array}{c}82,90 \\ 95,00 \\ 80,00 \\ 105,00 \\93,10 \\ 104,00 \\ 89,70 \\ 114,00 \\ 88,60 \\ 96,40 \\ 78,60 \\ 103,60 \\94,70 \\ 101,20 \\ 86,90 \\ 111,80 \\\end{array}\right),\]

\[\vg{\beta}=\left(\begin{array}{c}\beta_0\\\beta_1\\ \beta_2 \\ \beta_3 \\ \beta_{12}\\ \beta_{13} \\\beta_{23} \\ \beta_{123}\end{array}\right) \mbox{e} \quad \vg{\varepsilon}=\left(\begin{array}{c}\varepsilon_{1}\\\varepsilon_{2}\\\vdots\\\varepsilon_{16}\\\end{array}\right)\]

Podemos estimar $ \vg{\beta} $ utilizando 

\[\widehat{\vg{\beta}}=(X'X)^{-1}X'Y=\left(\begin{tabular}{r}95,3438 \\8,5312 \\0,8562 \\4,0812 \\3,8687 \\-0,2062 \\0,3188 \\0,1062 \\\end{tabular}\right).\]

Assim podemos obter os efeitos dos fatores e interações, que é duas vezes o coeficiente da regressão correspondente, ou seja, $ A=17,0625 $, $ B=1,7125 $, $ C=8,1625 $, $ AB=7,7375 $, $ AC=-0,4125 $, $ BC=0,6375 $ e $ ABC=0,2125 $.

Resultados obtidos pelo software Action

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar:

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