3.2.3 - Modelo Linear

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Outra forma de calcular os efeitos principais é utilizando o modelo de regressão:
Cálculo dos efeitos principais usando modelo linear:
  $$Y=\beta_0+\beta_1 x_1+\beta_2x_2+\beta_3 x_3+\beta_{12}x_1x_2+\beta_{13}x_1x_3+ \beta_{23}x_2x_3+\beta_{123}x_1x_2x_3+\varepsilon,~~~~(3.2.1)$$

a) $x_{1}$, $x_{2}$ e $x_{3}$ são variáveis correspondentes aos fatores A, B e C;

b) Os coeficientes da regressão são $\beta_{0}$, $\beta_{1}$, $\beta_{2}$, $\beta_{3}$, $\beta_{12}$, $\beta_{13}$, $\beta_{23}$ e $\beta_{123}$;

c) ε é um componente de erro aleatório envolvido no modelo (erro experimental).

Para os dados do Exemplo 3.2.1, obter as estimativas dos parâmetros do modelo linear.

clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo

Na forma matricial, temos que: \[Y=X\vg{\beta}+\vg{\varepsilon}\]

com \[X=\left(\begin{matrix}~~~~~(A)~~(B)~~(C)~~(AB)~~(AC)~~(BC)~~(ABC)\\1~~~-1~~~-1~~~-1~~~+1~~~+1~~~+1~~~-1\\1~~~+1~~~-1~~~-1~~~-1~~~-1~~~+1~~~+1\\1~~~-1~~~+1~~~-1~~~-1~~~+1~~~-1~~~+1\\1~~~+1~~~+1~~~-1~~~+1~~~-1~~~-1~~~-1\\1~~~-1~~~-1~~~+1~~~+1~~~-1~~~-1~~~+1\\1~~~+1~~~-1~~~+1~~~-1~~~+1~~~-1~~~-1 \\1~~~-1~~~+1~~~+1~~~-1~~~-1~~~+1~~~-1 \\1~~~+1~~~+1~~~+1~~~+1~~~+1~~~+1~~~+1 \\1~~~-1~~~-1~~~-1~~~+1~~~+1~~~+1~~~-1 \\1~~~+1~~~-1~~~-1~~~-1~~~-1~~~+1~~~+1 \\1~~~-1~~~+1~~~-1~~~-1~~~+1~~~-1~~~+1 \\1~~~+1~~~+1~~~-1~~~+1~~~-1~~~-1~~~-1 \\1~~~-1~~~-1~~~+1~~~+1~~~-1~~~-1~~~+1 \\1~~~+1~~~-1~~~+1~~~-1~~~+1~~~-1~~~-1 \\1~~~-1~~~+1~~~+1~~~-1~~~-1~~~+1~~~-1 \\1~~~+1~~~+1~~~+1~~~+1~~~+1~~~+1~~~+1\\\end{matrix}\right),~Y=\left(\begin{array}{c}82,90 \\ 95,00 \\ 80,00 \\ 105,00 \\93,10 \\ 104,00 \\ 89,70 \\ 114,00 \\ 88,60 \\ 96,40 \\ 78,60 \\ 103,60 \\94,70 \\ 101,20 \\ 86,90 \\ 111,80 \\\end{array}\right),\]

\[\vg{\beta}=\left(\begin{array}{c}\beta_0\\\beta_1\\ \beta_2 \\ \beta_3 \\ \beta_{12}\\ \beta_{13} \\\beta_{23} \\ \beta_{123}\end{array}\right) \mbox{e} \quad \vg{\varepsilon}=\left(\begin{array}{c}\varepsilon_{1}\\\varepsilon_{2}\\\vdots\\\varepsilon_{16}\\\end{array}\right)\]

Podemos estimar $\vg{\beta}$ utilizando \[\widehat{\vg{\beta}}=(X'X)^{-1}X'Y=\left(\begin{tabular}{r}95,3438 \\8,5312 \\0,8562 \\4,0812 \\3,8687 \\-0,2062 \\0,3188 \\0,1062 \\\end{tabular}\right).\]

Assim podemos obter os efeitos dos fatores e interações, que é duas vezes o coeficiente da regressão correspondente, ou seja, $A=17,0625$, $B=1,7125$, $C=8,1625$, $AB=7,7375$, $AC=-0,4125$, $BC=0,6375$ e $ABC=0,2125$.

Resultados obtidos pelo software Action

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar:

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